Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  leat3 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leat3 35873
Description: A poset element less than or equal to an atom is either an atom or zero. (Contributed by NM, 2-Dec-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
leatom.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l = (le‘𝐾)
leatom.z 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
leat3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋 𝑃) → (𝑋𝐴𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem leat3
StepHypRef Expression
1 leatom.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐾)
2 leatom.l . . 3 = (le‘𝐾)
3 leatom.z . . 3 0 = (0.‘𝐾)
4 leatom.a . . 3 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
51, 2, 3, 4leat 35871 . 2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋 𝑃) → (𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ))
6 simpl3 1173 . . . 4 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋 𝑃) → 𝑃𝐴)
7 eleq1a 2862 . . . 4 (𝑃𝐴 → (𝑋 = 𝑃𝑋𝐴))
86, 7syl 17 . . 3 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋 𝑃) → (𝑋 = 𝑃𝑋𝐴))
98orim1d 948 . 2 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋 𝑃) → ((𝑋 = 𝑃𝑋 = 0 ) → (𝑋𝐴𝑋 = 0 )))
105, 9mpd 15 1 (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋𝐵𝑃𝐴) ∧ 𝑋 𝑃) → (𝑋𝐴𝑋 = 0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 387  wo 833  w3a 1068   = wceq 1507  wcel 2050   class class class wbr 4929  cfv 6188  Basecbs 16339  lecple 16428  0.cp0 17505  OPcops 35750  Atomscatm 35841
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279
This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-glb 17443  df-p0 17507  df-oposet 35754  df-covers 35844  df-ats 35845
This theorem is referenced by:  cdleme22b  36919
  Copyright terms: Public domain W3C validator