Theorem lefld 18778

Description: The field of the 'less or equal to' relationship on the extended real. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 4-May-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lefld	⊢ ℝ* = ∪ ∪ ≤

Proof of Theorem lefld

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lerel 11383	. . 3 ⊢ Rel ≤
2		relfld 6283	. . 3 ⊢ (Rel ≤ → ∪ ∪ ≤ = (dom ≤ ∪ ran ≤ ))
3	1, 2	ax-mp 5	. 2 ⊢ ∪ ∪ ≤ = (dom ≤ ∪ ran ≤ )
4		ledm 18776	. . 3 ⊢ ℝ* = dom ≤
5		lern 18777	. . 3 ⊢ ℝ* = ran ≤
6	4, 5	uneq12i 4167	. 2 ⊢ (ℝ* ∪ ℝ*) = (dom ≤ ∪ ran ≤ )
7		unidm 4158	. 2 ⊢ (ℝ* ∪ ℝ*) = ℝ*
8	3, 6, 7	3eqtr2ri 2793	1 ⊢ ℝ* = ∪ ∪ ≤

This proof depends on syntax axioms:   = wceq 1569   ∪ cun 4151  ∪ cuni 4869  dom cdm 5654  ran crn 5655  Rel wrel 5659  ℝ^*cxr 11352   ≤ cle 11354

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-sep 5251  ax-nul 5262  ax-pow 5330  ax-pr 5394  ax-un 7758  ax-cnex 11266  ax-resscn 11267  ax-pre-lttri 11284  ax-pre-lttrn 11285

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3416  df-v 3455  df-sbc 3742  df-csb 3851  df-ss 3900  df-dif 4049  df-in 4093  df-un 4153  df-nul 4281  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4838  df-uni 4870  df-br 5106  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5549  df-po 5562  df-so 5563  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6500  df-fun 6548  df-fn 6549  df-f 6550  df-f1 6551  df-fo 6552  df-f1o 6553  df-fv 6554  df-er 8728  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11355  df-mnf 11356  df-xr 11357  df-ltxr 11358  df-le 11359

This theorem is used by:  letsr  18779