MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iocmnfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocmnfcld 24698
Description: Left-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iocmnfcld (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))

Proof of Theorem iocmnfcld
Dummy variables π‘₯ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11302 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
3 rexr 11291 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11299 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
6 mnflt 13136 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -∞ < 𝐴)
7 ltpnf 13133 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 < +∞)
8 df-ioc 13362 . . . . . . 7 (,] = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)})
9 df-ioo 13361 . . . . . . 7 (,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10 xrltnle 11312 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < 𝑀 ↔ Β¬ 𝑀 ≀ 𝐴))
11 xrlelttr 13168 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑀 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞) β†’ 𝑀 < +∞))
12 xrlttr 13152 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) β†’ -∞ < 𝑀))
138, 9, 10, 9, 11, 12ixxun 13373 . . . . . 6 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)) β†’ ((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
142, 3, 5, 6, 7, 13syl32anc 1376 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15 ioomax 13432 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
1614, 15eqtrdi 2784 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = ℝ)
17 iocssre 13437 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (-∞(,]𝐴) βŠ† ℝ)
181, 17mpan 689 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]𝐴) βŠ† ℝ)
198, 9, 10ixxdisj 13372 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = βˆ…)
201, 3, 5, 19mp3an2i 1463 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = βˆ…)
21 uneqdifeq 4493 . . . . 5 (((-∞(,]𝐴) βŠ† ℝ ∧ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = βˆ…) β†’ (((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
2218, 20, 21syl2anc 583 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
2316, 22mpbid 231 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞))
24 iooretop 24695 . . 3 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
2523, 24eqeltrdi 2837 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
26 retop 24691 . . 3 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
27 uniretop 24692 . . . 4 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2827iscld2 22945 . . 3 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,]𝐴) βŠ† ℝ) β†’ ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))) ↔ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))))
2926, 18, 28sylancr 586 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))) ↔ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))))
3025, 29mpbird 257 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   βˆ– cdif 3944   βˆͺ cun 3945   ∩ cin 3946   βŠ† wss 3947  βˆ…c0 4323   class class class wbr 5148  ran crn 5679  β€˜cfv 6548  (class class class)co 7420  β„cr 11138  +∞cpnf 11276  -∞cmnf 11277  β„*cxr 11278   < clt 11279   ≀ cle 11280  (,)cioo 13357  (,]cioc 13358  topGenctg 17419  Topctop 22808  Clsdccld 22933
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-cnex 11195  ax-resscn 11196  ax-1cn 11197  ax-icn 11198  ax-addcl 11199  ax-addrcl 11200  ax-mulcl 11201  ax-mulrcl 11202  ax-mulcom 11203  ax-addass 11204  ax-mulass 11205  ax-distr 11206  ax-i2m1 11207  ax-1ne0 11208  ax-1rid 11209  ax-rnegex 11210  ax-rrecex 11211  ax-cnre 11212  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214  ax-pre-ltadd 11215  ax-pre-mulgt0 11216  ax-pre-sup 11217
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3373  df-reu 3374  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6305  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-riota 7376  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7871  df-1st 7993  df-2nd 7994  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9466  df-inf 9467  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-xr 11283  df-ltxr 11284  df-le 11285  df-sub 11477  df-neg 11478  df-div 11903  df-nn 12244  df-n0 12504  df-z 12590  df-uz 12854  df-q 12964  df-ioo 13361  df-ioc 13362  df-topgen 17425  df-top 22809  df-bases 22862  df-cld 22936
This theorem is referenced by:  logdmopn  26596  orvclteel  34092  dvasin  37177  dvacos  37178  dvreasin  37179  dvreacos  37180  rfcnpre4  44396
  Copyright terms: Public domain W3C validator