MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunctb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunctb 9792
Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 9793). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunctb ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunctb
StepHypRef Expression
1 eqid 2771 . . 3 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
2 simpl 475 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
3 ctex 8319 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
43adantr 473 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
5 ovex 7006 . . . . . . 7 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V
65rgenw 3093 . . . . . 6 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V
7 iunexg 7474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V)
84, 6, 7sylancl 578 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ V)
9 acncc 9658 . . . . 5 AC ω = V
108, 9syl6eleqr 2870 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC ω)
11 acndom 9269 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → ( 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC ω → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC 𝐴))
122, 10, 11sylc 65 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑𝑚 𝐵) ∈ AC 𝐴)
13 simpr 477 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
14 omex 8898 . . . . . 6 ω ∈ V
15 xpdom1g 8408 . . . . . 6 ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
1614, 2, 15sylancr 579 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
17 xpomen 9233 . . . . 5 (ω × ω) ≈ ω
18 domentr 8363 . . . . 5 (((𝐴 × ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
1916, 17, 18sylancl 578 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
20 ctex 8319 . . . . . . 7 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
2120ralimi 3103 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
22 iunexg 7474 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
233, 21, 22syl2an 587 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
24 omelon 8901 . . . . . 6 ω ∈ On
25 onenon 9170 . . . . . 6 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5 ω ∈ dom card
27 numacn 9267 . . . . 5 ( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V → (ω ∈ dom card → ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵))
2823, 26, 27mpisyl 21 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵)
29 acndom2 9272 . . . 4 ((𝐴 × ω) ≼ ω → (ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵 → (𝐴 × ω) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵))
3019, 28, 29sylc 65 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵)
311, 12, 13, 30iundomg 9759 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω))
32 domtr 8357 . 2 (( 𝑥𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω) ∧ (𝐴 × ω) ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
3331, 19, 32syl2anc 576 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wcel 2051  wral 3081  Vcvv 3408  {csn 4435   ciun 4788   class class class wbr 4925   × cxp 5401  dom cdm 5403  Oncon0 6026  (class class class)co 6974  ωcom 7394  𝑚 cmap 8204  cen 8301  cdom 8302  cardccrd 9156  AC wacn 9159
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-rep 5045  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-inf2 8896  ax-cc 9653
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-ral 3086  df-rex 3087  df-reu 3088  df-rmo 3089  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-pss 3838  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-tp 4440  df-op 4442  df-uni 4709  df-int 4746  df-iun 4790  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-tr 5027  df-id 5308  df-eprel 5313  df-po 5322  df-so 5323  df-fr 5362  df-se 5363  df-we 5364  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-pred 5983  df-ord 6029  df-on 6030  df-lim 6031  df-suc 6032  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-isom 6194  df-riota 6935  df-ov 6977  df-oprab 6978  df-mpo 6979  df-om 7395  df-1st 7499  df-2nd 7500  df-wrecs 7748  df-recs 7810  df-rdg 7848  df-1o 7903  df-oadd 7907  df-er 8087  df-map 8206  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-fin 8308  df-oi 8767  df-card 9160  df-acn 9163
This theorem is referenced by:  unictb  9793  iunctb2  34162  heiborlem3  34570
  Copyright terms: Public domain W3C validator