MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubsn 18431
Description: The least upper bound of a singleton. (chsupsn 30653 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubsn.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lubsn.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lubsn ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑋}) = 𝑋)

Proof of Theorem lubsn
StepHypRef Expression
1 dfsn2 4640 . . . 4 {𝑋} = {𝑋, 𝑋}
21fveq2i 6891 . . 3 (π‘ˆβ€˜{𝑋}) = (π‘ˆβ€˜{𝑋, 𝑋})
3 lubsn.u . . . 4 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
4 eqid 2732 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
5 simpl 483 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
6 simpr 485 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
73, 4, 5, 6, 6joinval 18326 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)𝑋) = (π‘ˆβ€˜{𝑋, 𝑋}))
82, 7eqtr4id 2791 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑋}) = (𝑋(joinβ€˜πΎ)𝑋))
9 lubsn.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
109, 4latjidm 18411 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)𝑋) = 𝑋)
118, 10eqtrd 2772 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑋}) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106  {csn 4627  {cpr 4629  β€˜cfv 6540  (class class class)co 7405  Basecbs 17140  lubclub 18258  joincjn 18260  Latclat 18380
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-proset 18244  df-poset 18262  df-lub 18295  df-glb 18296  df-join 18297  df-meet 18298  df-lat 18381
This theorem is referenced by:  lubel  18463
  Copyright terms: Public domain W3C validator