Theorem lubsn 18423

Description: The least upper bound of a singleton. (chsupsn 31392 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubsn.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubsn	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)

Proof of Theorem lubsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4598	. . . 4 ⊢ {𝑋} = {𝑋, 𝑋}
2	1	fveq2i 6843	. . 3 ⊢ (𝑈‘{𝑋}) = (𝑈‘{𝑋, 𝑋})
3		lubsn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		eqid 2729	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	3, 4, 5, 6, 6	joinval 18316	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(join‘𝐾)𝑋) = (𝑈‘{𝑋, 𝑋}))
8	2, 7	eqtr4id 2783	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = (𝑋(join‘𝐾)𝑋))
9		lubsn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10	9, 4	latjidm 18403	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(join‘𝐾)𝑋) = 𝑋)
11	8, 10	eqtrd 2764	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  {csn 4585  {cpr 4587  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  Basecbs 17155  lubclub 18250  joincjn 18252  Latclat 18372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18235  df-poset 18254  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-lat 18373

This theorem is referenced by:  lubel  18455