Theorem icopnfcld 23619

Description: Right-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
icopnfcld	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem icopnfcld

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 10855	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ∈ ℝ*)
3		rexr 10844	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 10852	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
6		mnflt 12680	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
7		ltpnf 12677	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
8		df-ioo 12904	. . . . . 6 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
9		df-ico 12906	. . . . . 6 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10		xrlenlt 10863	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐴))
11		xrlttr 12695	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞) → 𝑤 < +∞))
12		xrltletr 12712	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑤) → -∞ < 𝑤))
13	8, 9, 10, 8, 11, 12	ixxun 12916	. . . . 5 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
14	2, 3, 5, 6, 7, 13	syl32anc 1380	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15		ioomax 12975	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
16	14, 15	eqtrdi 2787	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ)
17		ioossre 12961	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
18	8, 9, 10	ixxdisj 12915	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅)
19	1, 3, 5, 18	mp3an2i 1468	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅)
20		uneqdifeq 4390	. . . 4 ⊢ (((-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ ∧ ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞)))
21	17, 19, 20	sylancr 590	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞)))
22	16, 21	mpbid 235	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞))
23		retop 23613	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
24		iooretop 23617	. . 3 ⊢ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
25		uniretop 23614	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
26	25	opncld 21884	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
27	23, 24, 26	mp2an 692	. 2 ⊢ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
28	22, 27	eqeltrrdi 2840	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   = wceq 1543   ∈ wcel 2112   ∖ cdif 3850   ∪ cun 3851   ∩ cin 3852   ⊆ wss 3853  ∅c0 4223   class class class wbr 5039  ran crn 5537  ‘cfv 6358  (class class class)co 7191  ℝcr 10693  +∞cpnf 10829  -∞cmnf 10830  ℝ^*cxr 10831   < clt 10832   ≤ cle 10833  (,)cioo 12900  [,)cico 12902  topGenctg 16896  Topctop 21744  Clsdccld 21867

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1803  ax-4 1817  ax-5 1918  ax-6 1976  ax-7 2018  ax-8 2114  ax-9 2122  ax-10 2143  ax-11 2160  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5177  ax-nul 5184  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7501  ax-cnex 10750  ax-resscn 10751  ax-1cn 10752  ax-icn 10753  ax-addcl 10754  ax-addrcl 10755  ax-mulcl 10756  ax-mulrcl 10757  ax-mulcom 10758  ax-addass 10759  ax-mulass 10760  ax-distr 10761  ax-i2m1 10762  ax-1ne0 10763  ax-1rid 10764  ax-rnegex 10765  ax-rrecex 10766  ax-cnre 10767  ax-pre-lttri 10768  ax-pre-lttrn 10769  ax-pre-ltadd 10770  ax-pre-mulgt0 10771  ax-pre-sup 10772

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 848  df-3or 1090  df-3an 1091  df-tru 1546  df-fal 1556  df-ex 1788  df-nf 1792  df-sb 2073  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2809  df-nfc 2879  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3056  df-rex 3057  df-reu 3058  df-rmo 3059  df-rab 3060  df-v 3400  df-sbc 3684  df-csb 3799  df-dif 3856  df-un 3858  df-in 3860  df-ss 3870  df-pss 3872  df-nul 4224  df-if 4426  df-pw 4501  df-sn 4528  df-pr 4530  df-tp 4532  df-op 4534  df-uni 4806  df-iun 4892  df-br 5040  df-opab 5102  df-mpt 5121  df-tr 5147  df-id 5440  df-eprel 5445  df-po 5453  df-so 5454  df-fr 5494  df-we 5496  df-xp 5542  df-rel 5543  df-cnv 5544  df-co 5545  df-dm 5546  df-rn 5547  df-res 5548  df-ima 5549  df-pred 6140  df-ord 6194  df-on 6195  df-lim 6196  df-suc 6197  df-iota 6316  df-fun 6360  df-fn 6361  df-f 6362  df-f1 6363  df-fo 6364  df-f1o 6365  df-fv 6366  df-riota 7148  df-ov 7194  df-oprab 7195  df-mpo 7196  df-om 7623  df-1st 7739  df-2nd 7740  df-wrecs 8025  df-recs 8086  df-rdg 8124  df-er 8369  df-en 8605  df-dom 8606  df-sdom 8607  df-sup 9036  df-inf 9037  df-pnf 10834  df-mnf 10835  df-xr 10836  df-ltxr 10837  df-le 10838  df-sub 11029  df-neg 11030  df-div 11455  df-nn 11796  df-n0 12056  df-z 12142  df-uz 12404  df-q 12510  df-ioo 12904  df-ico 12906  df-topgen 16902  df-top 21745  df-bases 21797  df-cld 21870

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem3  31905  orvcgteel  32100  dvasin  35547  dvacos  35548  dvreasin  35549  dvreacos  35550  rfcnpre3  42190