MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjrot Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjrot 18382
Description: Rotate lattice join of 3 classes. (Contributed by NM, 23-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
latjass.j ∨ = (joinβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
latjrot ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) = ((𝑍 ∨ 𝑋) ∨ π‘Œ))

Proof of Theorem latjrot
StepHypRef Expression
1 latjass.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 latjass.j . . 3 ∨ = (joinβ€˜πΎ)
31, 2latj31 18381 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) = ((𝑍 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑋))
4 simpl 484 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
5 simpr3 1197 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑍 ∈ 𝐡)
6 simpr2 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ π‘Œ ∈ 𝐡)
7 simpr1 1195 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
81, 2latj32 18379 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑍 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑋) = ((𝑍 ∨ 𝑋) ∨ π‘Œ))
94, 5, 6, 7, 8syl13anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑍 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑋) = ((𝑍 ∨ 𝑋) ∨ π‘Œ))
103, 9eqtrd 2773 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 ∈ 𝐡 ∧ π‘Œ ∈ 𝐡 ∧ 𝑍 ∈ 𝐡)) β†’ ((𝑋 ∨ π‘Œ) ∨ 𝑍) = ((𝑍 ∨ 𝑋) ∨ π‘Œ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  β€˜cfv 6497  (class class class)co 7358  Basecbs 17088  joincjn 18205  Latclat 18325
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5243  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3353  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-iun 4957  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-riota 7314  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18189  df-poset 18207  df-lub 18240  df-glb 18241  df-join 18242  df-meet 18243  df-lat 18326
This theorem is referenced by:  3dimlem3a  37969  3dimlem3OLDN  37971  3dimlem4a  37972  3dimlem4OLDN  37974
  Copyright terms: Public domain W3C validator