Theorem iunctb 10261

Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 10262). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunctb	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2738	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
2		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
3		ctex 8708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
4	3	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
5		ovex 7288	. . . . . . 7 ⊢ (ω ↑m 𝐵) ∈ V
6	5	rgenw 3075	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V
7		iunexg 7779	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V)
8	4, 6, 7	sylancl 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V)
9		acncc 10127	. . . . 5 ⊢ AC ω = V
10	8, 9	eleqtrrdi 2850	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC ω)
11		acndom 9738	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC 𝐴))
12	2, 10, 11	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC 𝐴)
13		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)
14		omex 9331	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
15		xpdom1g 8809	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
16	14, 2, 15	sylancr 586	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
17		xpomen 9702	. . . . 5 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
18		domentr 8754	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
19	16, 17, 18	sylancl 585	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
20		ctex 8708	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
21	20	ralimi 3086	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
22		iunexg 7779	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
23	3, 21, 22	syl2an 595	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
24		omelon 9334	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
25		onenon 9638	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ∈ dom card
27		numacn 9736	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (ω ∈ dom card → ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
28	23, 26, 27	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
29		acndom2 9741	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × ω) ≼ ω → (ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → (𝐴 × ω) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
30	19, 28, 29	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
31	1, 12, 13, 30	iundomg 10228	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω))
32		domtr 8748	. 2 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω) ∧ (𝐴 × ω) ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)
33	31, 19, 32	syl2anc 583	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∈ wcel 2108  ∀wral 3063  Vcvv 3422  {csn 4558  ∪ ciun 4921   class class class wbr 5070   × cxp 5578  dom cdm 5580  Oncon0 6251  (class class class)co 7255  ωcom 7687   ↑_m cmap 8573   ≈ cen 8688   ≼ cdom 8689  cardccrd 9624  AC wacn 9627

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-inf2 9329  ax-cc 10122

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-int 4877  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-se 5536  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-isom 6427  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-1st 7804  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-1o 8267  df-er 8456  df-map 8575  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-fin 8695  df-oi 9199  df-card 9628  df-acn 9631

This theorem is referenced by:  unictb  10262  iunctb2  35501  heiborlem3  35898