MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  snunioc Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem snunioc 13457
Description: The closure of the open end of a left-open real interval. (Contributed by Thierry Arnoux, 28-Mar-2017.)
Assertion
Ref Expression
snunioc ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))

Proof of Theorem snunioc
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 iccid 13369 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ* → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
213ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → (𝐴[,]𝐴) = {𝐴})
32uneq1d 4163 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐴) ∪ (𝐴(,]𝐵)) = ({𝐴} ∪ (𝐴(,]𝐵)))
4 simp1 1137 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5 simp2 1138 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐵 ∈ ℝ*)
6 xrleid 13130 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ*𝐴𝐴)
763ad2ant1 1134 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐴)
8 simp3 1139 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → 𝐴𝐵)
9 df-icc 13331 . . . 4 [,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧𝑦)})
10 df-ioc 13329 . . . 4 (,] = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧𝑦)})
11 xrltnle 11281 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 < 𝑤 ↔ ¬ 𝑤𝐴))
12 xrletr 13137 . . . 4 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) → ((𝑤𝐴𝐴𝐵) → 𝑤𝐵))
13 simpl1 1192 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴 < 𝑤)) → 𝐴 ∈ ℝ*)
14 simpl3 1194 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴 < 𝑤)) → 𝑤 ∈ ℝ*)
15 simprr 772 . . . . . 6 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴 < 𝑤)) → 𝐴 < 𝑤)
1613, 14, 15xrltled 13129 . . . . 5 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴 < 𝑤)) → 𝐴𝑤)
1716ex 414 . . . 4 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴𝐴𝐴 < 𝑤) → 𝐴𝑤))
189, 10, 11, 9, 12, 17ixxun 13340 . . 3 (((𝐴 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*) ∧ (𝐴𝐴𝐴𝐵)) → ((𝐴[,]𝐴) ∪ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
194, 4, 5, 7, 8, 18syl32anc 1379 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ((𝐴[,]𝐴) ∪ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
203, 19eqtr3d 2775 1 ((𝐴 ∈ ℝ*𝐵 ∈ ℝ*𝐴𝐵) → ({𝐴} ∪ (𝐴(,]𝐵)) = (𝐴[,]𝐵))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  cun 3947  {csn 4629   class class class wbr 5149  (class class class)co 7409  *cxr 11247   < clt 11248  cle 11249  (,]cioc 13325  [,]cicc 13327
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-ioc 13329  df-icc 13331
This theorem is referenced by:  elntg2  28274  xrge0iifcnv  32944  xrge0iifiso  32946  xrge0iifhom  32948
  Copyright terms: Public domain W3C validator