Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  icopnfcld Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem icopnfcld 23376
 Description: Right-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)
Assertion
Ref Expression
icopnfcld (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem icopnfcld
Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 mnfxr 10691 . . . . . 6 -∞ ∈ ℝ*
21a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ∈ ℝ*)
3 rexr 10680 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4 pnfxr 10688 . . . . . 6 +∞ ∈ ℝ*
54a1i 11 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
6 mnflt 12510 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
7 ltpnf 12507 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
8 df-ioo 12734 . . . . . 6 (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧𝑧 < 𝑦)})
9 df-ico 12736 . . . . . 6 [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥𝑧𝑧 < 𝑦)})
10 xrlenlt 10699 . . . . . 6 ((𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐴))
11 xrlttr 12525 . . . . . 6 ((𝑤 ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐴𝐴 < +∞) → 𝑤 < +∞))
12 xrltletr 12542 . . . . . 6 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ*𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐴𝐴𝑤) → -∞ < 𝑤))
138, 9, 10, 8, 11, 12ixxun 12746 . . . . 5 (((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴𝐴 < +∞)) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
142, 3, 5, 6, 7, 13syl32anc 1375 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15 ioomax 12804 . . . 4 (-∞(,)+∞) = ℝ
1614, 15eqtrdi 2852 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ)
17 ioossre 12790 . . . 4 (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
188, 9, 10ixxdisj 12745 . . . . 5 ((-∞ ∈ ℝ*𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅)
191, 3, 5, 18mp3an2i 1463 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅)
20 uneqdifeq 4399 . . . 4 (((-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ ∧ ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞)))
2117, 19, 20sylancr 590 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞)))
2216, 21mpbid 235 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞))
23 retop 23370 . . 3 (topGen‘ran (,)) ∈ Top
24 iooretop 23374 . . 3 (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
25 uniretop 23371 . . . 4 ℝ = (topGen‘ran (,))
2625opncld 21641 . . 3 (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
2723, 24, 26mp2an 691 . 2 (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
2822, 27eqeltrrdi 2902 1 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1538   ∈ wcel 2112   ∖ cdif 3881   ∪ cun 3882   ∩ cin 3883   ⊆ wss 3884  ∅c0 4246   class class class wbr 5033  ran crn 5524  ‘cfv 6328  (class class class)co 7139  ℝcr 10529  +∞cpnf 10665  -∞cmnf 10666  ℝ*cxr 10667   < clt 10668   ≤ cle 10669  (,)cioo 12730  [,)cico 12732  topGenctg 16706  Topctop 21501  Clsdccld 21624 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2159  ax-12 2176  ax-ext 2773  ax-sep 5170  ax-nul 5177  ax-pow 5234  ax-pr 5298  ax-un 7445  ax-cnex 10586  ax-resscn 10587  ax-1cn 10588  ax-icn 10589  ax-addcl 10590  ax-addrcl 10591  ax-mulcl 10592  ax-mulrcl 10593  ax-mulcom 10594  ax-addass 10595  ax-mulass 10596  ax-distr 10597  ax-i2m1 10598  ax-1ne0 10599  ax-1rid 10600  ax-rnegex 10601  ax-rrecex 10602  ax-cnre 10603  ax-pre-lttri 10604  ax-pre-lttrn 10605  ax-pre-ltadd 10606  ax-pre-mulgt0 10607  ax-pre-sup 10608 This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2601  df-eu 2632  df-clab 2780  df-cleq 2794  df-clel 2873  df-nfc 2941  df-ne 2991  df-nel 3095  df-ral 3114  df-rex 3115  df-reu 3116  df-rmo 3117  df-rab 3118  df-v 3446  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3887  df-un 3889  df-in 3891  df-ss 3901  df-pss 3903  df-nul 4247  df-if 4429  df-pw 4502  df-sn 4529  df-pr 4531  df-tp 4533  df-op 4535  df-uni 4804  df-iun 4886  df-br 5034  df-opab 5096  df-mpt 5114  df-tr 5140  df-id 5428  df-eprel 5433  df-po 5442  df-so 5443  df-fr 5482  df-we 5484  df-xp 5529  df-rel 5530  df-cnv 5531  df-co 5532  df-dm 5533  df-rn 5534  df-res 5535  df-ima 5536  df-pred 6120  df-ord 6166  df-on 6167  df-lim 6168  df-suc 6169  df-iota 6287  df-fun 6330  df-fn 6331  df-f 6332  df-f1 6333  df-fo 6334  df-f1o 6335  df-fv 6336  df-riota 7097  df-ov 7142  df-oprab 7143  df-mpo 7144  df-om 7565  df-1st 7675  df-2nd 7676  df-wrecs 7934  df-recs 7995  df-rdg 8033  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-sup 8894  df-inf 8895  df-pnf 10670  df-mnf 10671  df-xr 10672  df-ltxr 10673  df-le 10674  df-sub 10865  df-neg 10866  df-div 11291  df-nn 11630  df-n0 11890  df-z 11974  df-uz 12236  df-q 12341  df-ioo 12734  df-ico 12736  df-topgen 16712  df-top 21502  df-bases 21554  df-cld 21627 This theorem is referenced by:  sxbrsigalem3  31638  orvcgteel  31833  dvasin  35134  dvacos  35135  dvreasin  35136  dvreacos  35137  rfcnpre3  41649
 Copyright terms: Public domain W3C validator