Theorem limsupvald 46036

Description: The superior limit of a sequence 𝐹 of extended real numbers is the infimum of the set of suprema of all restrictions of 𝐹 to an upperset of reals . (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupvald.1	⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
limsupvald.2	⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Assertion

Ref	Expression
limsupvald	⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Distinct variable group:   𝑘,𝐹

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑘)   𝐺(𝑘)   𝑉(𝑘)

Proof of Theorem limsupvald

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupvald.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐹 ∈ 𝑉)
2		limsupvald.2	. . 3 ⊢ 𝐺 = (𝑘 ∈ ℝ ↦ sup(((𝐹 “ (𝑘[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))
3	2	limsupval 15399	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ 𝑉 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))
4	1, 3	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘𝐹) = inf(ran 𝐺, ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ∩ cin 3899   ↦ cmpt 5178  ran crn 5624   “ cima 5626  ‘cfv 6491  (class class class)co 7358  supcsup 9345  infcinf 9346  ℝcr 11027  +∞cpnf 11165  ℝ^*cxr 11167   < clt 11168  [,)cico 13265  lim supclsp 15395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2183  ax-ext 2707  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5309  ax-pr 5376  ax-un 7680  ax-cnex 11084  ax-resscn 11085  ax-pre-lttri 11102  ax-pre-lttrn 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2538  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2810  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3349  df-rab 3399  df-v 3441  df-sbc 3740  df-csb 3849  df-dif 3903  df-un 3905  df-in 3907  df-ss 3917  df-nul 4285  df-if 4479  df-pw 4555  df-sn 4580  df-pr 4582  df-op 4586  df-uni 4863  df-br 5098  df-opab 5160  df-mpt 5179  df-id 5518  df-po 5531  df-so 5532  df-xp 5629  df-rel 5630  df-cnv 5631  df-co 5632  df-dm 5633  df-rn 5634  df-res 5635  df-ima 5636  df-iota 6447  df-fun 6493  df-fn 6494  df-f 6495  df-f1 6496  df-fo 6497  df-f1o 6498  df-fv 6499  df-er 8635  df-en 8886  df-dom 8887  df-sdom 8888  df-sup 9347  df-inf 9348  df-pnf 11170  df-mnf 11171  df-xr 11172  df-ltxr 11173  df-limsup 15396

This theorem is referenced by:  liminflelimsuplem  46056