MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iocmnfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocmnfcld 22900
Description: Left-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on . (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iocmnfcld (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem iocmnfcld
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10386 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ∈ ℝ*)
3 rexr 10374 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10382 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
6 mnflt 12204 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
7 ltpnf 12201 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
8 df-ioc 12429 . . . . . . 7 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
9 df-ioo 12428 . . . . . . 7 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
10 xrltnle 10395 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝐴))
11 xrlelttr 12236 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤𝐴𝐴 < +∞) → 𝑤 < +∞))
12 xrlttr 12220 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐴𝐴 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
138, 9, 10, 9, 11, 12ixxun 12440 . . . . . 6 (((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)) → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
142, 3, 5, 6, 7, 13syl32anc 1498 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15 ioomax 12497 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
1614, 15syl6eq 2849 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ)
17 iocssre 12502 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ)
181, 17mpan 682 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ)
198, 9, 10ixxdisj 12439 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅)
202, 3, 5, 19syl3anc 1491 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅)
21 uneqdifeq 4251 . . . . 5 (((-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ ∧ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
2218, 20, 21syl2anc 580 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
2316, 22mpbid 224 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞))
24 iooretop 22897 . . 3 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
2523, 24syl6eqel 2886 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,)))
26 retop 22893 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
27 uniretop 22894 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
2827iscld2 21161 . . 3 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ) → ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))))
2926, 18, 28sylancr 582 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))))
3025, 29mpbird 249 1 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 198   = wceq 1653  wcel 2157  cdif 3766  cun 3767  cin 3768  wss 3769  c0 4115   class class class wbr 4843  ran crn 5313  cfv 6101  (class class class)co 6878  cr 10223  +∞cpnf 10360  -∞cmnf 10361  *cxr 10362   < clt 10363  cle 10364  (,)cioo 12424  (,]cioc 12425  topGenctg 16413  Topctop 21026  Clsdccld 21149
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183  ax-cnex 10280  ax-resscn 10281  ax-1cn 10282  ax-icn 10283  ax-addcl 10284  ax-addrcl 10285  ax-mulcl 10286  ax-mulrcl 10287  ax-mulcom 10288  ax-addass 10289  ax-mulass 10290  ax-distr 10291  ax-i2m1 10292  ax-1ne0 10293  ax-1rid 10294  ax-rnegex 10295  ax-rrecex 10296  ax-cnre 10297  ax-pre-lttri 10298  ax-pre-lttrn 10299  ax-pre-ltadd 10300  ax-pre-mulgt0 10301  ax-pre-sup 10302
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3or 1109  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-nel 3075  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rmo 3097  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-pss 3785  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-tp 4373  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-tr 4946  df-id 5220  df-eprel 5225  df-po 5233  df-so 5234  df-fr 5271  df-we 5273  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-pred 5898  df-ord 5944  df-on 5945  df-lim 5946  df-suc 5947  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-mpt2 6883  df-om 7300  df-1st 7401  df-2nd 7402  df-wrecs 7645  df-recs 7707  df-rdg 7745  df-er 7982  df-en 8196  df-dom 8197  df-sdom 8198  df-sup 8590  df-inf 8591  df-pnf 10365  df-mnf 10366  df-xr 10367  df-ltxr 10368  df-le 10369  df-sub 10558  df-neg 10559  df-div 10977  df-nn 11313  df-n0 11581  df-z 11667  df-uz 11931  df-q 12034  df-ioo 12428  df-ioc 12429  df-topgen 16419  df-top 21027  df-bases 21079  df-cld 21152
This theorem is referenced by:  logdmopn  24736  orvclteel  31051  dvasin  33984  dvacos  33985  dvreasin  33986  dvreacos  33987  rfcnpre4  39953
  Copyright terms: Public domain W3C validator