MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iunctb Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iunctb 10615
Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 10616). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)
Assertion
Ref Expression
iunctb ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴
Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunctb
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . . 3 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = 𝑥𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
2 simpl 482 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
3 ctex 9005 . . . . . . 7 (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
43adantr 480 . . . . . 6 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
5 ovex 7465 . . . . . . 7 (ω ↑m 𝐵) ∈ V
65rgenw 3064 . . . . . 6 𝑥𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V
7 iunexg 7989 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V) → 𝑥𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V)
84, 6, 7sylancl 586 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V)
9 acncc 10481 . . . . 5 AC ω = V
108, 9eleqtrrdi 2851 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC ω)
11 acndom 10092 . . . 4 (𝐴 ≼ ω → ( 𝑥𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC ω → 𝑥𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC 𝐴))
122, 10, 11sylc 65 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC 𝐴)
13 simpr 484 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
14 omex 9684 . . . . . 6 ω ∈ V
15 xpdom1g 9110 . . . . . 6 ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
1614, 2, 15sylancr 587 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
17 xpomen 10056 . . . . 5 (ω × ω) ≈ ω
18 domentr 9054 . . . . 5 (((𝐴 × ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
1916, 17, 18sylancl 586 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
20 ctex 9005 . . . . . . 7 (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
2120ralimi 3082 . . . . . 6 (∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω → ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
22 iunexg 7989 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ∈ V) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
233, 21, 22syl2an 596 . . . . 5 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V)
24 omelon 9687 . . . . . 6 ω ∈ On
25 onenon 9990 . . . . . 6 (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
2624, 25ax-mp 5 . . . . 5 ω ∈ dom card
27 numacn 10090 . . . . 5 ( 𝑥𝐴 𝐵 ∈ V → (ω ∈ dom card → ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵))
2823, 26, 27mpisyl 21 . . . 4 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵)
29 acndom2 10095 . . . 4 ((𝐴 × ω) ≼ ω → (ω ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵 → (𝐴 × ω) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵))
3019, 28, 29sylc 65 . . 3 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ∈ AC 𝑥𝐴 𝐵)
311, 12, 13, 30iundomg 10582 . 2 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω))
32 domtr 9048 . 2 (( 𝑥𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω) ∧ (𝐴 × ω) ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
3331, 19, 32syl2anc 584 1 ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝑥𝐴 𝐵 ≼ ω)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wcel 2107  wral 3060  Vcvv 3479  {csn 4625   ciun 4990   class class class wbr 5142   × cxp 5682  dom cdm 5684  Oncon0 6383  (class class class)co 7432  ωcom 7888  m cmap 8867  cen 8983  cdom 8984  cardccrd 9976  AC wacn 9979
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2707  ax-rep 5278  ax-sep 5295  ax-nul 5305  ax-pow 5364  ax-pr 5431  ax-un 7756  ax-inf2 9682  ax-cc 10476
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2815  df-nfc 2891  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3379  df-reu 3380  df-rab 3436  df-v 3481  df-sbc 3788  df-csb 3899  df-dif 3953  df-un 3955  df-in 3957  df-ss 3967  df-pss 3970  df-nul 4333  df-if 4525  df-pw 4601  df-sn 4626  df-pr 4628  df-op 4632  df-uni 4907  df-int 4946  df-iun 4992  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5577  df-eprel 5583  df-po 5591  df-so 5592  df-fr 5636  df-se 5637  df-we 5638  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6320  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6513  df-fun 6562  df-fn 6563  df-f 6564  df-f1 6565  df-fo 6566  df-f1o 6567  df-fv 6568  df-isom 6569  df-riota 7389  df-ov 7435  df-oprab 7436  df-mpo 7437  df-om 7889  df-1st 8015  df-2nd 8016  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8412  df-rdg 8451  df-1o 8507  df-er 8746  df-map 8869  df-en 8987  df-dom 8988  df-sdom 8989  df-fin 8990  df-oi 9551  df-card 9980  df-acn 9983
This theorem is referenced by:  unictb  10616  iunctb2  37405  heiborlem3  37821
  Copyright terms: Public domain W3C validator