MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfcld 22850
Description: Right-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on . (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
icopnfcld (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem icopnfcld
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10350 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ∈ ℝ*)
3 rexr 10339 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10346 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
6 mnflt 12157 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
7 ltpnf 12154 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
8 df-ioo 12381 . . . . . 6 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
9 df-ico 12383 . . . . . 6 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
10 xrlenlt 10357 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐴))
11 xrlttr 12173 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐴𝐴 < +∞) → 𝑤 < +∞))
12 xrltletr 12190 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐴𝐴𝑤) → -∞ < 𝑤))
138, 9, 10, 8, 11, 12ixxun 12393 . . . . 5 (((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
142, 3, 5, 6, 7, 13syl32anc 1497 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15 ioomax 12450 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
1614, 15syl6eq 2815 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ)
17 ioossre 12437 . . . 4 (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
188, 9, 10ixxdisj 12392 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅)
192, 3, 5, 18syl3anc 1490 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅)
20 uneqdifeq 4217 . . . 4 (((-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ ∧ ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞)))
2117, 19, 20sylancr 581 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞)))
2216, 21mpbid 223 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞))
23 retop 22844 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
24 iooretop 22848 . . 3 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
25 uniretop 22845 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
2625opncld 21117 . . 3 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
2723, 24, 26mp2an 683 . 2 (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
2822, 27syl6eqelr 2853 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197   = wceq 1652  wcel 2155  cdif 3729  cun 3730  cin 3731  wss 3732  c0 4079   class class class wbr 4809  ran crn 5278  cfv 6068  (class class class)co 6842  cr 10188  +∞cpnf 10325  -∞cmnf 10326  *cxr 10327   < clt 10328  cle 10329  (,)cioo 12377  [,)cico 12379  topGenctg 16364  Topctop 20977  Clsdccld 21100
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147  ax-cnex 10245  ax-resscn 10246  ax-1cn 10247  ax-icn 10248  ax-addcl 10249  ax-addrcl 10250  ax-mulcl 10251  ax-mulrcl 10252  ax-mulcom 10253  ax-addass 10254  ax-mulass 10255  ax-distr 10256  ax-i2m1 10257  ax-1ne0 10258  ax-1rid 10259  ax-rnegex 10260  ax-rrecex 10261  ax-cnre 10262  ax-pre-lttri 10263  ax-pre-lttrn 10264  ax-pre-ltadd 10265  ax-pre-mulgt0 10266  ax-pre-sup 10267
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3or 1108  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-nel 3041  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rmo 3063  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-pss 3748  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-tp 4339  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-tr 4912  df-id 5185  df-eprel 5190  df-po 5198  df-so 5199  df-fr 5236  df-we 5238  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-pred 5865  df-ord 5911  df-on 5912  df-lim 5913  df-suc 5914  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-mpt2 6847  df-om 7264  df-1st 7366  df-2nd 7367  df-wrecs 7610  df-recs 7672  df-rdg 7710  df-er 7947  df-en 8161  df-dom 8162  df-sdom 8163  df-sup 8555  df-inf 8556  df-pnf 10330  df-mnf 10331  df-xr 10332  df-ltxr 10333  df-le 10334  df-sub 10522  df-neg 10523  df-div 10939  df-nn 11275  df-n0 11539  df-z 11625  df-uz 11887  df-q 11990  df-ioo 12381  df-ico 12383  df-topgen 16370  df-top 20978  df-bases 21030  df-cld 21103
This theorem is referenced by:  sxbrsigalem3  30781  orvcgteel  30977  dvasin  33919  dvacos  33920  dvreasin  33921  dvreacos  33922  rfcnpre3  39844
  Copyright terms: Public domain W3C validator