Theorem lern 17705

Description: The range of ≤ is ℝ^*. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lern	⊢ ℝ* = ran ≤

Proof of Theorem lern

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleid 12359	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ≤ 𝑥)
2		lerel 10503	. . . . 5 ⊢ Rel ≤
3	2	relelrni 5659	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≤ 𝑥 → 𝑥 ∈ ran ≤ )
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ∈ ran ≤ )
5	4	ssriv 3855	. 2 ⊢ ℝ* ⊆ ran ≤
6		lerelxr 10502	. . . 4 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7	6	rnssi 5650	. . 3 ⊢ ran ≤ ⊆ ran (ℝ* × ℝ*)
8		rnxpss 5866	. . 3 ⊢ ran (ℝ* × ℝ*) ⊆ ℝ*
9	7, 8	sstri 3860	. 2 ⊢ ran ≤ ⊆ ℝ*
10	5, 9	eqssi 3867	1 ⊢ ℝ* = ran ≤

Syntax hints:   = wceq 1508   ∈ wcel 2051   class class class wbr 4925   × cxp 5401  ran crn 5404  ℝ^*cxr 10471   ≤ cle 10473

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1759  ax-4 1773  ax-5 1870  ax-6 1929  ax-7 1966  ax-8 2053  ax-9 2060  ax-10 2080  ax-11 2094  ax-12 2107  ax-13 2302  ax-ext 2743  ax-sep 5056  ax-nul 5063  ax-pow 5115  ax-pr 5182  ax-un 7277  ax-cnex 10389  ax-resscn 10390  ax-pre-lttri 10407  ax-pre-lttrn 10408

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 388  df-or 835  df-3or 1070  df-3an 1071  df-tru 1511  df-ex 1744  df-nf 1748  df-sb 2017  df-mo 2548  df-eu 2585  df-clab 2752  df-cleq 2764  df-clel 2839  df-nfc 2911  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3086  df-rex 3087  df-rab 3090  df-v 3410  df-sbc 3675  df-csb 3780  df-dif 3825  df-un 3827  df-in 3829  df-ss 3836  df-nul 4173  df-if 4345  df-pw 4418  df-sn 4436  df-pr 4438  df-op 4442  df-uni 4709  df-br 4926  df-opab 4988  df-mpt 5005  df-id 5308  df-po 5322  df-so 5323  df-xp 5409  df-rel 5410  df-cnv 5411  df-co 5412  df-dm 5413  df-rn 5414  df-res 5415  df-ima 5416  df-iota 6149  df-fun 6187  df-fn 6188  df-f 6189  df-f1 6190  df-fo 6191  df-f1o 6192  df-fv 6193  df-er 8087  df-en 8305  df-dom 8306  df-sdom 8307  df-pnf 10474  df-mnf 10475  df-xr 10476  df-ltxr 10477  df-le 10478

This theorem is referenced by:  lefld  17706  cnvordtrestixx  30832  xrge0iifhmeo  30855