MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubsn 18115
Description: The least upper bound of a singleton. (chsupsn 29676 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubsn.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lubsn.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubsn ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)

Proof of Theorem lubsn
StepHypRef Expression
1 dfsn2 4571 . . . 4 {𝑋} = {𝑋, 𝑋}
21fveq2i 6759 . . 3 (𝑈‘{𝑋}) = (𝑈‘{𝑋, 𝑋})
3 lubsn.u . . . 4 𝑈 = (lub‘𝐾)
4 eqid 2738 . . . 4 (join‘𝐾) = (join‘𝐾)
5 simpl 482 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝐾 ∈ Lat)
6 simpr 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → 𝑋𝐵)
73, 4, 5, 6, 6joinval 18010 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(join‘𝐾)𝑋) = (𝑈‘{𝑋, 𝑋}))
82, 7eqtr4id 2798 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = (𝑋(join‘𝐾)𝑋))
9 lubsn.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
109, 4latjidm 18095 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑋(join‘𝐾)𝑋) = 𝑋)
118, 10eqtrd 2778 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1539  wcel 2108  {csn 4558  {cpr 4560  cfv 6418  (class class class)co 7255  Basecbs 16840  lubclub 17942  joincjn 17944  Latclat 18064
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-rep 5205  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-proset 17928  df-poset 17946  df-lub 17979  df-glb 17980  df-join 17981  df-meet 17982  df-lat 18065
This theorem is referenced by:  lubel  18147
  Copyright terms: Public domain W3C validator