MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iocmnfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocmnfcld 24170
Description: Left-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iocmnfcld (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))

Proof of Theorem iocmnfcld
Dummy variables π‘₯ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11222 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
3 rexr 11211 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11219 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
6 mnflt 13054 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -∞ < 𝐴)
7 ltpnf 13051 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 < +∞)
8 df-ioc 13280 . . . . . . 7 (,] = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 ≀ 𝑦)})
9 df-ioo 13279 . . . . . . 7 (,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10 xrltnle 11232 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 < 𝑀 ↔ Β¬ 𝑀 ≀ 𝐴))
11 xrlelttr 13086 . . . . . . 7 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑀 ≀ 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞) β†’ 𝑀 < +∞))
12 xrlttr 13070 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑀) β†’ -∞ < 𝑀))
138, 9, 10, 9, 11, 12ixxun 13291 . . . . . 6 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)) β†’ ((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
142, 3, 5, 6, 7, 13syl32anc 1379 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15 ioomax 13350 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
1614, 15eqtrdi 2788 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = ℝ)
17 iocssre 13355 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) β†’ (-∞(,]𝐴) βŠ† ℝ)
181, 17mpan 689 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]𝐴) βŠ† ℝ)
198, 9, 10ixxdisj 13290 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = βˆ…)
201, 3, 5, 19mp3an2i 1467 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = βˆ…)
21 uneqdifeq 4456 . . . . 5 (((-∞(,]𝐴) βŠ† ℝ ∧ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = βˆ…) β†’ (((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
2218, 20, 21syl2anc 585 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((-∞(,]𝐴) βˆͺ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
2316, 22mpbid 231 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞))
24 iooretop 24167 . . 3 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
2523, 24eqeltrdi 2841 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGenβ€˜ran (,)))
26 retop 24163 . . 3 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
27 uniretop 24164 . . . 4 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2827iscld2 22417 . . 3 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,]𝐴) βŠ† ℝ) β†’ ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))) ↔ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))))
2926, 18, 28sylancr 588 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))) ↔ (ℝ βˆ– (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGenβ€˜ran (,))))
3025, 29mpbird 257 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   βˆ– cdif 3911   βˆͺ cun 3912   ∩ cin 3913   βŠ† wss 3914  βˆ…c0 4288   class class class wbr 5111  ran crn 5640  β€˜cfv 6502  (class class class)co 7363  β„cr 11060  +∞cpnf 11196  -∞cmnf 11197  β„*cxr 11198   < clt 11199   ≀ cle 11200  (,)cioo 13275  (,]cioc 13276  topGenctg 17334  Topctop 22280  Clsdccld 22405
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2703  ax-sep 5262  ax-nul 5269  ax-pow 5326  ax-pr 5390  ax-un 7678  ax-cnex 11117  ax-resscn 11118  ax-1cn 11119  ax-icn 11120  ax-addcl 11121  ax-addrcl 11122  ax-mulcl 11123  ax-mulrcl 11124  ax-mulcom 11125  ax-addass 11126  ax-mulass 11127  ax-distr 11128  ax-i2m1 11129  ax-1ne0 11130  ax-1rid 11131  ax-rnegex 11132  ax-rrecex 11133  ax-cnre 11134  ax-pre-lttri 11135  ax-pre-lttrn 11136  ax-pre-ltadd 11137  ax-pre-mulgt0 11138  ax-pre-sup 11139
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3933  df-nul 4289  df-if 4493  df-pw 4568  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4872  df-iun 4962  df-br 5112  df-opab 5174  df-mpt 5195  df-tr 5229  df-id 5537  df-eprel 5543  df-po 5551  df-so 5552  df-fr 5594  df-we 5596  df-xp 5645  df-rel 5646  df-cnv 5647  df-co 5648  df-dm 5649  df-rn 5650  df-res 5651  df-ima 5652  df-pred 6259  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6504  df-fn 6505  df-f 6506  df-f1 6507  df-fo 6508  df-f1o 6509  df-fv 6510  df-riota 7319  df-ov 7366  df-oprab 7367  df-mpo 7368  df-om 7809  df-1st 7927  df-2nd 7928  df-frecs 8218  df-wrecs 8249  df-recs 8323  df-rdg 8362  df-er 8656  df-en 8892  df-dom 8893  df-sdom 8894  df-sup 9388  df-inf 9389  df-pnf 11201  df-mnf 11202  df-xr 11203  df-ltxr 11204  df-le 11205  df-sub 11397  df-neg 11398  df-div 11823  df-nn 12164  df-n0 12424  df-z 12510  df-uz 12774  df-q 12884  df-ioo 13279  df-ioc 13280  df-topgen 17340  df-top 22281  df-bases 22334  df-cld 22408
This theorem is referenced by:  logdmopn  26042  orvclteel  33162  dvasin  36236  dvacos  36237  dvreasin  36238  dvreacos  36239  rfcnpre4  43343
  Copyright terms: Public domain W3C validator