Users' Mathboxes Mathbox for Zhi Wang < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  joindm3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem joindm3 48765
Description: The join of any two elements always exists iff all unordered pairs have LUB (expanded version). (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)
Hypotheses
Ref Expression
joindm2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
joindm2.k (𝜑𝐾𝑉)
joindm2.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
joindm2.j = (join‘𝐾)
joindm3.l = (le‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
joindm3 (𝜑 → (dom = (𝐵 × 𝐵) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ∃!𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑦 𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 ((𝑥 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑧 𝑤))))
Distinct variable groups:   𝑥,𝑤,𝑦,𝑧,   𝑤,𝐵,𝑥,𝑦,𝑧   𝑤,𝐾,𝑧   𝜑,𝑥,𝑦
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑤)   𝑈(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝐾(𝑥,𝑦)   (𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)   𝑉(𝑥,𝑦,𝑧,𝑤)

Proof of Theorem joindm3
Dummy variable 𝑣 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joindm2.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 joindm2.k . . 3 (𝜑𝐾𝑉)
3 joindm2.u . . 3 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 joindm2.j . . 3 = (join‘𝐾)
51, 2, 3, 4joindm2 48764 . 2 (𝜑 → (dom = (𝐵 × 𝐵) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 {𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈))
6 simprl 771 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑥𝐵)
7 simprr 773 . . . . . 6 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝑦𝐵)
86, 7prssd 4826 . . . . 5 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵)
9 joindm3.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
10 biid 261 . . . . . . 7 ((∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤)) ↔ (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤)))
111, 9, 3, 10, 2lubeldm 18410 . . . . . 6 (𝜑 → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ↔ ({𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵 ∧ ∃!𝑧𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤)))))
1211baibd 539 . . . . 5 ((𝜑 ∧ {𝑥, 𝑦} ⊆ 𝐵) → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ↔ ∃!𝑧𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤))))
138, 12syldan 591 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ↔ ∃!𝑧𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤))))
142adantr 480 . . . . . . 7 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → 𝐾𝑉)
151, 9, 4, 14, 6, 7joinval2lem 18437 . . . . . 6 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → ((∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤)) ↔ ((𝑥 𝑧𝑦 𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 ((𝑥 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑧 𝑤))))
1615reubidv 3395 . . . . 5 ((𝑥𝐵𝑦𝐵) → (∃!𝑧𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤)) ↔ ∃!𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑦 𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 ((𝑥 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑧 𝑤))))
1716adantl 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → (∃!𝑧𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑧 ∧ ∀𝑤𝐵 (∀𝑣 ∈ {𝑥, 𝑦}𝑣 𝑤𝑧 𝑤)) ↔ ∃!𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑦 𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 ((𝑥 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑧 𝑤))))
1813, 17bitrd 279 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑥𝐵𝑦𝐵)) → ({𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ↔ ∃!𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑦 𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 ((𝑥 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑧 𝑤))))
19182ralbidva 3216 . 2 (𝜑 → (∀𝑥𝐵𝑦𝐵 {𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ∃!𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑦 𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 ((𝑥 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑧 𝑤))))
205, 19bitrd 279 1 (𝜑 → (dom = (𝐵 × 𝐵) ↔ ∀𝑥𝐵𝑦𝐵 ∃!𝑧𝐵 ((𝑥 𝑧𝑦 𝑧) ∧ ∀𝑤𝐵 ((𝑥 𝑤𝑦 𝑤) → 𝑧 𝑤))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wa 395   = wceq 1536  wcel 2105  wral 3058  ∃!wreu 3375  wss 3962  {cpr 4632   class class class wbr 5147   × cxp 5686  dom cdm 5688  cfv 6562  Basecbs 17244  lecple 17304  lubclub 18366  joincjn 18368
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-oprab 7434  df-lub 18403  df-join 18405
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator