MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iocmnfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocmnfcld 24636
Description: Left-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iocmnfcld (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))

Proof of Theorem iocmnfcld
Dummy variables π‘₯ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11272 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
3 rexr 11261 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11269 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
6 mnflt 13106 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -∞ < 𝐴)
7 ltpnf 13103 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 < +∞)
8 df-ioc 13332 . . . . . . 7 (,] = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)})
9 df-ioo 13331 . . . . . . 7 (,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10 xrltnle 11282 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < 𝑀 ↔ Β¬ 𝑀 ≀ 𝐴))
11 xrlelttr 13138 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑀 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞) β†’ 𝑀 < +∞))
12 xrlttr 13122 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) β†’ -∞ < 𝑀))
138, 9, 10, 9, 11, 12ixxun 13343 . . . . . 6 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)) β†’ ((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
142, 3, 5, 6, 7, 13syl32anc 1375 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15 ioomax 13402 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
1614, 15eqtrdi 2782 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = ℝ)
17 iocssre 13407 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (-∞(,]𝐴) βŠ† ℝ)
181, 17mpan 687 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]𝐴) βŠ† ℝ)
198, 9, 10ixxdisj 13342 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = βˆ…)
201, 3, 5, 19mp3an2i 1462 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = βˆ…)
21 uneqdifeq 4487 . . . . 5 (((-∞(,]𝐴) βŠ† ℝ ∧ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = βˆ…) β†’ (((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
2218, 20, 21syl2anc 583 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
2316, 22mpbid 231 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞))
24 iooretop 24633 . . 3 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
2523, 24eqeltrdi 2835 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
26 retop 24629 . . 3 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
27 uniretop 24630 . . . 4 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2827iscld2 22883 . . 3 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,]𝐴) βŠ† ℝ) β†’ ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))) ↔ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))))
2926, 18, 28sylancr 586 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))) ↔ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))))
3025, 29mpbird 257 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3940   βˆͺ cun 3941   ∩ cin 3942   βŠ† wss 3943  βˆ…c0 4317   class class class wbr 5141  ran crn 5670  β€˜cfv 6536  (class class class)co 7404  β„cr 11108  +∞cpnf 11246  -∞cmnf 11247  β„*cxr 11248   < clt 11249   ≀ cle 11250  (,)cioo 13327  (,]cioc 13328  topGenctg 17390  Topctop 22746  Clsdccld 22871
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186  ax-pre-sup 11187
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6293  df-ord 6360  df-on 6361  df-lim 6362  df-suc 6363  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-riota 7360  df-ov 7407  df-oprab 7408  df-mpo 7409  df-om 7852  df-1st 7971  df-2nd 7972  df-frecs 8264  df-wrecs 8295  df-recs 8369  df-rdg 8408  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-sup 9436  df-inf 9437  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-xr 11253  df-ltxr 11254  df-le 11255  df-sub 11447  df-neg 11448  df-div 11873  df-nn 12214  df-n0 12474  df-z 12560  df-uz 12824  df-q 12934  df-ioo 13331  df-ioc 13332  df-topgen 17396  df-top 22747  df-bases 22800  df-cld 22874
This theorem is referenced by:  logdmopn  26534  orvclteel  34001  dvasin  37083  dvacos  37084  dvreasin  37085  dvreacos  37086  rfcnpre4  44275
  Copyright terms: Public domain W3C validator