Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | simp1 1137 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β HL) |
2 | 1 | hllatd 37829 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β Lat) |
3 | | simp2l 1200 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
4 | | simp2r 1201 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
5 | | eqid 2737 |
. . . . . . 7
β’
(BaseβπΎ) =
(BaseβπΎ) |
6 | | dalawlem.j |
. . . . . . 7
β’ β¨ =
(joinβπΎ) |
7 | | dalawlem.a |
. . . . . . 7
β’ π΄ = (AtomsβπΎ) |
8 | 5, 6, 7 | hlatjcl 37832 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
9 | 1, 3, 4, 8 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
10 | | simp3r 1203 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
11 | 5, 7 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
12 | 10, 11 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
13 | | dalawlem.l |
. . . . . 6
β’ β€ =
(leβπΎ) |
14 | 5, 13, 6 | latlej1 18338 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
15 | 2, 9, 12, 14 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
16 | | simp3l 1202 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β π΄) |
17 | 5, 7 | atbase 37754 |
. . . . . 6
β’ (π β π΄ β π β (BaseβπΎ)) |
18 | 16, 17 | syl 17 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β (BaseβπΎ)) |
19 | 5, 13, 6 | latlej1 18338 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
20 | 2, 9, 18, 19 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
21 | 5, 6 | latjcl 18329 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
22 | 2, 9, 12, 21 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
23 | 5, 6 | latjcl 18329 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
24 | 2, 9, 18, 23 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
25 | | dalawlem.m |
. . . . . 6
β’ β§ =
(meetβπΎ) |
26 | 5, 13, 25 | latlem12 18356 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ))) β (((π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)))) |
27 | 2, 9, 22, 24, 26 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β (π β¨ π) β€ (((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)))) |
28 | 15, 20, 27 | mpbi2and 711 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β€ (((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π))) |
29 | 5, 25 | latmcl 18330 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
30 | 2, 22, 24, 29 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) β (BaseβπΎ)) |
31 | 5, 6, 7 | hlatjcl 37832 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ π β π΄ β§ π β π΄) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
32 | 1, 16, 10, 31 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ π) β (BaseβπΎ)) |
33 | 5, 13, 25 | latmlem1 18359 |
. . . 4
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((π β¨ π) β€ (((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ ((((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ (π β¨ π)))) |
34 | 2, 9, 30, 32, 33 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β€ (((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ ((((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ (π β¨ π)))) |
35 | 28, 34 | mpd 15 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ ((((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ (π β¨ π))) |
36 | 5, 13, 6 | latlej2 18339 |
. . . . . 6
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β π β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
37 | 2, 9, 18, 36 | syl3anc 1372 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β π β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
38 | 5, 13, 6, 25, 7 | atmod3i1 38330 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β§ π β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β (π β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π)) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
39 | 1, 16, 24, 12, 37, 38 | syl131anc 1384 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (π β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π)) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π))) |
40 | 39 | oveq2d 7374 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π))) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
41 | 5, 25 | latmcl 18330 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ π β (BaseβπΎ)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
42 | 2, 24, 12, 41 | syl3anc 1372 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) |
43 | 5, 13, 6, 25 | latmlej22 18371 |
. . . . 5
β’ ((πΎ β Lat β§ (π β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
44 | 2, 12, 24, 9, 43 | syl13anc 1373 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) |
45 | 5, 13, 6, 25, 7 | atmod2i2 38328 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β (BaseβπΎ)) β§ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β€ ((π β¨ π) β¨ π)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π)) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π)))) |
46 | 1, 16, 22, 42, 44, 45 | syl131anc 1384 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π)) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π)))) |
47 | | hlol 37826 |
. . . . 5
β’ (πΎ β HL β πΎ β OL) |
48 | 1, 47 | syl 17 |
. . . 4
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β πΎ β OL) |
49 | 5, 25 | latmassOLD 37694 |
. . . 4
β’ ((πΎ β OL β§ (((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ ((π β¨ π) β¨ π) β (BaseβπΎ) β§ (π β¨ π) β (BaseβπΎ))) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ (π β¨ π)) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
50 | 48, 22, 24, 32, 49 | syl13anc 1373 |
. . 3
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ (π β¨ π)) = (((π β¨ π) β¨ π) β§ (((π β¨ π) β¨ π) β§ (π β¨ π)))) |
51 | 40, 46, 50 | 3eqtr4rd 2788 |
. 2
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((((π β¨ π) β¨ π) β§ ((π β¨ π) β¨ π)) β§ (π β¨ π)) = ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π))) |
52 | 35, 51 | breqtrd 5132 |
1
β’ ((πΎ β HL β§ (π β π΄ β§ π β π΄) β§ (π β π΄ β§ π β π΄)) β ((π β¨ π) β§ (π β¨ π)) β€ ((((π β¨ π) β¨ π) β§ π) β¨ (((π β¨ π) β¨ π) β§ π))) |