Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leat3 36588
Description: A poset element less than or equal to an atom is either an atom or zero. (Contributed by NM, 2-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
leatom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l = (le‘𝐾)
leatom.z 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
leat3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋 𝑃) → (𝑋𝐴𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem leat3
StepHypRef Expression
1 leatom.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 leatom.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 leatom.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
4 leatom.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4leat 36586 . 2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋 𝑃) → (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ))
6 simpl3 1190 . . . 4 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋 𝑃) → 𝑃𝐴)
7 eleq1a 2885 . . . 4 (𝑃𝐴 → (𝑋 = 𝑃𝑋𝐴))
86, 7syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋 𝑃) → (𝑋 = 𝑃𝑋𝐴))
98orim1d 963 . 2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋 𝑃) → ((𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ) → (𝑋𝐴𝑋 = 0 )))
105, 9mpd 15 1 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋 𝑃) → (𝑋𝐴𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2111   class class class wbr 5030  cfv 6324  Basecbs 16475  lecple 16564  0.cp0 17639  OPcops 36465  Atomscatm 36556
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-proset 17530  df-poset 17548  df-plt 17560  df-glb 17577  df-p0 17641  df-oposet 36469  df-covers 36559  df-ats 36560
This theorem is referenced by:  cdleme22b  37634
  Copyright terms: Public domain W3C validator