MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubsn Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubsn 18245
Description: The least upper bound of a singleton. (chsupsn 29820 analog.) (Contributed by NM, 20-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lubsn.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lubsn.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lubsn ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑋}) = 𝑋)

Proof of Theorem lubsn
StepHypRef Expression
1 dfsn2 4578 . . . 4 {𝑋} = {𝑋, 𝑋}
21fveq2i 6807 . . 3 (π‘ˆβ€˜{𝑋}) = (π‘ˆβ€˜{𝑋, 𝑋})
3 lubsn.u . . . 4 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
4 eqid 2736 . . . 4 (joinβ€˜πΎ) = (joinβ€˜πΎ)
5 simpl 484 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝐾 ∈ Lat)
6 simpr 486 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
73, 4, 5, 6, 6joinval 18140 . . 3 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)𝑋) = (π‘ˆβ€˜{𝑋, 𝑋}))
82, 7eqtr4id 2795 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑋}) = (𝑋(joinβ€˜πΎ)𝑋))
9 lubsn.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
109, 4latjidm 18225 . 2 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (𝑋(joinβ€˜πΎ)𝑋) = 𝑋)
118, 10eqtrd 2776 1 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑋}) = 𝑋)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  {csn 4565  {cpr 4567  β€˜cfv 6458  (class class class)co 7307  Basecbs 16957  lubclub 18072  joincjn 18074  Latclat 18194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2707  ax-rep 5218  ax-sep 5232  ax-nul 5239  ax-pow 5297  ax-pr 5361  ax-un 7620
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-reu 3286  df-rab 3287  df-v 3439  df-sbc 3722  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4566  df-pr 4568  df-op 4572  df-uni 4845  df-iun 4933  df-br 5082  df-opab 5144  df-mpt 5165  df-id 5500  df-xp 5606  df-rel 5607  df-cnv 5608  df-co 5609  df-dm 5610  df-rn 5611  df-res 5612  df-ima 5613  df-iota 6410  df-fun 6460  df-fn 6461  df-f 6462  df-f1 6463  df-fo 6464  df-f1o 6465  df-fv 6466  df-riota 7264  df-ov 7310  df-oprab 7311  df-proset 18058  df-poset 18076  df-lub 18109  df-glb 18110  df-join 18111  df-meet 18112  df-lat 18195
This theorem is referenced by:  lubel  18277
  Copyright terms: Public domain W3C validator