Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp2l 1198 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β π β π) |
2 | | simp2r 1199 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
3 | | simp11 1202 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β πΎ β HL) |
4 | | simp2l 1198 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β π
β π΄) |
5 | | simp12 1203 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β π β π΄) |
6 | | simp13 1204 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β π β π΄) |
7 | | simp3l 1200 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β π β π
) |
8 | 7 | necomd 2995 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β π
β π) |
9 | | 3dim0.l |
. . . . . . 7
β’ β€ =
(leβπΎ) |
10 | | 3dim0.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
11 | | 3dim0.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
12 | 9, 10, 11 | hlatexch2 38571 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π
β π΄ β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ π
β π) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π
β¨ π))) |
13 | 3, 4, 5, 6, 8, 12 | syl131anc 1382 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π
β¨ π))) |
14 | 10, 11 | hlatjcom 38542 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
15 | 3, 6, 4, 14 | syl3anc 1370 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β (π β¨ π
) = (π
β¨ π)) |
16 | 15 | breq2d 5160 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β (π β€ (π β¨ π
) β π β€ (π
β¨ π))) |
17 | 13, 16 | sylibrd 259 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π
))) |
18 | 17 | 3ad2ant1 1132 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β (π
β€ (π β¨ π) β π β€ (π β¨ π
))) |
19 | 2, 18 | mtod 197 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β Β¬ π
β€ (π β¨ π)) |
20 | | simp3 1137 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) |
21 | | hllat 38537 |
. . . . . . . 8
β’ (πΎ β HL β πΎ β Lat) |
22 | 3, 21 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β πΎ β Lat) |
23 | | eqid 2731 |
. . . . . . . . 9
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
24 | 23, 11 | atbase 38463 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
25 | 6, 24 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β π β (BaseβπΎ)) |
26 | 23, 11 | atbase 38463 |
. . . . . . . 8
β’ (π
β π΄ β π
β (BaseβπΎ)) |
27 | 4, 26 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β π
β (BaseβπΎ)) |
28 | 23, 11 | atbase 38463 |
. . . . . . . 8
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
29 | 5, 28 | syl 17 |
. . . . . . 7
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β π β (BaseβπΎ)) |
30 | 23, 10 | latjrot 18446 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ π
β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ))) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
31 | 22, 25, 27, 29, 30 | syl13anc 1371 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β ((π β¨ π
) β¨ π) = ((π β¨ π) β¨ π
)) |
32 | 31 | breq2d 5160 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β (π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) |
33 | | simp2r 1199 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β π β π΄) |
34 | 23, 10, 11 | hlatjcl 38541 |
. . . . . . 7
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π
β π΄) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
35 | 3, 6, 4, 34 | syl3anc 1370 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) |
36 | | simp3r 1201 |
. . . . . 6
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β Β¬ π β€ (π β¨ π
)) |
37 | 23, 9, 10, 11 | hlexch1 38557 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄ β§ (π β¨ π
) β (BaseβπΎ)) β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β (π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
38 | 3, 33, 5, 35, 36, 37 | syl131anc 1382 |
. . . . 5
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β (π β€ ((π β¨ π
) β¨ π) β π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
39 | 32, 38 | sylbird 260 |
. . . 4
β’ (((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β (π β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
40 | 39 | 3ad2ant1 1132 |
. . 3
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β (π β€ ((π β¨ π) β¨ π
) β π β€ ((π β¨ π
) β¨ π))) |
41 | 20, 40 | mtod 197 |
. 2
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
)) |
42 | 1, 19, 41 | 3jca 1127 |
1
β’ ((((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π
β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π
β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
))) β§ (π β π β§ Β¬ π β€ (π β¨ π
)) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π
) β¨ π)) β (π β π β§ Β¬ π
β€ (π β¨ π) β§ Β¬ π β€ ((π β¨ π) β¨ π
))) |