Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp31 1210 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) |
2 | | simp11 1204 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β πΎ β HL) |
3 | 2 | hllatd 37855 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β πΎ β Lat) |
4 | | simp13 1206 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β π΄) |
5 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
6 | | 3dim0.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
7 | 5, 6 | atbase 37780 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
8 | 4, 7 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
9 | | simp2l 1200 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π
β π΄) |
10 | 5, 6 | atbase 37780 |
. . . . . 6
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
11 | 9, 10 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π
β (BaseβπΎ)) |
12 | | simp12 1205 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β π΄) |
13 | 5, 6 | atbase 37780 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
14 | 12, 13 | syl 17 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
15 | | 3dim0.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
16 | 5, 15 | latjrot 18384 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
17 | 3, 8, 11, 14, 16 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
18 | | simp33 1212 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) |
19 | | simp2r 1201 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β π΄) |
20 | 5, 15, 6 | hlatjcl 37858 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
21 | 2, 4, 9, 20 | syl3anc 1372 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
22 | | simp32 1211 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
23 | | 3dim0.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
24 | 5, 23, 15, 6 | hlexchb1 37876 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β (π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π
) β¨ π))) |
25 | 2, 12, 19, 21, 22, 24 | syl131anc 1384 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π
) β¨ π))) |
26 | 18, 25 | mpbid 231 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π
) β¨ π)) |
27 | 17, 26 | eqtr3d 2779 |
. . 3
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π
) β¨ π)) |
28 | 27 | breq2d 5122 |
. 2
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
29 | 1, 28 | mtbird 325 |
1
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |