Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leat2 39275
Description: A nonzero poset element less than or equal to an atom equals the atom. (Contributed by NM, 6-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
leatom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l = (le‘𝐾)
leatom.z 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
leat2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋0𝑋 𝑃)) → 𝑋 = 𝑃)

Proof of Theorem leat2
StepHypRef Expression
1 leatom.b . . . . . 6 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 leatom.l . . . . . 6 = (le‘𝐾)
3 leatom.z . . . . . 6 0 = (0.‘𝐾)
4 leatom.a . . . . . 6 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4leatb 39273 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 )))
6 orcom 870 . . . . . 6 ((𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0𝑋 = 𝑃))
7 neor 3031 . . . . . 6 ((𝑋 = 0𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋0𝑋 = 𝑃))
86, 7bitri 275 . . . . 5 ((𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋0𝑋 = 𝑃))
95, 8bitrdi 287 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 ↔ (𝑋0𝑋 = 𝑃)))
109biimpd 229 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋 𝑃 → (𝑋0𝑋 = 𝑃)))
1110com23 86 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) → (𝑋0 → (𝑋 𝑃𝑋 = 𝑃)))
1211imp32 418 1 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ (𝑋0𝑋 𝑃)) → 𝑋 = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395  wo 847  w3a 1086   = wceq 1536  wcel 2105  wne 2937   class class class wbr 5147  cfv 6562  Basecbs 17244  lecple 17304  0.cp0 18480  OPcops 39153  Atomscatm 39244
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1791  ax-4 1805  ax-5 1907  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2138  ax-11 2154  ax-12 2174  ax-ext 2705  ax-rep 5284  ax-sep 5301  ax-nul 5311  ax-pow 5370  ax-pr 5437  ax-un 7753
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1539  df-fal 1549  df-ex 1776  df-nf 1780  df-sb 2062  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2889  df-ne 2938  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3433  df-v 3479  df-sbc 3791  df-csb 3908  df-dif 3965  df-un 3967  df-in 3969  df-ss 3979  df-nul 4339  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4912  df-iun 4997  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5582  df-xp 5694  df-rel 5695  df-cnv 5696  df-co 5697  df-dm 5698  df-rn 5699  df-res 5700  df-ima 5701  df-iota 6515  df-fun 6564  df-fn 6565  df-f 6566  df-f1 6567  df-fo 6568  df-f1o 6569  df-fv 6570  df-riota 7387  df-ov 7433  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18387  df-glb 18404  df-p0 18482  df-oposet 39157  df-covers 39247  df-ats 39248
This theorem is referenced by:  dalemcea  39642  cdlemg12g  40631
  Copyright terms: Public domain W3C validator