MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  latj32 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem latj32 17412
Description: Swap 2nd and 3rd members of lattice join. Lemma 2.2 in [MegPav2002] p. 362. (Contributed by NM, 2-Dec-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
latjass.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
latjass.j = (join‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
latj32 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑋 𝑍) 𝑌))

Proof of Theorem latj32
StepHypRef Expression
1 latjass.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 latjass.j . . . . 5 = (join‘𝐾)
31, 2latjcom 17374 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑌𝐵𝑍𝐵) → (𝑌 𝑍) = (𝑍 𝑌))
433adant3r1 1234 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑌 𝑍) = (𝑍 𝑌))
54oveq2d 6894 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋 (𝑌 𝑍)) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
61, 2latjass 17410 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = (𝑋 (𝑌 𝑍)))
7 simpr1 1249 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑋𝐵)
8 simpr3 1253 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑍𝐵)
9 simpr2 1251 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → 𝑌𝐵)
107, 8, 93jca 1159 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵))
111, 2latjass 17410 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑍𝐵𝑌𝐵)) → ((𝑋 𝑍) 𝑌) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
1210, 11syldan 586 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑍) 𝑌) = (𝑋 (𝑍 𝑌)))
135, 6, 123eqtr4d 2843 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ (𝑋𝐵𝑌𝐵𝑍𝐵)) → ((𝑋 𝑌) 𝑍) = ((𝑋 𝑍) 𝑌))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 385  w3a 1108   = wceq 1653  wcel 2157  cfv 6101  (class class class)co 6878  Basecbs 16184  joincjn 17259  Latclat 17360
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1891  ax-4 1905  ax-5 2006  ax-6 2072  ax-7 2107  ax-8 2159  ax-9 2166  ax-10 2185  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2377  ax-ext 2777  ax-rep 4964  ax-sep 4975  ax-nul 4983  ax-pow 5035  ax-pr 5097  ax-un 7183
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 386  df-or 875  df-3an 1110  df-tru 1657  df-ex 1876  df-nf 1880  df-sb 2065  df-mo 2591  df-eu 2609  df-clab 2786  df-cleq 2792  df-clel 2795  df-nfc 2930  df-ne 2972  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3387  df-sbc 3634  df-csb 3729  df-dif 3772  df-un 3774  df-in 3776  df-ss 3783  df-nul 4116  df-if 4278  df-pw 4351  df-sn 4369  df-pr 4371  df-op 4375  df-uni 4629  df-iun 4712  df-br 4844  df-opab 4906  df-mpt 4923  df-id 5220  df-xp 5318  df-rel 5319  df-cnv 5320  df-co 5321  df-dm 5322  df-rn 5323  df-res 5324  df-ima 5325  df-iota 6064  df-fun 6103  df-fn 6104  df-f 6105  df-f1 6106  df-fo 6107  df-f1o 6108  df-fv 6109  df-riota 6839  df-ov 6881  df-oprab 6882  df-proset 17243  df-poset 17261  df-lub 17289  df-glb 17290  df-join 17291  df-meet 17292  df-lat 17361
This theorem is referenced by:  latj13  17413  latjrot  17415  hlatj32  35393  4atexlemc  36090  cdleme9  36274  cdleme22e  36365  cdleme22eALTN  36366  cdlemkid1  36943
  Copyright terms: Public domain W3C validator