Theorem liminfgord 44457

Description: Ordering property of the inferior limit function. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Assertion

Ref	Expression
liminfgord	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Proof of Theorem liminfgord

Dummy variables 𝑤 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		inss2 4229	. . . . 5 ⊢ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
2	1	a1i 11	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*)
3		rexr 11257	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ∈ ℝ*)
4	3	3ad2ant1 1134	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ∈ ℝ*)
5		simp3 1139	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → 𝐴 ≤ 𝐵)
6		df-ico 13327	. . . . . . . 8 ⊢ [,) = (𝑥 ∈ ℝ*, 𝑦 ∈ ℝ* ↦ {𝑧 ∈ ℝ* ∣ (𝑥 ≤ 𝑧 ∧ 𝑧 < 𝑦)})
7		xrletr 13134	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐵 ∈ ℝ* ∧ 𝑤 ∈ ℝ*) → ((𝐴 ≤ 𝐵 ∧ 𝐵 ≤ 𝑤) → 𝐴 ≤ 𝑤))
8	6, 6, 7	ixxss1 13339	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ* ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
9	4, 5, 8	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → (𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞))
10		imass2 6099	. . . . . 6 ⊢ ((𝐵[,)+∞) ⊆ (𝐴[,)+∞) → (𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝐴[,)+∞)))
11		ssrin 4233	. . . . . 6 ⊢ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ⊆ (𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) → ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*))
12	9, 10, 11	3syl 18	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*))
13	12	sselda 3982	. . . 4 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*))
14		infxrlb 13310	. . . 4 ⊢ ((((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
15	2, 13, 14	syl2anc 585	. . 3 ⊢ (((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) ∧ 𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)) → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
16	15	ralrimiva 3147	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
17		inss2 4229	. . 3 ⊢ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ*
18		infxrcl 13309	. . . 4 ⊢ (((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*)
19	1, 18	ax-mp 5	. . 3 ⊢ inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*
20		infxrgelb 13311	. . 3 ⊢ ((((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*) ⊆ ℝ* ∧ inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ∈ ℝ*) → (inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥))
21	17, 19, 20	mp2an 691	. 2 ⊢ (inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ↔ ∀𝑥 ∈ ((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*)inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ 𝑥)
22	16, 21	sylibr 233	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ≤ 𝐵) → inf(((𝐹 “ (𝐴[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ) ≤ inf(((𝐹 “ (𝐵[,)+∞)) ∩ ℝ*), ℝ*, < ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   ∈ wcel 2107  ∀wral 3062   ∩ cin 3947   ⊆ wss 3948   class class class wbr 5148   “ cima 5679  (class class class)co 7406  infcinf 9433  ℝcr 11106  +∞cpnf 11242  ℝ^*cxr 11244   < clt 11245   ≤ cle 11246  [,)cico 13323

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722  ax-cnex 11163  ax-resscn 11164  ax-1cn 11165  ax-icn 11166  ax-addcl 11167  ax-addrcl 11168  ax-mulcl 11169  ax-mulrcl 11170  ax-mulcom 11171  ax-addass 11172  ax-mulass 11173  ax-distr 11174  ax-i2m1 11175  ax-1ne0 11176  ax-1rid 11177  ax-rnegex 11178  ax-rrecex 11179  ax-cnre 11180  ax-pre-lttri 11181  ax-pre-lttrn 11182  ax-pre-ltadd 11183  ax-pre-mulgt0 11184  ax-pre-sup 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-mpo 7411  df-1st 7972  df-2nd 7973  df-er 8700  df-en 8937  df-dom 8938  df-sdom 8939  df-sup 9434  df-inf 9435  df-pnf 11247  df-mnf 11248  df-xr 11249  df-ltxr 11250  df-le 11251  df-sub 11443  df-neg 11444  df-ico 13327

This theorem is referenced by:  liminfval2  44471