MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  joinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem joinlem 18336
Description: Lemma for join properties. (Contributed by NM, 16-Sep-2011.) (Revised by NM, 12-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval2.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
joinval2.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
joinval2.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
joinval2.k (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
joinval2.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
joinval2.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
joinlem.e (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ )
Assertion
Ref Expression
joinlem (πœ‘ β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐡   𝑧, ∨   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,π‘Œ
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧)   ≀ (𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem joinlem
Dummy variable π‘₯ is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinval2.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 joinval2.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 joinval2.j . . . . 5 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
4 joinval2.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝐾 ∈ 𝑉)
5 joinval2.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
6 joinval2.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 joinlem.e . . . . 5 (πœ‘ β†’ βŸ¨π‘‹, π‘ŒβŸ© ∈ dom ∨ )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7joineu 18335 . . . 4 (πœ‘ β†’ βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘Œ ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
9 riotasbc 7384 . . . 4 (βˆƒ!π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘Œ ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) β†’ [(β„©π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘Œ ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))) / π‘₯]((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘Œ ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
108, 9syl 17 . . 3 (πœ‘ β†’ [(β„©π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘Œ ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))) / π‘₯]((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘Œ ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
111, 2, 3, 4, 5, 6joinval2 18334 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) = (β„©π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘Œ ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
1211sbceq1d 3783 . . 3 (πœ‘ β†’ ([(𝑋 ∨ π‘Œ) / π‘₯]((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘Œ ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ [(β„©π‘₯ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘Œ ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))) / π‘₯]((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘Œ ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧))))
1310, 12mpbird 257 . 2 (πœ‘ β†’ [(𝑋 ∨ π‘Œ) / π‘₯]((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘Œ ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)))
14 ovex 7442 . . 3 (𝑋 ∨ π‘Œ) ∈ V
15 breq2 5153 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑋 ∨ π‘Œ) β†’ (𝑋 ≀ π‘₯ ↔ 𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)))
16 breq2 5153 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑋 ∨ π‘Œ) β†’ (π‘Œ ≀ π‘₯ ↔ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)))
1715, 16anbi12d 632 . . . 4 (π‘₯ = (𝑋 ∨ π‘Œ) β†’ ((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘Œ ≀ π‘₯) ↔ (𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ))))
18 breq1 5152 . . . . . 6 (π‘₯ = (𝑋 ∨ π‘Œ) β†’ (π‘₯ ≀ 𝑧 ↔ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ 𝑧))
1918imbi2d 341 . . . . 5 (π‘₯ = (𝑋 ∨ π‘Œ) β†’ (((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧) ↔ ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ 𝑧)))
2019ralbidv 3178 . . . 4 (π‘₯ = (𝑋 ∨ π‘Œ) β†’ (βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧) ↔ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ 𝑧)))
2117, 20anbi12d 632 . . 3 (π‘₯ = (𝑋 ∨ π‘Œ) β†’ (((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘Œ ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ 𝑧))))
2214, 21sbcie 3821 . 2 ([(𝑋 ∨ π‘Œ) / π‘₯]((𝑋 ≀ π‘₯ ∧ π‘Œ ≀ π‘₯) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ π‘₯ ≀ 𝑧)) ↔ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ 𝑧)))
2313, 22sylib 217 1 (πœ‘ β†’ ((𝑋 ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ) ∧ π‘Œ ≀ (𝑋 ∨ π‘Œ)) ∧ βˆ€π‘§ ∈ 𝐡 ((𝑋 ≀ 𝑧 ∧ π‘Œ ≀ 𝑧) β†’ (𝑋 ∨ π‘Œ) ≀ 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  βˆ€wral 3062  βˆƒ!wreu 3375  [wsbc 3778  βŸ¨cop 4635   class class class wbr 5149  dom cdm 5677  β€˜cfv 6544  β„©crio 7364  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  lecple 17204  joincjn 18264
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-lub 18299  df-join 18301
This theorem is referenced by:  lejoin1  18337  lejoin2  18338  joinle  18339
  Copyright terms: Public domain W3C validator