Theorem liminfgord 45862

Description: Ordering property of the inferior limit function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
liminfgord	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Proof of Theorem liminfgord

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 4185	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
3		rexr 11158	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4	3	3ad2ant1 1133	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		simp3 1138	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
6		df-ico 13251	. . . . . . . 8 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
7		xrletr 13057	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑤) → 𝐴 ≤ 𝑤))
8	6, 6, 7	ixxss1 13263	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
9	4, 5, 8	syl2anc 584	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
10		imass2 6050	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞) → (𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝐴[,)+∞)))
11		ssrin 4189	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*))
13	12	sselda 3929	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*))
14		infxrlb 13234	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
15	2, 13, 14	syl2anc 584	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
16	15	ralrimiva 3124	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
17		inss2 4185	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
18		infxrcl 13233	. . . 4 ⊢ (((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19	1, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
20		infxrgelb 13235	. . 3 ⊢ ((((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* ∧ inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
21	17, 19, 20	mp2an 692	. 2 ⊢ (inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
22	16, 21	sylibr 234	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   ∈ wcel 2111  ∀wral 3047   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897   class class class wbr 5089   “ cima 5617  (class class class)co 7346  infcinf 9325  ℝcr 11005  +∞cpnf 11143  ℝ^*cxr 11145   < clt 11146   ≤ cle 11147  [,)cico 13247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-cnex 11062  ax-resscn 11063  ax-1cn 11064  ax-icn 11065  ax-addcl 11066  ax-addrcl 11067  ax-mulcl 11068  ax-mulrcl 11069  ax-mulcom 11070  ax-addass 11071  ax-mulass 11072  ax-distr 11073  ax-i2m1 11074  ax-1ne0 11075  ax-1rid 11076  ax-rnegex 11077  ax-rrecex 11078  ax-cnre 11079  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081  ax-pre-ltadd 11082  ax-pre-mulgt0 11083  ax-pre-sup 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-iun 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-riota 7303  df-ov 7349  df-oprab 7350  df-mpo 7351  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-sup 9326  df-inf 9327  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-xr 11150  df-ltxr 11151  df-le 11152  df-sub 11346  df-neg 11347  df-ico 13251

This theorem is referenced by:  liminfval2  45876