Theorem iocmnfcld 24672

Description: Left-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iocmnfcld	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem iocmnfcld

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11191	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ∈ ℝ*)
3		rexr 11180	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11188	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
6		mnflt 13043	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
7		ltpnf 13040	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
8		df-ioc 13271	. . . . . . 7 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
9		df-ioo 13270	. . . . . . 7 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10		xrltnle 11201	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ 𝐴))
11		xrlelttr 13076	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞) → 𝑤 < +∞))
12		xrlttr 13060	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
13	8, 9, 10, 9, 11, 12	ixxun 13282	. . . . . 6 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)) → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
14	2, 3, 5, 6, 7, 13	syl32anc 1380	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15		ioomax 13343	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
16	14, 15	eqtrdi 2780	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ)
17		iocssre 13348	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ)
18	1, 17	mpan 690	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ)
19	8, 9, 10	ixxdisj 13281	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅)
20	1, 3, 5, 19	mp3an2i 1468	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅)
21		uneqdifeq 4446	. . . . 5 ⊢ (((-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ ∧ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
23	16, 22	mpbid 232	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞))
24		iooretop 24669	. . 3 ⊢ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
25	23, 24	eqeltrdi 2836	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,)))
26		retop 24665	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
27		uniretop 24666	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
28	27	iscld2 22931	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ) → ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))))
29	26, 18, 28	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))))
30	25, 29	mpbird 257	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3902   ∪ cun 3903   ∩ cin 3904   ⊆ wss 3905  ∅c0 4286   class class class wbr 5095  ran crn 5624  ‘cfv 6486  (class class class)co 7353  ℝcr 11027  +∞cpnf 11165  -∞cmnf 11166  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168   ≤ cle 11169  (,)cioo 13266  (,]cioc 13267  topGenctg 17359  Topctop 22796  Clsdccld 22919

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7675  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-1cn 11086  ax-icn 11087  ax-addcl 11088  ax-addrcl 11089  ax-mulcl 11090  ax-mulrcl 11091  ax-mulcom 11092  ax-addass 11093  ax-mulass 11094  ax-distr 11095  ax-i2m1 11096  ax-1ne0 11097  ax-1rid 11098  ax-rnegex 11099  ax-rrecex 11100  ax-cnre 11101  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103  ax-pre-ltadd 11104  ax-pre-mulgt0 11105  ax-pre-sup 11106

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3345  df-reu 3346  df-rab 3397  df-v 3440  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5518  df-eprel 5523  df-po 5531  df-so 5532  df-fr 5576  df-we 5578  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-pred 6253  df-ord 6314  df-on 6315  df-lim 6316  df-suc 6317  df-iota 6442  df-fun 6488  df-fn 6489  df-f 6490  df-f1 6491  df-fo 6492  df-f1o 6493  df-fv 6494  df-riota 7310  df-ov 7356  df-oprab 7357  df-mpo 7358  df-om 7807  df-1st 7931  df-2nd 7932  df-frecs 8221  df-wrecs 8252  df-recs 8301  df-rdg 8339  df-er 8632  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-sup 9351  df-inf 9352  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-le 11174  df-sub 11367  df-neg 11368  df-div 11796  df-nn 12147  df-n0 12403  df-z 12490  df-uz 12754  df-q 12868  df-ioo 13270  df-ioc 13271  df-topgen 17365  df-top 22797  df-bases 22849  df-cld 22922

This theorem is referenced by:  logdmopn  26574  orvclteel  34440  dvasin  37683  dvacos  37684  dvreasin  37685  dvreacos  37686  rfcnpre4  45012