MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  joinlem Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem joinlem 18346
Description: Lemma for join properties. (Contributed by NM, 16-Sep-2011.) (Revised by NM, 12-Sep-2018.)
Hypotheses
Ref Expression
joinval2.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
joinval2.l = (le‘𝐾)
joinval2.j = (join‘𝐾)
joinval2.k (𝜑𝐾𝑉)
joinval2.x (𝜑𝑋𝐵)
joinval2.y (𝜑𝑌𝐵)
joinlem.e (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
Assertion
Ref Expression
joinlem (𝜑 → ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
Distinct variable groups:   𝑧,𝐵   𝑧,   𝑧,𝐾   𝑧,𝑋   𝑧,𝑌
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧)   (𝑧)   𝑉(𝑧)

Proof of Theorem joinlem
Dummy variable 𝑥 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 joinval2.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 joinval2.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
3 joinval2.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
4 joinval2.k . . . . 5 (𝜑𝐾𝑉)
5 joinval2.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝐵)
6 joinval2.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝐵)
7 joinlem.e . . . . 5 (𝜑 → ⟨𝑋, 𝑌⟩ ∈ dom )
81, 2, 3, 4, 5, 6, 7joineu 18345 . . . 4 (𝜑 → ∃!𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)))
9 riotasbc 7387 . . . 4 (∃!𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)) → [(𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)))
108, 9syl 17 . . 3 (𝜑[(𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)))
111, 2, 3, 4, 5, 6joinval2 18344 . . . 4 (𝜑 → (𝑋 𝑌) = (𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))))
1211sbceq1d 3782 . . 3 (𝜑 → ([(𝑋 𝑌) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)) ↔ [(𝑥𝐵 ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧))))
1310, 12mpbird 257 . 2 (𝜑[(𝑋 𝑌) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)))
14 ovex 7445 . . 3 (𝑋 𝑌) ∈ V
15 breq2 5152 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (𝑋 𝑥𝑋 (𝑋 𝑌)))
16 breq2 5152 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (𝑌 𝑥𝑌 (𝑋 𝑌)))
1715, 16anbi12d 630 . . . 4 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → ((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ↔ (𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌))))
18 breq1 5151 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (𝑥 𝑧 ↔ (𝑋 𝑌) 𝑧))
1918imbi2d 340 . . . . 5 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧) ↔ ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
2019ralbidv 3176 . . . 4 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧) ↔ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
2117, 20anbi12d 630 . . 3 (𝑥 = (𝑋 𝑌) → (((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)) ↔ ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧))))
2214, 21sbcie 3820 . 2 ([(𝑋 𝑌) / 𝑥]((𝑋 𝑥𝑌 𝑥) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → 𝑥 𝑧)) ↔ ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
2313, 22sylib 217 1 (𝜑 → ((𝑋 (𝑋 𝑌) ∧ 𝑌 (𝑋 𝑌)) ∧ ∀𝑧𝐵 ((𝑋 𝑧𝑌 𝑧) → (𝑋 𝑌) 𝑧)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1540  wcel 2105  wral 3060  ∃!wreu 3373  [wsbc 3777  cop 4634   class class class wbr 5148  dom cdm 5676  cfv 6543  crio 7367  (class class class)co 7412  Basecbs 17151  lecple 17211  joincjn 18274
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-lub 18309  df-join 18311
This theorem is referenced by:  lejoin1  18347  lejoin2  18348  joinle  18349
  Copyright terms: Public domain W3C validator