Theorem joindm2 49787

Description: The join of any two elements always exists iff all unordered pairs have LUB. (Contributed by Zhi Wang, 25-Sep-2024.)

Hypotheses

Ref	Expression
joindm2.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
joindm2.k	⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
joindm2.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
joindm2.j	⊢ ∨ = (join‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
joindm2	⊢ (𝜑 → (dom ∨ = (𝐵 × 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈))

Distinct variable groups:   𝑥,𝑦, ∨   𝑥,𝐵,𝑦   𝜑,𝑥,𝑦

Allowed substitution hints:   𝑈(𝑥, 𝑦)   𝐾(𝑥, 𝑦)   𝑉(𝑥, 𝑦)

Proof of Theorem joindm2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		joindm2.b	. . . 4 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		joindm2.j	. . . 4 ⊢ ∨ = (join‘𝐾)
3		joindm2.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐾 ∈ 𝑉)
4	1, 2, 3	joindmss 18458	. . 3 ⊢ (𝜑 → dom ∨ ⊆ (𝐵 × 𝐵))
5		eqss 3955	. . . 4 ⊢ (dom ∨ = (𝐵 × 𝐵) ↔ (dom ∨ ⊆ (𝐵 × 𝐵) ∧ (𝐵 × 𝐵) ⊆ dom ∨ ))
6	5	baib 545	. . 3 ⊢ (dom ∨ ⊆ (𝐵 × 𝐵) → (dom ∨ = (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝐵 × 𝐵) ⊆ dom ∨ ))
7	4, 6	syl 18	. 2 ⊢ (𝜑 → (dom ∨ = (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝐵 × 𝐵) ⊆ dom ∨ ))
8		relxp 5684	. . 3 ⊢ Rel (𝐵 × 𝐵)
9		ssrel 5774	. . 3 ⊢ (Rel (𝐵 × 𝐵) → ((𝐵 × 𝐵) ⊆ dom ∨ ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom ∨ )))
10	8, 9	mp1i 14	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐵 × 𝐵) ⊆ dom ∨ ↔ ∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom ∨ )))
11		opelxp 5702	. . . . . 6 ⊢ (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵))
12	11	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵) ↔ (𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵)))
13		joindm2.u	. . . . . 6 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
14		vex 3462	. . . . . . 7 ⊢ 𝑥 ∈ V
15	14	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑥 ∈ V)
16		vex 3462	. . . . . . 7 ⊢ 𝑦 ∈ V
17	16	a1i 11	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝑦 ∈ V)
18	13, 2, 3, 15, 17	joindef 18455	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom ∨ ↔ {𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈))
19	12, 18	imbi12d 347	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom ∨ ) ↔ ((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈)))
20	19	2albidv 1956	. . 3 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom ∨ ) ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈)))
21		r2al 3204	. . 3 ⊢ (∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈 ↔ ∀𝑥∀𝑦((𝑥 ∈ 𝐵 ∧ 𝑦 ∈ 𝐵) → {𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈))
22	20, 21	bitr4di 292	. 2 ⊢ (𝜑 → (∀𝑥∀𝑦(⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ (𝐵 × 𝐵) → ⟨𝑥, 𝑦⟩ ∈ dom ∨ ) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈))
23	7, 10, 22	3bitrd 308	1 ⊢ (𝜑 → (dom ∨ = (𝐵 × 𝐵) ↔ ∀𝑥 ∈ 𝐵 ∀𝑦 ∈ 𝐵 {𝑥, 𝑦} ∈ dom 𝑈))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401  ∀wal 1568   = wceq 1570   ∈ wcel 2146  ∀wral 3082  Vcvv 3458   ⊆ wss 3908  {cpr 4596  ⟨cop 4600   × cxp 5664  dom cdm 5666  Rel wrel 5671  ‘cfv 6543  Basecbs 17294  lubclub 18390  joincjn 18392

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2738  ax-rep 5243  ax-sep 5262  ax-nul 5274  ax-pow 5341  ax-pr 5409  ax-un 7745

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2570  df-eu 2600  df-clab 2745  df-cleq 2758  df-clel 2841  df-nfc 2915  df-ne 2962  df-ral 3083  df-rex 3093  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3420  df-v 3460  df-sbc 3748  df-csb 3857  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4290  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4878  df-iun 4963  df-br 5115  df-opab 5179  df-mpt 5198  df-id 5561  df-xp 5672  df-rel 5673  df-cnv 5674  df-co 5675  df-dm 5676  df-rn 5677  df-res 5678  df-ima 5679  df-iota 6499  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7380  df-oprab 7427  df-lub 18425  df-join 18427

This theorem is used by:  joindm3  49788  toslat  49801