Theorem leat2 38896

Description: A nonzero poset element less than or equal to an atom equals the atom. (Contributed by NM, 6-Mar-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
leatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
leatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
leat2	⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃)) → 𝑋 = 𝑃)

Proof of Theorem leat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leatom.b	. . . . . 6 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		leatom.l	. . . . . 6 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		leatom.z	. . . . . 6 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		leatom.a	. . . . . 6 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	leatb 38894	. . . . 5 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))
6		orcom 868	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃))
7		neor 3023	. . . . . 6 ⊢ ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 ≠ 0 → 𝑋 = 𝑃))
8	6, 7	bitri 274	. . . . 5 ⊢ ((𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋 ≠ 0 → 𝑋 = 𝑃))
9	5, 8	bitrdi 286	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 ↔ (𝑋 ≠ 0 → 𝑋 = 𝑃)))
10	9	biimpd 228	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≤ 𝑃 → (𝑋 ≠ 0 → 𝑋 = 𝑃)))
11	10	com23 86	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) → (𝑋 ≠ 0 → (𝑋 ≤ 𝑃 → 𝑋 = 𝑃)))
12	11	imp32 417	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 ≠ 0 ∧ 𝑋 ≤ 𝑃)) → 𝑋 = 𝑃)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 394   ∨ wo 845   ∧ w3a 1084   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   ≠ wne 2929   class class class wbr 5149  ‘cfv 6549  Basecbs 17183  lecple 17243  0.cp0 18418  OPcops 38774  Atomscatm 38865

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-op 4637  df-uni 4910  df-iun 4999  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5576  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-glb 18342  df-p0 18420  df-oposet 38778  df-covers 38868  df-ats 38869

This theorem is referenced by:  dalemcea  39263  cdlemg12g  40252