Theorem icopnfcld 24683

Description: Right-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
icopnfcld	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem icopnfcld

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11169	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ∈ ℝ*)
3		rexr 11158	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11166	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
6		mnflt 13022	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
7		ltpnf 13019	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
8		df-ioo 13249	. . . . . 6 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
9		df-ico 13251	. . . . . 6 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10		xrlenlt 11177	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐴))
11		xrlttr 13039	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞) → 𝑤 < +∞))
12		xrltletr 13056	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑤) → -∞ < 𝑤))
13	8, 9, 10, 8, 11, 12	ixxun 13261	. . . . 5 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
14	2, 3, 5, 6, 7, 13	syl32anc 1380	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15		ioomax 13322	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
16	14, 15	eqtrdi 2782	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ)
17		ioossre 13307	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
18	8, 9, 10	ixxdisj 13260	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅)
19	1, 3, 5, 18	mp3an2i 1468	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅)
20		uneqdifeq 4443	. . . 4 ⊢ (((-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ ∧ ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞)))
21	17, 19, 20	sylancr 587	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞)))
22	16, 21	mpbid 232	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞))
23		retop 24677	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
24		iooretop 24681	. . 3 ⊢ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
25		uniretop 24678	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
26	25	opncld 22949	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
27	23, 24, 26	mp2an 692	. 2 ⊢ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
28	22, 27	eqeltrrdi 2840	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ∖ cdif 3899   ∪ cun 3900   ∩ cin 3901   ⊆ wss 3902  ∅c0 4283   class class class wbr 5091  ran crn 5617  ‘cfv 6481  (class class class)co 7346  ℝcr 11005  +∞cpnf 11143  -∞cmnf 11144  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  (,)cioo 13245  [,)cico 13247  topGenctg 17341  Topctop 22809  Clsdccld 22932

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5234  ax-nul 5244  ax-pow 5303  ax-pr 5370  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-pss 3922  df-nul 4284  df-if 4476  df-pw 4552  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-iun 4943  df-br 5092  df-opab 5154  df-mpt 5173  df-tr 5199  df-id 5511  df-eprel 5516  df-po 5524  df-so 5525  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5622  df-rel 5623  df-cnv 5624  df-co 5625  df-dm 5626  df-rn 5627  df-res 5628  df-ima 5629  df-pred 6248  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-om 7797  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-frecs 8211  df-wrecs 8242  df-recs 8291  df-rdg 8329  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-div 11775  df-nn 12126  df-n0 12382  df-z 12469  df-uz 12733  df-q 12847  df-ioo 13249  df-ico 13251  df-topgen 17347  df-top 22810  df-bases 22862  df-cld 22935

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem3  34283  orvcgteel  34479  dvasin  37750  dvacos  37751  dvreasin  37752  dvreacos  37753  rfcnpre3  45076