Theorem iunctb 10560

Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 10561). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunctb	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2763	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
2		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
3		ctex 8961	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
4	3	adantr 485	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
5		ovex 7445	. . . . . . 7 ⊢ (ω ↑m 𝐵) ∈ V
6	5	rgenw 3083	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V
7		iunexg 7961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V)
8	4, 6, 7	sylancl 597	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V)
9		acncc 10425	. . . . 5 ⊢ AC ω = V
10	8, 9	eleqtrrdi 2874	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC ω)
11		acndom 10036	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC 𝐴))
12	2, 10, 11	sylc 66	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC 𝐴)
13		simpr 489	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)
14		omex 9613	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
15		xpdom1g 9063	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
16	14, 2, 15	sylancr 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
17		xpomen 10000	. . . . 5 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
18		domentr 9011	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
19	16, 17, 18	sylancl 597	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
20		ctex 8961	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
21	20	ralimi 3102	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
22		iunexg 7961	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
23	3, 21, 22	syl2an 607	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
24		omelon 9616	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
25		onenon 9936	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ∈ dom card
27		numacn 10034	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (ω ∈ dom card → ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
28	23, 26, 27	mpisyl 22	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
29		acndom2 10039	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × ω) ≼ ω → (ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → (𝐴 × ω) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
30	19, 28, 29	sylc 66	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
31	1, 12, 13, 30	iundomg 10526	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω))
32		domtr 9005	. 2 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω) ∧ (𝐴 × ω) ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)
33	31, 19, 32	syl2anc 595	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∈ wcel 2143  ∀wral 3079  Vcvv 3455  {csn 4590  ∪ ciun 4957   class class class wbr 5110   × cxp 5661  dom cdm 5663  Oncon0 6362  (class class class)co 7412  ωcom 7863   ↑_m cmap 8825   ≈ cen 8941   ≼ cdom 8942  cardccrd 9922  AC wacn 9925

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-inf2 9611  ax-cc 10420

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-se 5617  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-isom 6547  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-oi 9473  df-card 9926  df-acn 9929

This theorem is referenced by:  unictb  10561  iunctb2  38027  heiborlem3  38442