MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latj31 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latj31 18532
Description: Swap 2nd and 3rd members of lattice join. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (Contributed by NM, 23-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latj31 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑍 𝑌) 𝑋))

Proof of Theorem latj31
StepHypRef Expression
1 simpl 482 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝐾 ∈ Lat)
2 simpr3 1197 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
3 simpr1 1195 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
4 simpr2 1196 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
5 latjass.b . . . 4 𝐵 = (Base‘𝐾)
6 latjass.j . . . 4 = (join‘𝐾)
75, 6latj12 18529 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍𝐵𝑋𝐵𝑌𝐵)) → (𝑍 (𝑋 𝑌)) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
81, 2, 3, 4, 7syl13anc 1374 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 (𝑋 𝑌)) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
95, 6latjcl 18484 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵𝑌𝐵) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
1093adant3r3 1185 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵)
115, 6latjcom 18492 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋 𝑌) ∈ 𝐵𝑍𝐵) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑍 (𝑋 𝑌)))
121, 10, 2, 11syl3anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑍 (𝑋 𝑌)))
135, 6latjcl 18484 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑍𝐵𝑌𝐵) → (𝑍 𝑌) ∈ 𝐵)
141, 2, 4, 13syl3anc 1373 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑍 𝑌) ∈ 𝐵)
155, 6latjcom 18492 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑍 𝑌) ∈ 𝐵𝑋𝐵) → ((𝑍 𝑌) 𝑋) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
161, 14, 3, 15syl3anc 1373 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑍 𝑌) 𝑋) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
178, 12, 163eqtr4d 2787 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑍 𝑌) 𝑋))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  cfv 6561  (class class class)co 7431  Basecbs 17247  joincjn 18357  Latclat 18476
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-lat 18477
This theorem is referenced by:  latjrot  18533  4noncolr3  39455  3atlem5  39489  lplnexllnN  39566  dalawlem11  39883  cdleme20bN  40312
  Copyright terms: Public domain W3C validator