Theorem iunctb 10619

Description: The countable union of countable sets is countable (indexed union version of unictb 10620). (Contributed by Mario Carneiro, 18-Jan-2014.)

Assertion

Ref	Expression
iunctb	⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Allowed substitution hint:   𝐵(𝑥)

Proof of Theorem iunctb

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2726	. . 3 ⊢ ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵) = ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 ({𝑥} × 𝐵)
2		simpl 481	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ≼ ω)
3		ctex 8996	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 ≼ ω → 𝐴 ∈ V)
4	3	adantr 479	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → 𝐴 ∈ V)
5		ovex 7459	. . . . . . 7 ⊢ (ω ↑m 𝐵) ∈ V
6	5	rgenw 3055	. . . . . 6 ⊢ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V
7		iunexg 7979	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V)
8	4, 6, 7	sylancl 584	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ V)
9		acncc 10485	. . . . 5 ⊢ AC ω = V
10	8, 9	eleqtrrdi 2837	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC ω)
11		acndom 10096	. . . 4 ⊢ (𝐴 ≼ ω → (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC ω → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC 𝐴))
12	2, 10, 11	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 (ω ↑m 𝐵) ∈ AC 𝐴)
13		simpr 483	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)
14		omex 9688	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ V
15		xpdom1g 9109	. . . . . 6 ⊢ ((ω ∈ V ∧ 𝐴 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
16	14, 2, 15	sylancr 585	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ (ω × ω))
17		xpomen 10060	. . . . 5 ⊢ (ω × ω) ≈ ω
18		domentr 9046	. . . . 5 ⊢ (((𝐴 × ω) ≼ (ω × ω) ∧ (ω × ω) ≈ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
19	16, 17, 18	sylancl 584	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ≼ ω)
20		ctex 8996	. . . . . . 7 ⊢ (𝐵 ≼ ω → 𝐵 ∈ V)
21	20	ralimi 3073	. . . . . 6 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω → ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
22		iunexg 7979	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ V ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
23	3, 21, 22	syl2an 594	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V)
24		omelon 9691	. . . . . 6 ⊢ ω ∈ On
25		onenon 9994	. . . . . 6 ⊢ (ω ∈ On → ω ∈ dom card)
26	24, 25	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ ω ∈ dom card
27		numacn 10094	. . . . 5 ⊢ (∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ∈ V → (ω ∈ dom card → ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
28	23, 26, 27	mpisyl 21	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
29		acndom2 10099	. . . 4 ⊢ ((𝐴 × ω) ≼ ω → (ω ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 → (𝐴 × ω) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵))
30	19, 28, 29	sylc 65	. . 3 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → (𝐴 × ω) ∈ AC ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵)
31	1, 12, 13, 30	iundomg 10586	. 2 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω))
32		domtr 9040	. 2 ⊢ ((∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ (𝐴 × ω) ∧ (𝐴 × ω) ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)
33	31, 19, 32	syl2anc 582	1 ⊢ ((𝐴 ≼ ω ∧ ∀𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω) → ∪ 𝑥 ∈ 𝐴 𝐵 ≼ ω)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∈ wcel 2099  ∀wral 3051  Vcvv 3462  {csn 4633  ∪ ciun 5003   class class class wbr 5155   × cxp 5682  dom cdm 5684  Oncon0 6378  (class class class)co 7426  ωcom 7878   ↑_m cmap 8857   ≈ cen 8973   ≼ cdom 8974  cardccrd 9980  AC wacn 9983

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2697  ax-rep 5292  ax-sep 5306  ax-nul 5313  ax-pow 5371  ax-pr 5435  ax-un 7748  ax-inf2 9686  ax-cc 10480

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2931  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3464  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3967  df-nul 4326  df-if 4534  df-pw 4609  df-sn 4634  df-pr 4636  df-op 4640  df-uni 4916  df-int 4957  df-iun 5005  df-br 5156  df-opab 5218  df-mpt 5239  df-tr 5273  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5639  df-se 5640  df-we 5641  df-xp 5690  df-rel 5691  df-cnv 5692  df-co 5693  df-dm 5694  df-rn 5695  df-res 5696  df-ima 5697  df-pred 6314  df-ord 6381  df-on 6382  df-lim 6383  df-suc 6384  df-iota 6508  df-fun 6558  df-fn 6559  df-f 6560  df-f1 6561  df-fo 6562  df-f1o 6563  df-fv 6564  df-isom 6565  df-riota 7382  df-ov 7429  df-oprab 7430  df-mpo 7431  df-om 7879  df-1st 8005  df-2nd 8006  df-frecs 8298  df-wrecs 8329  df-recs 8403  df-rdg 8442  df-1o 8498  df-er 8736  df-map 8859  df-en 8977  df-dom 8978  df-sdom 8979  df-fin 8980  df-oi 9555  df-card 9984  df-acn 9987

This theorem is referenced by:  unictb  10620  iunctb2  37112  heiborlem3  37516