MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snunico Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snunico 12509
Description: The closure of the open end of a right-open real interval. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Jun-2014.)
Assertion
Ref Expression
snunico ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem snunico
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 simp2 1167 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
2 iccid 12425 . . . 4 (𝐵 ∈ ℝ* → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
31, 2syl 17 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐵[,]𝐵) = {𝐵})
43uneq2d 3931 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}))
5 simp1 1166 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
6 simp3 1168 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
71xrleidd 12188 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵𝐵)
8 df-ico 12386 . . . 4 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
9 df-icc 12387 . . . 4 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
10 xrlenlt 10359 . . . 4 ((𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐵𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐵))
11 xrltle 12185 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
12113adant3 1162 . . . . 5 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → (𝑤 < 𝐵𝑤𝐵))
1312adantrd 485 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐵𝐵𝐵) → 𝑤𝐵))
14 xrletr 12194 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐵𝐵𝑤) → 𝐴𝑤))
158, 9, 10, 9, 13, 14ixxun 12396 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐵𝐵𝐵)) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
165, 1, 1, 6, 7, 15syl32anc 1497 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ (𝐵[,]𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
174, 16eqtr3d 2801 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,)𝐵) ∪ {𝐵}) = (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cun 3732  {csn 4336   class class class wbr 4811  (class class class)co 6844  *cxr 10329   < clt 10330  cle 10331  [,)cico 12382  [,]cicc 12383
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4943  ax-nul 4951  ax-pow 5003  ax-pr 5064  ax-un 7149  ax-cnex 10247  ax-resscn 10248  ax-pre-lttri 10265  ax-pre-lttrn 10266
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3599  df-csb 3694  df-dif 3737  df-un 3739  df-in 3741  df-ss 3748  df-nul 4082  df-if 4246  df-pw 4319  df-sn 4337  df-pr 4339  df-op 4343  df-uni 4597  df-br 4812  df-opab 4874  df-mpt 4891  df-id 5187  df-po 5200  df-so 5201  df-xp 5285  df-rel 5286  df-cnv 5287  df-co 5288  df-dm 5289  df-rn 5290  df-res 5291  df-ima 5292  df-iota 6033  df-fun 6072  df-fn 6073  df-f 6074  df-f1 6075  df-fo 6076  df-f1o 6077  df-fv 6078  df-ov 6847  df-oprab 6848  df-mpt2 6849  df-er 7949  df-en 8163  df-dom 8164  df-sdom 8165  df-pnf 10332  df-mnf 10333  df-xr 10334  df-ltxr 10335  df-le 10336  df-ico 12386  df-icc 12387
This theorem is referenced by:  prunioo  12511  iccpnfcnv  23025  iccpnfhmeo  23026  xrge0iifcnv  30429
  Copyright terms: Public domain W3C validator