Theorem lubsn 18407

Description: The least upper bound of a singleton. (chsupsn 31469 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubsn.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubsn	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)

Proof of Theorem lubsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4592	. . . 4 ⊢ {𝑋} = {𝑋, 𝑋}
2	1	fveq2i 6836	. . 3 ⊢ (𝑈‘{𝑋}) = (𝑈‘{𝑋, 𝑋})
3		lubsn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		eqid 2735	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	3, 4, 5, 6, 6	joinval 18300	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(join‘𝐾)𝑋) = (𝑈‘{𝑋, 𝑋}))
8	2, 7	eqtr4id 2789	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = (𝑋(join‘𝐾)𝑋))
9		lubsn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10	9, 4	latjidm 18387	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(join‘𝐾)𝑋) = 𝑋)
11	8, 10	eqtrd 2770	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4579  {cpr 4581  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  Basecbs 17138  lubclub 18234  joincjn 18236  Latclat 18356

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-rep 5223  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-iun 4947  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-proset 18219  df-poset 18238  df-lub 18269  df-glb 18270  df-join 18271  df-meet 18272  df-lat 18357

This theorem is referenced by:  lubel  18439