Theorem lubsn 18538

Description: The least upper bound of a singleton. (chsupsn 31706 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubsn.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubsn	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)

Proof of Theorem lubsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4605	. . . 4 ⊢ {𝑋} = {𝑋, 𝑋}
2	1	fveq2i 6885	. . 3 ⊢ (𝑈‘{𝑋}) = (𝑈‘{𝑋, 𝑋})
3		lubsn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		eqid 2769	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		simpl 487	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
6		simpr 489	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	3, 4, 5, 6, 6	joinval 18431	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(join‘𝐾)𝑋) = (𝑈‘{𝑋, 𝑋}))
8	2, 7	eqtr4id 2823	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = (𝑋(join‘𝐾)𝑋))
9		lubsn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10	9, 4	latjidm 18518	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(join‘𝐾)𝑋) = 𝑋)
11	8, 10	eqtrd 2804	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   = wceq 1567   ∈ wcel 2149  {csn 4592  {cpr 4594  ‘cfv 6537  (class class class)co 7411  Basecbs 17269  lubclub 18365  joincjn 18367  Latclat 18487

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-rep 5240  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rmo 3375  df-reu 3376  df-rab 3423  df-v 3463  df-sbc 3752  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4491  df-pw 4567  df-sn 4593  df-pr 4595  df-op 4599  df-uni 4875  df-iun 4960  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5557  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7368  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18350  df-poset 18369  df-lub 18400  df-glb 18401  df-join 18402  df-meet 18403  df-lat 18488

This theorem is referenced by:  lubel  18570