Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leat2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leat2 38760
Description: A nonzero poset element less than or equal to an atom equals the atom. (Contributed by NM, 6-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
leatom.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
leatom.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
leatom.z 0 = (0.β€˜πΎ)
leatom.a 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
leat2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ 𝑋 ≀ 𝑃)) β†’ 𝑋 = 𝑃)

Proof of Theorem leat2
StepHypRef Expression
1 leatom.b . . . . . 6 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
2 leatom.l . . . . . 6 ≀ = (leβ€˜πΎ)
3 leatom.z . . . . . 6 0 = (0.β€˜πΎ)
4 leatom.a . . . . . 6 𝐴 = (Atomsβ€˜πΎ)
51, 2, 3, 4leatb 38758 . . . . 5 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ≀ 𝑃 ↔ (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 )))
6 orcom 869 . . . . . 6 ((𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃))
7 neor 3030 . . . . . 6 ((𝑋 = 0 ∨ 𝑋 = 𝑃) ↔ (𝑋 β‰  0 β†’ 𝑋 = 𝑃))
86, 7bitri 275 . . . . 5 ((𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ) ↔ (𝑋 β‰  0 β†’ 𝑋 = 𝑃))
95, 8bitrdi 287 . . . 4 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ≀ 𝑃 ↔ (𝑋 β‰  0 β†’ 𝑋 = 𝑃)))
109biimpd 228 . . 3 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 ≀ 𝑃 β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ 𝑋 = 𝑃)))
1110com23 86 . 2 ((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 β‰  0 β†’ (𝑋 ≀ 𝑃 β†’ 𝑋 = 𝑃)))
1211imp32 418 1 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐡 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ (𝑋 β‰  0 ∧ 𝑋 ≀ 𝑃)) β†’ 𝑋 = 𝑃)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 846   ∧ w3a 1085   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   β‰  wne 2936   class class class wbr 5142  β€˜cfv 6542  Basecbs 17173  lecple 17233  0.cp0 18408  OPcops 38638  Atomscatm 38729
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2937  df-ral 3058  df-rex 3067  df-rmo 3372  df-reu 3373  df-rab 3429  df-v 3472  df-sbc 3776  df-csb 3891  df-dif 3948  df-un 3950  df-in 3952  df-ss 3962  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-op 4631  df-uni 4904  df-iun 4993  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-id 5570  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-proset 18280  df-poset 18298  df-plt 18315  df-glb 18332  df-p0 18410  df-oposet 38642  df-covers 38732  df-ats 38733
This theorem is referenced by:  dalemcea  39127  cdlemg12g  40116
  Copyright terms: Public domain W3C validator