MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lern Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lern 18551
Description: The range of is *. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
lern * = ran ≤

Proof of Theorem lern
StepHypRef Expression
1 xrleid 13137 . . . 4 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥𝑥)
2 lerel 11285 . . . . 5 Rel ≤
32relelrni 5948 . . . 4 (𝑥𝑥𝑥 ∈ ran ≤ )
41, 3syl 17 . . 3 (𝑥 ∈ ℝ*𝑥 ∈ ran ≤ )
54ssriv 3986 . 2 * ⊆ ran ≤
6 lerelxr 11284 . . . 4 ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
76rnssi 5939 . . 3 ran ≤ ⊆ ran (ℝ* × ℝ*)
8 rnxpss 6171 . . 3 ran (ℝ* × ℝ*) ⊆ ℝ*
97, 8sstri 3991 . 2 ran ≤ ⊆ ℝ*
105, 9eqssi 3998 1 * = ran ≤
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   = wceq 1540  wcel 2105   class class class wbr 5148   × cxp 5674  ran crn 5677  *cxr 11254  cle 11256
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-cnex 11172  ax-resscn 11173  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-xr 11259  df-ltxr 11260  df-le 11261
This theorem is referenced by:  lefld  18552  cnvordtrestixx  33206  xrge0iifhmeo  33229
  Copyright terms: Public domain W3C validator