MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  iocmnfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem iocmnfcld 24746
Description: Left-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on . (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
iocmnfcld (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem iocmnfcld
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11308 . . . . . . 7 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ∈ ℝ*)
3 rexr 11297 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11305 . . . . . . 7 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
6 mnflt 13143 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
7 ltpnf 13140 . . . . . 6 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
8 df-ioc 13369 . . . . . . 7 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
9 df-ioo 13368 . . . . . . 7 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
10 xrltnle 11318 . . . . . . 7 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝐴))
11 xrlelttr 13175 . . . . . . 7 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤𝐴𝐴 < +∞) → 𝑤 < +∞))
12 xrlttr 13159 . . . . . . 7 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐴𝐴 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
138, 9, 10, 9, 11, 12ixxun 13380 . . . . . 6 (((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)) → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
142, 3, 5, 6, 7, 13syl32anc 1375 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15 ioomax 13439 . . . . 5 (-∞(,)+∞) = ℝ
1614, 15eqtrdi 2781 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ)
17 iocssre 13444 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ) → (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ)
181, 17mpan 688 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ)
198, 9, 10ixxdisj 13379 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅)
201, 3, 5, 19mp3an2i 1462 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅)
21 uneqdifeq 4494 . . . . 5 (((-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ ∧ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
2218, 20, 21syl2anc 582 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
2316, 22mpbid 231 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞))
24 iooretop 24743 . . 3 (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
2523, 24eqeltrdi 2833 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,)))
26 retop 24739 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
27 uniretop 24740 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
2827iscld2 22993 . . 3 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ) → ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))))
2926, 18, 28sylancr 585 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))))
3025, 29mpbird 256 1 (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205   = wceq 1533  wcel 2098  cdif 3941  cun 3942  cin 3943  wss 3944  c0 4322   class class class wbr 5149  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  cr 11144  +∞cpnf 11282  -∞cmnf 11283  *cxr 11284   < clt 11285  cle 11286  (,)cioo 13364  (,]cioc 13365  topGenctg 17438  Topctop 22856  Clsdccld 22981
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11201  ax-resscn 11202  ax-1cn 11203  ax-icn 11204  ax-addcl 11205  ax-addrcl 11206  ax-mulcl 11207  ax-mulrcl 11208  ax-mulcom 11209  ax-addass 11210  ax-mulass 11211  ax-distr 11212  ax-i2m1 11213  ax-1ne0 11214  ax-1rid 11215  ax-rnegex 11216  ax-rrecex 11217  ax-cnre 11218  ax-pre-lttri 11219  ax-pre-lttrn 11220  ax-pre-ltadd 11221  ax-pre-mulgt0 11222  ax-pre-sup 11223
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-sup 9472  df-inf 9473  df-pnf 11287  df-mnf 11288  df-xr 11289  df-ltxr 11290  df-le 11291  df-sub 11483  df-neg 11484  df-div 11909  df-nn 12251  df-n0 12511  df-z 12597  df-uz 12861  df-q 12971  df-ioo 13368  df-ioc 13369  df-topgen 17444  df-top 22857  df-bases 22910  df-cld 22984
This theorem is referenced by:  logdmopn  26645  orvclteel  34243  dvasin  37328  dvacos  37329  dvreasin  37330  dvreacos  37331  rfcnpre4  44543
  Copyright terms: Public domain W3C validator