Theorem icopnfcld 23912

Description: Right-unbounded closed intervals are closed sets of the standard topology on ℝ. (Contributed by Mario Carneiro, 17-Feb-2015.)

Assertion

Ref	Expression
icopnfcld	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Proof of Theorem icopnfcld

Dummy variables 𝑥 𝑤 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mnfxr 11016	. . . . . 6 ⊢ -∞ ∈ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ ∈ ℝ*)
3		rexr 11005	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4		pnfxr 11013	. . . . . 6 ⊢ +∞ ∈ ℝ*
5	4	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → +∞ ∈ ℝ*)
6		mnflt 12841	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → -∞ < 𝐴)
7		ltpnf 12838	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 < +∞)
8		df-ioo 13065	. . . . . 6 ⊢ (,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 < 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
9		df-ico 13067	. . . . . 6 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
10		xrlenlt 11024	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → (𝐴 ≤ 𝑤 ↔ ¬ 𝑤 < 𝐴))
11		xrlttr 12856	. . . . . 6 ⊢ ((𝑤 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((𝑤 < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞) → 𝑤 < +∞))
12		xrltletr 12873	. . . . . 6 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 ≤ 𝑤) → -∞ < 𝑤))
13	8, 9, 10, 8, 11, 12	ixxun 13077	. . . . 5 ⊢ (((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) ∧ (-∞ < 𝐴 ∧ 𝐴 < +∞)) → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
14	2, 3, 5, 6, 7, 13	syl32anc 1376	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = (-∞(,)+∞))
15		ioomax 13136	. . . 4 ⊢ (-∞(,)+∞) = ℝ
16	14, 15	eqtrdi 2795	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ)
17		ioossre 13122	. . . 4 ⊢ (-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ
18	8, 9, 10	ixxdisj 13076	. . . . 5 ⊢ ((-∞ ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ∈ ℝ* ∧ +∞ ∈ ℝ*) → ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅)
19	1, 3, 5, 18	mp3an2i 1464	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅)
20		uneqdifeq 4428	. . . 4 ⊢ (((-∞(,)𝐴) ⊆ ℝ ∧ ((-∞(,)𝐴) ∩ (𝐴[,)+∞)) = ∅) → (((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞)))
21	17, 19, 20	sylancr 586	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (((-∞(,)𝐴) ∪ (𝐴[,)+∞)) = ℝ ↔ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞)))
22	16, 21	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) = (𝐴[,)+∞))
23		retop 23906	. . 3 ⊢ (topGen‘ran (,)) ∈ Top
24		iooretop 23910	. . 3 ⊢ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))
25		uniretop 23907	. . . 4 ⊢ ℝ = ∪ (topGen‘ran (,))
26	25	opncld 22165	. . 3 ⊢ (((topGen‘ran (,)) ∈ Top ∧ (-∞(,)𝐴) ∈ (topGen‘ran (,))) → (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))
27	23, 24, 26	mp2an 688	. 2 ⊢ (ℝ ∖ (-∞(,)𝐴)) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,)))
28	22, 27	eqeltrrdi 2849	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴[,)+∞) ∈ (Clsd‘(topGen‘ran (,))))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   = wceq 1541   ∈ wcel 2109   ∖ cdif 3888   ∪ cun 3889   ∩ cin 3890   ⊆ wss 3891  ∅c0 4261   class class class wbr 5078  ran crn 5589  ‘cfv 6430  (class class class)co 7268  ℝcr 10854  +∞cpnf 10990  -∞cmnf 10991  ℝ^*cxr 10992   < clt 10993   ≤ cle 10994  (,)cioo 13061  [,)cico 13063  topGenctg 17129  Topctop 22023  Clsdccld 22148

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1801  ax-4 1815  ax-5 1916  ax-6 1974  ax-7 2014  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2140  ax-11 2157  ax-12 2174  ax-ext 2710  ax-sep 5226  ax-nul 5233  ax-pow 5291  ax-pr 5355  ax-un 7579  ax-cnex 10911  ax-resscn 10912  ax-1cn 10913  ax-icn 10914  ax-addcl 10915  ax-addrcl 10916  ax-mulcl 10917  ax-mulrcl 10918  ax-mulcom 10919  ax-addass 10920  ax-mulass 10921  ax-distr 10922  ax-i2m1 10923  ax-1ne0 10924  ax-1rid 10925  ax-rnegex 10926  ax-rrecex 10927  ax-cnre 10928  ax-pre-lttri 10929  ax-pre-lttrn 10930  ax-pre-ltadd 10931  ax-pre-mulgt0 10932  ax-pre-sup 10933

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1786  df-nf 1790  df-sb 2071  df-mo 2541  df-eu 2570  df-clab 2717  df-cleq 2731  df-clel 2817  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3070  df-rex 3071  df-reu 3072  df-rmo 3073  df-rab 3074  df-v 3432  df-sbc 3720  df-csb 3837  df-dif 3894  df-un 3896  df-in 3898  df-ss 3908  df-pss 3910  df-nul 4262  df-if 4465  df-pw 4540  df-sn 4567  df-pr 4569  df-tp 4571  df-op 4573  df-uni 4845  df-iun 4931  df-br 5079  df-opab 5141  df-mpt 5162  df-tr 5196  df-id 5488  df-eprel 5494  df-po 5502  df-so 5503  df-fr 5543  df-we 5545  df-xp 5594  df-rel 5595  df-cnv 5596  df-co 5597  df-dm 5598  df-rn 5599  df-res 5600  df-ima 5601  df-pred 6199  df-ord 6266  df-on 6267  df-lim 6268  df-suc 6269  df-iota 6388  df-fun 6432  df-fn 6433  df-f 6434  df-f1 6435  df-fo 6436  df-f1o 6437  df-fv 6438  df-riota 7225  df-ov 7271  df-oprab 7272  df-mpo 7273  df-om 7701  df-1st 7817  df-2nd 7818  df-frecs 8081  df-wrecs 8112  df-recs 8186  df-rdg 8225  df-er 8472  df-en 8708  df-dom 8709  df-sdom 8710  df-sup 9162  df-inf 9163  df-pnf 10995  df-mnf 10996  df-xr 10997  df-ltxr 10998  df-le 10999  df-sub 11190  df-neg 11191  df-div 11616  df-nn 11957  df-n0 12217  df-z 12303  df-uz 12565  df-q 12671  df-ioo 13065  df-ico 13067  df-topgen 17135  df-top 22024  df-bases 22077  df-cld 22151

This theorem is referenced by:  sxbrsigalem3  32218  orvcgteel  32413  dvasin  35840  dvacos  35841  dvreasin  35842  dvreacos  35843  rfcnpre3  42529