Theorem leat3 35873

Description: A poset element less than or equal to an atom is either an atom or zero. (Contributed by NM, 2-Dec-2012.)

Hypotheses

Ref	Expression
leatom.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
leatom.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
leatom.z	⊢ 0 = (0.‘𝐾)
leatom.a	⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
leat3	⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋 = 0 ))

Proof of Theorem leat3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		leatom.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
2		leatom.l	. . 3 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
3		leatom.z	. . 3 ⊢ 0 = (0.‘𝐾)
4		leatom.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Atoms‘𝐾)
5	1, 2, 3, 4	leat 35871	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → (𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ))
6		simpl3 1173	. . . 4 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → 𝑃 ∈ 𝐴)
7		eleq1a 2862	. . . 4 ⊢ (𝑃 ∈ 𝐴 → (𝑋 = 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝐴))
8	6, 7	syl 17	. . 3 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → (𝑋 = 𝑃 → 𝑋 ∈ 𝐴))
9	8	orim1d 948	. 2 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → ((𝑋 = 𝑃 ∨ 𝑋 = 0 ) → (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋 = 0 )))
10	5, 9	mpd 15	1 ⊢ (((𝐾 ∈ OP ∧ 𝑋 ∈ 𝐵 ∧ 𝑃 ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 ≤ 𝑃) → (𝑋 ∈ 𝐴 ∨ 𝑋 = 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 387   ∨ wo 833   ∧ w3a 1068   = wceq 1507   ∈ wcel 2050   class class class wbr 4929  ‘cfv 6188  Basecbs 16339  lecple 16428  0.cp0 17505  OPcops 35750  Atomscatm 35841

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1758  ax-4 1772  ax-5 1869  ax-6 1928  ax-7 1965  ax-8 2052  ax-9 2059  ax-10 2079  ax-11 2093  ax-12 2106  ax-13 2301  ax-ext 2751  ax-rep 5049  ax-sep 5060  ax-nul 5067  ax-pow 5119  ax-pr 5186  ax-un 7279

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 834  df-3an 1070  df-tru 1510  df-ex 1743  df-nf 1747  df-sb 2016  df-mo 2547  df-eu 2584  df-clab 2760  df-cleq 2772  df-clel 2847  df-nfc 2919  df-ne 2969  df-ral 3094  df-rex 3095  df-reu 3096  df-rab 3098  df-v 3418  df-sbc 3683  df-csb 3788  df-dif 3833  df-un 3835  df-in 3837  df-ss 3844  df-nul 4180  df-if 4351  df-pw 4424  df-sn 4442  df-pr 4444  df-op 4448  df-uni 4713  df-iun 4794  df-br 4930  df-opab 4992  df-mpt 5009  df-id 5312  df-xp 5413  df-rel 5414  df-cnv 5415  df-co 5416  df-dm 5417  df-rn 5418  df-res 5419  df-ima 5420  df-iota 6152  df-fun 6190  df-fn 6191  df-f 6192  df-f1 6193  df-fo 6194  df-f1o 6195  df-fv 6196  df-riota 6937  df-ov 6979  df-proset 17396  df-poset 17414  df-plt 17426  df-glb 17443  df-p0 17507  df-oposet 35754  df-covers 35844  df-ats 35845

This theorem is referenced by:  cdleme22b  36919