Theorem leat2 39493

Description: A nonzero poset element less than or equal to an atom equals the atom. (Contributed by NM, 6-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
leatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
leatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
leat2	⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃)) → 𝑋 = 𝑃)

Proof of Theorem leat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leatom.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		leatom.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		leatom.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		leatom.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	leatb 39491	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))
6		orcom 870	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃))
7		neor 3022	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 ≠ 0 → 𝑋 = 𝑃))
8	6, 7	bitri 275	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋 ≠ 0 → 𝑋 = 𝑃))
9	5, 8	bitrdi 287	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 ≠ 0 → 𝑋 = 𝑃)))
10	9	biimpd 229	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 → (𝑋 ≠ 0 → 𝑋 = 𝑃)))
11	10	com23 86	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≠ 0 → (𝑋 ≤ 𝑃 → 𝑋 = 𝑃)))
12	11	imp32 418	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃)) → 𝑋 = 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5096  ‘cfv 6490  Basecbs 17134  lecple 17182  0.cp0 18342  OPcops 39371  Atomscatm 39462

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-rep 5222  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rmo 3348  df-reu 3349  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-iun 4946  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-riota 7313  df-ov 7359  df-proset 18215  df-poset 18234  df-plt 18249  df-glb 18266  df-p0 18344  df-oposet 39375  df-covers 39465  df-ats 39466

This theorem is referenced by:  dalemcea  39859  cdlemg12g  40848