Theorem leat3 40461

Description: A poset element less than or equal to an atom is either an atom or zero. (Contributed by NM, 2-Dec-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
leatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
leatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
leat3	⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem leat3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leatom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		leatom.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		leatom.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		leatom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	leat 40459	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ))
6		simpl3 1212	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ 𝐴)
7		eleq1a 2855	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑋 = 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝐴))
8	6, 7	syl 18	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → (𝑋 = 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝐴))
9	8	orim1d 981	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → ((𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ) → (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋 = 0 )))
10	5, 9	mpd 16	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋 = 0 ))

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   class class class wbr 5102  ‘cfv 6543  Basecbs 17396  lecple 17444  0.cp0 18604  OPcops 40338  Atomscatm 40429

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-rep 5231  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-proset 18477  df-poset 18496  df-plt 18511  df-glb 18528  df-p0 18606  df-oposet 40342  df-covers 40432  df-ats 40433

This theorem is used by:  cdleme22b  41507