Theorem iocmnfcld 23666

Description: Left-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iocmnfcld	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem iocmnfcld

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 10890	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ∈ ℝ*)
3		rexr 10879	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 10887	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
6		mnflt 12715	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
7		ltpnf 12712	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
8		df-ioc 12940	. . . . . . 7 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
9		df-ioo 12939	. . . . . . 7 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10		xrltnle 10900	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ 𝐴))
11		xrlelttr 12746	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞) → 𝑤 < +∞))
12		xrlttr 12730	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
13	8, 9, 10, 9, 11, 12	ixxun 12951	. . . . . 6 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)) → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
14	2, 3, 5, 6, 7, 13	syl32anc 1380	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15		ioomax 13010	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
16	14, 15	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ)
17		iocssre 13015	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ)
18	1, 17	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ)
19	8, 9, 10	ixxdisj 12950	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅)
20	1, 3, 5, 19	mp3an2i 1468	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅)
21		uneqdifeq 4404	. . . . 5 ⊢ (((-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ ∧ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
22	18, 20, 21	syl2anc 587	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
23	16, 22	mpbid 235	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞))
24		iooretop 23663	. . 3 ⊢ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
25	23, 24	eqeltrdi 2846	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,)))
26		retop 23659	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
27		uniretop 23660	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
28	27	iscld2 21925	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ) → ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))))
29	26, 18, 28	sylancr 590	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))))
30	25, 29	mpbird 260	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2110   ∖ cdif 3863   ∪ cun 3864   ∩ cin 3865   ⊆ wss 3866  ∅c0 4237   class class class wbr 5053  ran crn 5552  ‘cfv 6380  (class class class)co 7213  ℝcr 10728  +∞cpnf 10864  -∞cmnf 10865  ℝ^*cxr 10866   < clt 10867   ≤ cle 10868  (,)cioo 12935  (,]cioc 12936  topGenctg 16942  Topctop 21790  Clsdccld 21913

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2016  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2708  ax-sep 5192  ax-nul 5199  ax-pow 5258  ax-pr 5322  ax-un 7523  ax-cnex 10785  ax-resscn 10786  ax-1cn 10787  ax-icn 10788  ax-addcl 10789  ax-addrcl 10790  ax-mulcl 10791  ax-mulrcl 10792  ax-mulcom 10793  ax-addass 10794  ax-mulass 10795  ax-distr 10796  ax-i2m1 10797  ax-1ne0 10798  ax-1rid 10799  ax-rnegex 10800  ax-rrecex 10801  ax-cnre 10802  ax-pre-lttri 10803  ax-pre-lttrn 10804  ax-pre-ltadd 10805  ax-pre-mulgt0 10806  ax-pre-sup 10807

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2071  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3066  df-rex 3067  df-reu 3068  df-rmo 3069  df-rab 3070  df-v 3410  df-sbc 3695  df-csb 3812  df-dif 3869  df-un 3871  df-in 3873  df-ss 3883  df-pss 3885  df-nul 4238  df-if 4440  df-pw 4515  df-sn 4542  df-pr 4544  df-tp 4546  df-op 4548  df-uni 4820  df-iun 4906  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5136  df-tr 5162  df-id 5455  df-eprel 5460  df-po 5468  df-so 5469  df-fr 5509  df-we 5511  df-xp 5557  df-rel 5558  df-cnv 5559  df-co 5560  df-dm 5561  df-rn 5562  df-res 5563  df-ima 5564  df-pred 6160  df-ord 6216  df-on 6217  df-lim 6218  df-suc 6219  df-iota 6338  df-fun 6382  df-fn 6383  df-f 6384  df-f1 6385  df-fo 6386  df-f1o 6387  df-fv 6388  df-riota 7170  df-ov 7216  df-oprab 7217  df-mpo 7218  df-om 7645  df-1st 7761  df-2nd 7762  df-wrecs 8047  df-recs 8108  df-rdg 8146  df-er 8391  df-en 8627  df-dom 8628  df-sdom 8629  df-sup 9058  df-inf 9059  df-pnf 10869  df-mnf 10870  df-xr 10871  df-ltxr 10872  df-le 10873  df-sub 11064  df-neg 11065  df-div 11490  df-nn 11831  df-n0 12091  df-z 12177  df-uz 12439  df-q 12545  df-ioo 12939  df-ioc 12940  df-topgen 16948  df-top 21791  df-bases 21843  df-cld 21916

This theorem is referenced by:  logdmopn  25537  orvclteel  32151  dvasin  35598  dvacos  35599  dvreasin  35600  dvreacos  35601  rfcnpre4  42250