Theorem iocmnfcld 22900

Description: Left-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iocmnfcld	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem iocmnfcld

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 10386	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ∈ ℝ*)
3		rexr 10374	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 10382	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
6		mnflt 12204	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
7		ltpnf 12201	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
8		df-ioc 12429	. . . . . . 7 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
9		df-ioo 12428	. . . . . . 7 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10		xrltnle 10395	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ 𝐴))
11		xrlelttr 12236	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞) → 𝑤 < +∞))
12		xrlttr 12220	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
13	8, 9, 10, 9, 11, 12	ixxun 12440	. . . . . 6 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)) → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
14	2, 3, 5, 6, 7, 13	syl32anc 1498	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15		ioomax 12497	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
16	14, 15	syl6eq 2849	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ)
17		iocssre 12502	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ)
18	1, 17	mpan 682	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ)
19	8, 9, 10	ixxdisj 12439	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅)
20	2, 3, 5, 19	syl3anc 1491	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅)
21		uneqdifeq 4251	. . . . 5 ⊢ (((-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ ∧ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
22	18, 20, 21	syl2anc 580	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
23	16, 22	mpbid 224	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞))
24		iooretop 22897	. . 3 ⊢ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
25	23, 24	syl6eqel 2886	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,)))
26		retop 22893	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
27		uniretop 22894	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
28	27	iscld2 21161	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ) → ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))))
29	26, 18, 28	sylancr 582	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))))
30	25, 29	mpbird 249	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 198   = wceq 1653   ∈ wcel 2157   ∖ cdif 3766   ∪ cun 3767   ∩ cin 3768   ⊆ wss 3769  ∅c0 4115   class class class wbr 4843  ran crn 5313  ‘cfv 6101  (class class class)co 6878  ℝcr 10223  +∞cpnf 10360  -∞cmnf 10361  ℝ^*cxr 10362   < clt 10363   ≤ cle 10364  (,)cioo 12424  (,]cioc 12425  topGenctg 16413  Topctop 21026  Clsdccld 21149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-ioo 12428  df-ioc 12429  df-topgen 16419  df-top 21027  df-bases 21079  df-cld 21152

This theorem is referenced by:  logdmopn  24736  orvclteel  31051  dvasin  33984  dvacos  33985  dvreasin  33986  dvreacos  33987  rfcnpre4  39953