MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latj31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latj31 17365
Description: Swap 2nd and 3rd members of lattice join. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latj31 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑍 𝑌) 𝑋))

Proof of Theorem latj31
StepHypRef Expression
1 simpl 474 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simpr3 1252 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
3 simpr1 1248 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
4 simpr2 1250 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
5 latjass.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 latjass.j . . . 4 = (join‘𝐾)
75, 6latj12 17362 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑍 (𝑋 𝑌)) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1491 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 (𝑋 𝑌)) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
95, 6latjcl 17317 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
1093adant3r3 1235 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
115, 6latjcom 17325 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑍 (𝑋 𝑌)))
121, 10, 2, 11syl3anc 1490 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑍 (𝑋 𝑌)))
135, 6latjcl 17317 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐵𝑌𝐵) → (𝑍 𝑌) ∈ 𝐵)
141, 2, 4, 13syl3anc 1490 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 𝑌) ∈ 𝐵)
155, 6latjcom 17325 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑍 𝑌) 𝑋) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
161, 14, 3, 15syl3anc 1490 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑍 𝑌) 𝑋) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
178, 12, 163eqtr4d 2809 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑍 𝑌) 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 384  w3a 1107   = wceq 1652  wcel 2155  cfv 6068  (class class class)co 6842  Basecbs 16130  joincjn 17210  Latclat 17311
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1890  ax-4 1904  ax-5 2005  ax-6 2070  ax-7 2105  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2183  ax-11 2198  ax-12 2211  ax-13 2352  ax-ext 2743  ax-rep 4930  ax-sep 4941  ax-nul 4949  ax-pow 5001  ax-pr 5062  ax-un 7147
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 874  df-3an 1109  df-tru 1656  df-ex 1875  df-nf 1879  df-sb 2063  df-mo 2565  df-eu 2582  df-clab 2752  df-cleq 2758  df-clel 2761  df-nfc 2896  df-ne 2938  df-ral 3060  df-rex 3061  df-reu 3062  df-rab 3064  df-v 3352  df-sbc 3597  df-csb 3692  df-dif 3735  df-un 3737  df-in 3739  df-ss 3746  df-nul 4080  df-if 4244  df-pw 4317  df-sn 4335  df-pr 4337  df-op 4341  df-uni 4595  df-iun 4678  df-br 4810  df-opab 4872  df-mpt 4889  df-id 5185  df-xp 5283  df-rel 5284  df-cnv 5285  df-co 5286  df-dm 5287  df-rn 5288  df-res 5289  df-ima 5290  df-iota 6031  df-fun 6070  df-fn 6071  df-f 6072  df-f1 6073  df-fo 6074  df-f1o 6075  df-fv 6076  df-riota 6803  df-ov 6845  df-oprab 6846  df-proset 17194  df-poset 17212  df-lub 17240  df-glb 17241  df-join 17242  df-meet 17243  df-lat 17312
This theorem is referenced by:  latjrot  17366  4noncolr3  35409  3atlem5  35443  lplnexllnN  35520  dalawlem11  35837  cdleme20bN  36266
  Copyright terms: Public domain W3C validator