MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latjrot Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latjrot 18471
Description: Rotate lattice join of 3 classes. (Contributed by NM, 23-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latjrot ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑍 𝑋) 𝑌))

Proof of Theorem latjrot
StepHypRef Expression
1 latjass.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latjass.j . . 3 = (join‘𝐾)
31, 2latj31 18470 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑍 𝑌) 𝑋))
4 simpl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
5 simpr3 1194 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
6 simpr2 1193 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
7 simpr1 1192 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
81, 2latj32 18468 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍𝐵𝑌𝐵𝑋𝐵)) → ((𝑍 𝑌) 𝑋) = ((𝑍 𝑋) 𝑌))
94, 5, 6, 7, 8syl13anc 1370 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑍 𝑌) 𝑋) = ((𝑍 𝑋) 𝑌))
103, 9eqtrd 2767 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑍 𝑋) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1085   = wceq 1534  wcel 2099  cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  joincjn 18294  Latclat 18414
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-proset 18278  df-poset 18296  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-lat 18415
This theorem is referenced by:  3dimlem3a  38870  3dimlem3OLDN  38872  3dimlem4a  38873  3dimlem4OLDN  38875
  Copyright terms: Public domain W3C validator