Theorem lern 18661

Description: The range of ≤ is ℝ^*. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lern	⊢ ℝ* = ran ≤

Proof of Theorem lern

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleid 13213	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ≤ 𝑥)
2		lerel 11354	. . . . 5 ⊢ Rel ≤
3	2	relelrni 5974	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≤ 𝑥 → 𝑥 ∈ ran ≤ )
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ∈ ran ≤ )
5	4	ssriv 4012	. 2 ⊢ ℝ* ⊆ ran ≤
6		lerelxr 11353	. . . 4 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7	6	rnssi 5965	. . 3 ⊢ ran ≤ ⊆ ran (ℝ* × ℝ*)
8		rnxpss 6203	. . 3 ⊢ ran (ℝ* × ℝ*) ⊆ ℝ*
9	7, 8	sstri 4018	. 2 ⊢ ran ≤ ⊆ ℝ*
10	5, 9	eqssi 4025	1 ⊢ ℝ* = ran ≤

Syntax hints:   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   class class class wbr 5166   × cxp 5698  ran crn 5701  ℝ^*cxr 11323   ≤ cle 11325

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-cnex 11240  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330

This theorem is referenced by:  lefld  18662  cnvordtrestixx  33859  xrge0iifhmeo  33882