Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simpr1 1195 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β π) |
2 | | simpr2 1196 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
3 | | simpl11 1249 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β πΎ β HL) |
4 | | simpl2l 1227 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π
β π΄) |
5 | | simpl12 1250 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β π΄) |
6 | | simpl13 1251 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β π΄) |
7 | | simpl3l 1229 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β π
) |
8 | 7 | necomd 3000 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π
β π) |
9 | | 3dim0.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | 3dim0.j |
. . . . . 6
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | 3dim0.a |
. . . . . 6
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | 9, 10, 11 | hlatexch2 37888 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π
β π) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π
β¨ π))) |
13 | 3, 4, 5, 6, 8, 12 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π
β¨ π))) |
14 | 10, 11 | hlatjcom 37859 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
15 | 3, 6, 4, 14 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
16 | 15 | breq2d 5122 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π β€ (π β¨ π
) β π β€ (π
β¨ π))) |
17 | 13, 16 | sylibrd 259 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π
))) |
18 | 2, 17 | mtod 197 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
19 | | simpl3r 1230 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) |
20 | | hllat 37854 |
. . . . . . 7
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
21 | 3, 20 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β πΎ β Lat) |
22 | | eqid 2737 |
. . . . . . . 8
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
23 | 22, 11 | atbase 37780 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
24 | 6, 23 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
25 | 22, 11 | atbase 37780 |
. . . . . . 7
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
26 | 4, 25 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π
β (BaseβπΎ)) |
27 | 22, 11 | atbase 37780 |
. . . . . . 7
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
28 | 5, 27 | syl 17 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β (BaseβπΎ)) |
29 | 22, 10 | latjrot 18384 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
30 | 21, 24, 26, 28, 29 | syl13anc 1373 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
31 | | simpr3 1197 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) |
32 | | simpl2r 1228 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β π β π΄) |
33 | 22, 10, 11 | hlatjcl 37858 |
. . . . . . . 8
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
34 | 3, 6, 4, 33 | syl3anc 1372 |
. . . . . . 7
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
35 | 22, 9, 10, 11 | hlexchb1 37876 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β (π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π
) β¨ π))) |
36 | 3, 5, 32, 34, 2, 35 | syl131anc 1384 |
. . . . . 6
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π
) β¨ π))) |
37 | 31, 36 | mpbid 231 |
. . . . 5
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π
) β¨ π)) |
38 | 30, 37 | eqtr3d 2779 |
. . . 4
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β ((π β¨ π) β¨ π
) = ((π β¨ π
) β¨ π)) |
39 | 38 | breq2d 5122 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
40 | 19, 39 | mtbird 325 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
41 | 1, 18, 40 | 3jca 1129 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
) β§ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) β (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) |