Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  3dimlem3a Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem 3dimlem3a 35614
Description: Lemma for 3dim3 35623. (Contributed by NM, 27-Jul-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
3dim0.j = (join‘𝐾)
3dim0.l = (le‘𝐾)
3dim0.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
3dimlem3a (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅))

Proof of Theorem 3dimlem3a
StepHypRef Expression
1 simp31 1223 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2 simp11 1217 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝐾 ∈ HL)
32hllatd 35518 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝐾 ∈ Lat)
4 simp13 1219 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑄𝐴)
5 eqid 2778 . . . . . . 7 (Base‘𝐾) = (Base‘𝐾)
6 3dim0.a . . . . . . 7 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
75, 6atbase 35443 . . . . . 6 (𝑄𝐴𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
84, 7syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑄 ∈ (Base‘𝐾))
9 simp2l 1213 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑅𝐴)
105, 6atbase 35443 . . . . . 6 (𝑅𝐴𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
119, 10syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑅 ∈ (Base‘𝐾))
12 simp12 1218 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑃𝐴)
135, 6atbase 35443 . . . . . 6 (𝑃𝐴𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
1412, 13syl 17 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))
15 3dim0.j . . . . . 6 = (join‘𝐾)
165, 15latjrot 17486 . . . . 5 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑄 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑅 ∈ (Base‘𝐾) ∧ 𝑃 ∈ (Base‘𝐾))) → ((𝑄 𝑅) 𝑃) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
173, 8, 11, 14, 16syl13anc 1440 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ((𝑄 𝑅) 𝑃) = ((𝑃 𝑄) 𝑅))
18 simp33 1225 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))
19 simp2r 1214 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → 𝑆𝐴)
205, 15, 6hlatjcl 35521 . . . . . . 7 ((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑄𝐴𝑅𝐴) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
212, 4, 9, 20syl3anc 1439 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾))
22 simp32 1224 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅))
23 3dim0.l . . . . . . 7 = (le‘𝐾)
245, 23, 15, 6hlexchb1 35538 . . . . . 6 ((𝐾 ∈ HL ∧ (𝑃𝐴𝑆𝐴 ∧ (𝑄 𝑅) ∈ (Base‘𝐾)) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅)) → (𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑃) = ((𝑄 𝑅) 𝑆)))
252, 12, 19, 21, 22, 24syl131anc 1451 . . . . 5 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ↔ ((𝑄 𝑅) 𝑃) = ((𝑄 𝑅) 𝑆)))
2618, 25mpbid 224 . . . 4 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ((𝑄 𝑅) 𝑃) = ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2717, 26eqtr3d 2816 . . 3 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ((𝑃 𝑄) 𝑅) = ((𝑄 𝑅) 𝑆))
2827breq2d 4898 . 2 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → (𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅) ↔ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆)))
291, 28mtbird 317 1 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑃𝐴𝑄𝐴) ∧ (𝑅𝐴𝑆𝐴) ∧ (¬ 𝑇 ((𝑄 𝑅) 𝑆) ∧ ¬ 𝑃 (𝑄 𝑅) ∧ 𝑃 ((𝑄 𝑅) 𝑆))) → ¬ 𝑇 ((𝑃 𝑄) 𝑅))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 198  wa 386  w3a 1071   = wceq 1601  wcel 2107   class class class wbr 4886  cfv 6135  (class class class)co 6922  Basecbs 16255  lecple 16345  joincjn 17330  Latclat 17431  Atomscatm 35417  HLchlt 35504
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5006  ax-sep 5017  ax-nul 5025  ax-pow 5077  ax-pr 5138  ax-un 7226
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4672  df-iun 4755  df-br 4887  df-opab 4949  df-mpt 4966  df-id 5261  df-xp 5361  df-rel 5362  df-cnv 5363  df-co 5364  df-dm 5365  df-rn 5366  df-res 5367  df-ima 5368  df-iota 6099  df-fun 6137  df-fn 6138  df-f 6139  df-f1 6140  df-fo 6141  df-f1o 6142  df-fv 6143  df-riota 6883  df-ov 6925  df-oprab 6926  df-proset 17314  df-poset 17332  df-lub 17360  df-glb 17361  df-join 17362  df-meet 17363  df-lat 17432  df-ats 35421  df-atl 35452  df-cvlat 35476  df-hlat 35505
This theorem is referenced by:  3dimlem3  35615  3dim3  35623
  Copyright terms: Public domain W3C validator