MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfcld 24702
Description: Right-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
icopnfcld (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))

Proof of Theorem icopnfcld
Dummy variables π‘₯ 𝑀 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 11301 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -∞ ∈ ℝ*)
3 rexr 11290 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 11298 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ +∞ ∈ ℝ*)
6 mnflt 13135 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ -∞ < 𝐴)
7 ltpnf 13132 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ β†’ 𝐴 < +∞)
8 df-ioo 13360 . . . . . 6 (,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
9 df-ico 13362 . . . . . 6 [,) = (π‘₯ ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (π‘₯ ≀ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10 xrlenlt 11309 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ (𝐴 ≀ 𝑀 ↔ Β¬ 𝑀 < 𝐴))
11 xrlttr 13151 . . . . . 6 ((𝑀 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((𝑀 < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞) β†’ 𝑀 < +∞))
12 xrltletr 13168 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑀 ∈ ℝ*) β†’ ((-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≀ 𝑀) β†’ -∞ < 𝑀))
138, 9, 10, 8, 11, 12ixxun 13372 . . . . 5 (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)) β†’ ((-∞(,)𝐴) βˆͺ (𝐴[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
142, 3, 5, 6, 7, 13syl32anc 1375 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,)𝐴) βˆͺ (𝐴[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15 ioomax 13431 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
1614, 15eqtrdi 2781 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,)𝐴) βˆͺ (𝐴[,)+∞)) = ℝ)
17 ioossre 13417 . . . 4 (-∞(,)𝐴) βŠ† ℝ
188, 9, 10ixxdisj 13371 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) β†’ ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = βˆ…)
191, 3, 5, 18mp3an2i 1462 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ β†’ ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = βˆ…)
20 uneqdifeq 4488 . . . 4 (((-∞(,)𝐴) βŠ† ℝ ∧ ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = βˆ…) β†’ (((-∞(,)𝐴) βˆͺ (𝐴[,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ βˆ– (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞)))
2117, 19, 20sylancr 585 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (((-∞(,)𝐴) βˆͺ (𝐴[,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ βˆ– (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞)))
2216, 21mpbid 231 . 2 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (ℝ βˆ– (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞))
23 retop 24696 . . 3 (topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top
24 iooretop 24700 . . 3 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGenβ€˜ran (,))
25 uniretop 24697 . . . 4 ℝ = βˆͺ (topGenβ€˜ran (,))
2625opncld 22955 . . 3 (((topGenβ€˜ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGenβ€˜ran (,))) β†’ (ℝ βˆ– (-∞(,)𝐴)) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
2723, 24, 26mp2an 690 . 2 (ℝ βˆ– (-∞(,)𝐴)) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,)))
2822, 27eqeltrrdi 2834 1 (𝐴 ∈ ℝ β†’ (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsdβ€˜(topGenβ€˜ran (,))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   βˆ– cdif 3936   βˆͺ cun 3937   ∩ cin 3938   βŠ† wss 3939  βˆ…c0 4318   class class class wbr 5143  ran crn 5673  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7416  β„cr 11137  +∞cpnf 11275  -∞cmnf 11276  β„*cxr 11277   < clt 11278   ≀ cle 11279  (,)cioo 13356  [,)cico 13358  topGenctg 17418  Topctop 22813  Clsdccld 22938
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-sep 5294  ax-nul 5301  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7738  ax-cnex 11194  ax-resscn 11195  ax-1cn 11196  ax-icn 11197  ax-addcl 11198  ax-addrcl 11199  ax-mulcl 11200  ax-mulrcl 11201  ax-mulcom 11202  ax-addass 11203  ax-mulass 11204  ax-distr 11205  ax-i2m1 11206  ax-1ne0 11207  ax-1rid 11208  ax-rnegex 11209  ax-rrecex 11210  ax-cnre 11211  ax-pre-lttri 11212  ax-pre-lttrn 11213  ax-pre-ltadd 11214  ax-pre-mulgt0 11215  ax-pre-sup 11216
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2931  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3364  df-reu 3365  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3769  df-csb 3885  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3956  df-pss 3959  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5227  df-tr 5261  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7372  df-ov 7419  df-oprab 7420  df-mpo 7421  df-om 7869  df-1st 7991  df-2nd 7992  df-frecs 8285  df-wrecs 8316  df-recs 8390  df-rdg 8429  df-er 8723  df-en 8963  df-dom 8964  df-sdom 8965  df-sup 9465  df-inf 9466  df-pnf 11280  df-mnf 11281  df-xr 11282  df-ltxr 11283  df-le 11284  df-sub 11476  df-neg 11477  df-div 11902  df-nn 12243  df-n0 12503  df-z 12589  df-uz 12853  df-q 12963  df-ioo 13360  df-ico 13362  df-topgen 17424  df-top 22814  df-bases 22867  df-cld 22941
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem3  33949  orvcgteel  34144  dvasin  37234  dvacos  37235  dvreasin  37236  dvreacos  37237  rfcnpre3  44460
  Copyright terms: Public domain W3C validator