Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leat Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leat 38657
Description: A poset element less than or equal to an atom equals either zero or the atom. (Contributed by NM, 15-Oct-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
leatom.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
leatom.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
leatom.z 0 = (0.β€˜πΎ)
leatom.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
leat (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≀ 𝑃) β†’ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem leat
StepHypRef Expression
1 leatom.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 leatom.l . . 3 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 leatom.z . . 3 0 = (0.β€˜πΎ)
4 leatom.a . . 3 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4leatb 38656 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ≀ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))
65biimpa 476 1 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≀ 𝑃) β†’ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 844   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   class class class wbr 5139  β€˜cfv 6534  Basecbs 17145  lecple 17205  0.cp0 18380  OPcops 38536  Atomscatm 38627
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2695  ax-rep 5276  ax-sep 5290  ax-nul 5297  ax-pow 5354  ax-pr 5418  ax-un 7719
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2526  df-eu 2555  df-clab 2702  df-cleq 2716  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2933  df-ral 3054  df-rex 3063  df-rmo 3368  df-reu 3369  df-rab 3425  df-v 3468  df-sbc 3771  df-csb 3887  df-dif 3944  df-un 3946  df-in 3948  df-ss 3958  df-nul 4316  df-if 4522  df-pw 4597  df-sn 4622  df-pr 4624  df-op 4628  df-uni 4901  df-iun 4990  df-br 5140  df-opab 5202  df-mpt 5223  df-id 5565  df-xp 5673  df-rel 5674  df-cnv 5675  df-co 5676  df-dm 5677  df-rn 5678  df-res 5679  df-ima 5680  df-iota 6486  df-fun 6536  df-fn 6537  df-f 6538  df-f1 6539  df-fo 6540  df-f1o 6541  df-fv 6542  df-riota 7358  df-ov 7405  df-proset 18252  df-poset 18270  df-plt 18287  df-glb 18304  df-p0 18382  df-oposet 38540  df-covers 38630  df-ats 38631
This theorem is referenced by:  leat3  38659  tendoex  40340
  Copyright terms: Public domain W3C validator