Theorem lubsn 18448

Description: The least upper bound of a singleton. (chsupsn 31484 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lubsn.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubsn.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubsn	⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)

Proof of Theorem lubsn

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dfsn2 4580	. . . 4 ⊢ {𝑋} = {𝑋, 𝑋}
2	1	fveq2i 6843	. . 3 ⊢ (𝑈‘{𝑋}) = (𝑈‘{𝑋, 𝑋})
3		lubsn.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
4		eqid 2736	. . . 4 ⊢ (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5		simpl 482	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
6		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
7	3, 4, 5, 6, 6	joinval 18341	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(join‘𝐾)𝑋) = (𝑈‘{𝑋, 𝑋}))
8	2, 7	eqtr4id 2790	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = (𝑋(join‘𝐾)𝑋))
9		lubsn.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
10	9, 4	latjidm 18428	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑋(join‘𝐾)𝑋) = 𝑋)
11	8, 10	eqtrd 2771	1 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  {csn 4567  {cpr 4569  ‘cfv 6498  (class class class)co 7367  Basecbs 17179  lubclub 18275  joincjn 18277  Latclat 18397

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-rep 5212  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rmo 3342  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-riota 7324  df-ov 7370  df-oprab 7371  df-proset 18260  df-poset 18279  df-lub 18310  df-glb 18311  df-join 18312  df-meet 18313  df-lat 18398

This theorem is referenced by:  lubel  18480