Theorem lern 18551

Description: The range of ≤ is ℝ^*. (Contributed by FL, 2-Aug-2009.) (Revised by Mario Carneiro, 3-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
lern	⊢ ℝ* = ran ≤

Proof of Theorem lern

Step	Hyp	Ref	Expression
1		xrleid 13096	. . . 4 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ≤ 𝑥)
2		lerel 11203	. . . . 5 ⊢ Rel ≤
3	2	relelrni 5899	. . . 4 ⊢ (𝑥 ≤ 𝑥 → 𝑥 ∈ ran ≤ )
4	1, 3	syl 17	. . 3 ⊢ (𝑥 ∈ ℝ* → 𝑥 ∈ ran ≤ )
5	4	ssriv 3926	. 2 ⊢ ℝ* ⊆ ran ≤
6		lerelxr 11202	. . . 4 ⊢ ≤ ⊆ (ℝ* × ℝ*)
7	6	rnssi 5890	. . 3 ⊢ ran ≤ ⊆ ran (ℝ* × ℝ*)
8		rnxpss 6131	. . 3 ⊢ ran (ℝ* × ℝ*) ⊆ ℝ*
9	7, 8	sstri 3932	. 2 ⊢ ran ≤ ⊆ ℝ*
10	5, 9	eqssi 3939	1 ⊢ ℝ* = ran ≤

Syntax hints:   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086   × cxp 5623  ran crn 5626  ℝ^*cxr 11172   ≤ cle 11174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-cnex 11088  ax-resscn 11089  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-xr 11177  df-ltxr 11178  df-le 11179

This theorem is referenced by:  lefld  18552  cnvordtrestixx  34076  xrge0iifhmeo  34099