MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iocmnfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocmnfcld 24804
Description: Left-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on . (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iocmnfcld (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem iocmnfcld
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11315 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ∈ ℝ*)
3 rexr 11304 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11312 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
6 mnflt 13162 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
7 ltpnf 13159 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
8 df-ioc 13388 . . . . . . 7 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
9 df-ioo 13387 . . . . . . 7 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
10 xrltnle 11325 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝐴))
11 xrlelttr 13194 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤𝐴𝐴 < +∞) → 𝑤 < +∞))
12 xrlttr 13178 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐴𝐴 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
138, 9, 10, 9, 11, 12ixxun 13399 . . . . . 6 (((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)) → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
142, 3, 5, 6, 7, 13syl32anc 1377 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15 ioomax 13458 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
1614, 15eqtrdi 2790 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ)
17 iocssre 13463 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ)
181, 17mpan 690 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ)
198, 9, 10ixxdisj 13398 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅)
201, 3, 5, 19mp3an2i 1465 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅)
21 uneqdifeq 4498 . . . . 5 (((-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ ∧ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
2218, 20, 21syl2anc 584 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
2316, 22mpbid 232 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞))
24 iooretop 24801 . . 3 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
2523, 24eqeltrdi 2846 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,)))
26 retop 24797 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
27 uniretop 24798 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
2827iscld2 23051 . . 3 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ) → ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))))
2926, 18, 28sylancr 587 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))))
3025, 29mpbird 257 1 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206   = wceq 1536  wcel 2105  cdif 3959  cun 3960  cin 3961  wss 3962  c0 4338   class class class wbr 5147  ran crn 5689  cfv 6562  (class class class)co 7430  cr 11151  +∞cpnf 11289  -∞cmnf 11290  *cxr 11291   < clt 11292  cle 11293  (,)cioo 13383  (,]cioc 13384  topGenctg 17483  Topctop 22914  Clsdccld 23039
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753  ax-cnex 11208  ax-resscn 11209  ax-1cn 11210  ax-icn 11211  ax-addcl 11212  ax-addrcl 11213  ax-mulcl 11214  ax-mulrcl 11215  ax-mulcom 11216  ax-addass 11217  ax-mulass 11218  ax-distr 11219  ax-i2m1 11220  ax-1ne0 11221  ax-1rid 11222  ax-rnegex 11223  ax-rrecex 11224  ax-cnre 11225  ax-pre-lttri 11226  ax-pre-lttrn 11227  ax-pre-ltadd 11228  ax-pre-mulgt0 11229  ax-pre-sup 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-pss 3982  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5582  df-eprel 5588  df-po 5596  df-so 5597  df-fr 5640  df-we 5642  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-pred 6322  df-ord 6388  df-on 6389  df-lim 6390  df-suc 6391  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7887  df-1st 8012  df-2nd 8013  df-frecs 8304  df-wrecs 8335  df-recs 8409  df-rdg 8448  df-er 8743  df-en 8984  df-dom 8985  df-sdom 8986  df-sup 9479  df-inf 9480  df-pnf 11294  df-mnf 11295  df-xr 11296  df-ltxr 11297  df-le 11298  df-sub 11491  df-neg 11492  df-div 11918  df-nn 12264  df-n0 12524  df-z 12611  df-uz 12876  df-q 12988  df-ioo 13387  df-ioc 13388  df-topgen 17489  df-top 22915  df-bases 22968  df-cld 23042
This theorem is referenced by:  logdmopn  26705  orvclteel  34453  dvasin  37690  dvacos  37691  dvreasin  37692  dvreacos  37693  rfcnpre4  44971
  Copyright terms: Public domain W3C validator