Theorem iunctb 10577

Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 10578). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunctb	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2766	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
2		simpl 488	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
3		ctex 8969	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
4	3	adantr 486	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
5		ovex 7456	. . . . . . 7 ⊢ (ω ↑m 𝐵) ∈ V
6	5	rgenw 3086	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V
7		iunexg 7969	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V)
8	4, 6, 7	sylancl 598	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V)
9		acncc 10442	. . . . 5 ⊢ AC ω = V
10	8, 9	eleqtrrdi 2877	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC ω)
11		acndom 10054	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC 𝐴))
12	2, 10, 11	sylc 66	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC 𝐴)
13		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)
14		omex 9622	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
15		xpdom1g 9072	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
16	14, 2, 15	sylancr 599	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
17		xpomen 10018	. . . . 5 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
18		domentr 9019	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
19	16, 17, 18	sylancl 598	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
20		ctex 8969	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
21	20	ralimi 3105	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
22		iunexg 7969	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
23	3, 21, 22	syl2an 608	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
24		omelon 9625	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
25		onenon 9954	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ∈ dom card
27		numacn 10052	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (ω ∈ dom card → ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
28	23, 26, 27	mpisyl 22	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
29		acndom2 10057	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × ω) ≼ ω → (ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → (𝐴 × ω) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
30	19, 28, 29	sylc 66	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
31	1, 12, 13, 30	iundomg 10543	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω))
32		domtr 9013	. 2 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω) ∧ (𝐴 × ω) ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)
33	31, 19, 32	syl2anc 596	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  Vcvv 3458  {csn 4594  ∪ ciun 4961   class class class wbr 5114   × cxp 5664  dom cdm 5666  Oncon0 6367  (class class class)co 7423  ωcom 7871   ↑_m cmap 8833   ≈ cen 8949   ≼ cdom 8950  cardccrd 9940  AC wacn 9943

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745  ax-inf2 9620  ax-cc 10437

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-pss 3928  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-int 4918  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-tr 5224  df-id 5561  df-eprel 5566  df-po 5574  df-so 5575  df-fr 5619  df-se 5620  df-we 5621  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-pred 6309  df-ord 6370  df-on 6371  df-lim 6372  df-suc 6373  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-isom 6552  df-riota 7380  df-ov 7426  df-oprab 7427  df-mpo 7428  df-om 7872  df-1st 7995  df-2nd 7996  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-1o 8462  df-er 8703  df-map 8835  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-fin 8956  df-oi 9482  df-card 9944  df-acn 9947

This theorem is used by:  unictb  10578  iunctb2  38090  heiborlem3  38505