Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  joindm3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem joindm3 46934
Description: The join of any two elements always exists iff all unordered pairs have LUB (expanded version). (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
joindm2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
joindm2.k (𝜑𝐾𝑉)
joindm2.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
joindm2.j = (join‘𝐾)
joindm3.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
joindm3 (𝜑 → (dom = (𝐵 × 𝐵) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ∃!𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑦 𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 ((𝑥 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑧 𝑤))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐾,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐾(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem joindm3
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joindm2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 joindm2.k . . 3 (𝜑𝐾𝑉)
3 joindm2.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 joindm2.j . . 3 = (join‘𝐾)
51, 2, 3, 4joindm2 46933 . 2 (𝜑 → (dom = (𝐵 × 𝐵) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 {𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈))
6 simprl 769 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
7 simprr 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
86, 7prssd 4780 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
9 joindm3.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
10 biid 260 . . . . . . 7 ((∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤)) ↔ (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤)))
111, 9, 3, 10, 2lubeldm 18234 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑧𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤)))))
1211baibd 540 . . . . 5 ((𝜑 ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵) → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ↔ ∃!𝑧𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤))))
138, 12syldan 591 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ↔ ∃!𝑧𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤))))
142adantr 481 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐾𝑉)
151, 9, 4, 14, 6, 7joinval2lem 18261 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤)) ↔ ((𝑥 𝑧𝑦 𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 ((𝑥 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑧 𝑤))))
1615reubidv 3369 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (∃!𝑧𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤)) ↔ ∃!𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑦 𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 ((𝑥 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑧 𝑤))))
1716adantl 482 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (∃!𝑧𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤)) ↔ ∃!𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑦 𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 ((𝑥 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑧 𝑤))))
1813, 17bitrd 278 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ↔ ∃!𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑦 𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 ((𝑥 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑧 𝑤))))
19182ralbidva 3208 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 {𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ∃!𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑦 𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 ((𝑥 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑧 𝑤))))
205, 19bitrd 278 1 (𝜑 → (dom = (𝐵 × 𝐵) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ∃!𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑦 𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 ((𝑥 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑧 𝑤))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396   = wceq 1541  wcel 2106  wral 3062  ∃!wreu 3349  wss 3908  {cpr 4586   class class class wbr 5103   × cxp 5629  dom cdm 5631  cfv 6493  Basecbs 17075  lecple 17132  lubclub 18190  joincjn 18192
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5240  ax-sep 5254  ax-nul 5261  ax-pow 5318  ax-pr 5382  ax-un 7668
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3352  df-rab 3406  df-v 3445  df-sbc 3738  df-csb 3854  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4560  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4864  df-iun 4954  df-br 5104  df-opab 5166  df-mpt 5187  df-id 5529  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6445  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-riota 7309  df-oprab 7357  df-lub 18227  df-join 18229
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator