Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  snunioo1 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snunioo1 40309
Description: The closure of one end of an open real interval. (Contributed by Glauco Siliprandi, 11-Dec-2019.)
Assertion
Ref Expression
snunioo1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))

Proof of Theorem snunioo1
Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 uncom 3919 . 2 ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐴[,]𝐴)) = ((𝐴[,]𝐴) ∪ (𝐴(,)𝐵))
2 iccid 12422 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
323ad2ant1 1163 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
43uneq2d 3929 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ (𝐴[,]𝐴)) = ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}))
5 simp1 1166 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 simp2 1167 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
7 xrleid 12184 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
873ad2ant1 1163 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴𝐴)
9 simp3 1168 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → 𝐴 < 𝐵)
10 df-icc 12384 . . . 4 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
11 df-ioo 12381 . . . 4 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
12 xrltnle 10359 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝐴))
13 df-ico 12383 . . . 4 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
14 xrlelttr 12189 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝐴𝐴 < 𝐵) → 𝑤 < 𝐵))
15 simpl1 1242 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴 < 𝑤)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
16 simpl3 1246 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
17 simprr 789 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴 < 𝑤)) → 𝐴 < 𝑤)
1815, 16, 17xrltled 12183 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴 < 𝑤)) → 𝐴𝑤)
1918ex 401 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐴𝐴 < 𝑤) → 𝐴𝑤))
2010, 11, 12, 13, 14, 19ixxun 12393 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴 < 𝐵)) → ((𝐴[,]𝐴) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
215, 5, 6, 8, 9, 20syl32anc 1497 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴[,]𝐴) ∪ (𝐴(,)𝐵)) = (𝐴[,)𝐵))
221, 4, 213eqtr3a 2823 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴 < 𝐵) → ((𝐴(,)𝐵) ∪ {𝐴}) = (𝐴[,)𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cun 3730  {csn 4334   class class class wbr 4809  (class class class)co 6842  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  (,)cioo 12377  [,)cico 12379  [,]cicc 12380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2069  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2062  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-po 5198  df-so 5199  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-icc 12384
This theorem is referenced by:  limcresioolb  40445  icocncflimc  40672  volico  40769  fourierdlem48  40940  fouriersw  41017
  Copyright terms: Public domain W3C validator