Theorem iocmnfcld 23932

Description: Left-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
iocmnfcld	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem iocmnfcld

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11032	. . . . . . 7 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ∈ ℝ*)
3		rexr 11021	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11029	. . . . . . 7 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
6		mnflt 12859	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
7		ltpnf 12856	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
8		df-ioc 13084	. . . . . . 7 ⊢ (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 ≤ 𝑦)})
9		df-ioo 13083	. . . . . . 7 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10		xrltnle 11042	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 ≤ 𝐴))
11		xrlelttr 12890	. . . . . . 7 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 ≤ 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞) → 𝑤 < +∞))
12		xrlttr 12874	. . . . . . 7 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < 𝑤) → -∞ < 𝑤))
13	8, 9, 10, 9, 11, 12	ixxun 13095	. . . . . 6 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)) → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
14	2, 3, 5, 6, 7, 13	syl32anc 1377	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15		ioomax 13154	. . . . 5 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
16	14, 15	eqtrdi 2794	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ)
17		iocssre 13159	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ)
18	1, 17	mpan 687	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ)
19	8, 9, 10	ixxdisj 13094	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅)
20	1, 3, 5, 19	mp3an2i 1465	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅)
21		uneqdifeq 4423	. . . . 5 ⊢ (((-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ ∧ ((-∞(,]𝐴) ∩ (𝐴(,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
22	18, 20, 21	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((-∞(,]𝐴) ∪ (𝐴(,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞)))
23	16, 22	mpbid 231	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) = (𝐴(,)+∞))
24		iooretop 23929	. . 3 ⊢ (𝐴(,)+∞) ∈ (topGen‘ran (,))
25	23, 24	eqeltrdi 2847	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,)))
26		retop 23925	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
27		uniretop 23926	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
28	27	iscld2 22179	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,]𝐴) ⊆ ℝ) → ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))))
29	26, 18, 28	sylancr 587	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))) ↔ (ℝ ∖ (-∞(,]𝐴)) ∈ (topGen‘ran (,))))
30	25, 29	mpbird 256	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (-∞(,]𝐴) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ∖ cdif 3884   ∪ cun 3885   ∩ cin 3886   ⊆ wss 3887  ∅c0 4256   class class class wbr 5074  ran crn 5590  ‘cfv 6433  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  +∞cpnf 11006  -∞cmnf 11007  ℝ^*cxr 11008   < clt 11009   ≤ cle 11010  (,)cioo 13079  (,]cioc 13080  topGenctg 17148  Topctop 22042  Clsdccld 22167

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-cnex 10927  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-mulcom 10935  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948  ax-pre-sup 10949

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-pss 3906  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-iun 4926  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-tr 5192  df-id 5489  df-eprel 5495  df-po 5503  df-so 5504  df-fr 5544  df-we 5546  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-pred 6202  df-ord 6269  df-on 6270  df-lim 6271  df-suc 6272  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-om 7713  df-1st 7831  df-2nd 7832  df-frecs 8097  df-wrecs 8128  df-recs 8202  df-rdg 8241  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-sup 9201  df-inf 9202  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-xr 11013  df-ltxr 11014  df-le 11015  df-sub 11207  df-neg 11208  df-div 11633  df-nn 11974  df-n0 12234  df-z 12320  df-uz 12583  df-q 12689  df-ioo 13083  df-ioc 13084  df-topgen 17154  df-top 22043  df-bases 22096  df-cld 22170

This theorem is referenced by:  logdmopn  25804  orvclteel  32439  dvasin  35861  dvacos  35862  dvreasin  35863  dvreacos  35864  rfcnpre4  42577