Theorem lern 18526

Description: The range of ≤ is ℝ^*. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lern	⊢ ℝ* = ran ≤

Proof of Theorem lern

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleid 13077	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ≤ 𝑥)
2		lerel 11208	. . . . 5 ⊢ Rel ≤
3	2	relelrni 5906	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≤ 𝑥 → 𝑥 ∈ ran ≤ )
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ∈ ran ≤ )
5	4	ssriv 3939	. 2 ⊢ ℝ* ⊆ ran ≤
6		lerelxr 11207	. . . 4 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7	6	rnssi 5897	. . 3 ⊢ ran ≤ ⊆ ran (ℝ* × ℝ*)
8		rnxpss 6138	. . 3 ⊢ ran (ℝ* × ℝ*) ⊆ ℝ*
9	7, 8	sstri 3945	. 2 ⊢ ran ≤ ⊆ ℝ*
10	5, 9	eqssi 3952	1 ⊢ ℝ* = ran ≤

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5100   × cxp 5630  ran crn 5633  ℝ^*cxr 11177   ≤ cle 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184

This theorem is referenced by:  lefld  18527  cnvordtrestixx  34091  xrge0iifhmeo  34114