Theorem limsupresicompt 45612

Description: The superior limit doesn't change when a function is restricted to the upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupresicompt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
limsupresicompt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
limsupresicompt.z	⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)

Assertion

Ref	Expression
limsupresicompt	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem limsupresicompt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupresicompt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
2		limsupresicompt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
3		limsupresicompt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4	3	mptexd 7259	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	limsupresico 45556	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
6		resmpt3 6066	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵))
8	7	fveq2d 6923	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)))
9	5, 8	eqtr3d 2776	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2103  Vcvv 3482   ∩ cin 3969   ↦ cmpt 5252   ↾ cres 5701  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  ℝcr 11179  +∞cpnf 11317  [,)cico 13405  lim supclsp 15512

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-pre-sup 11258

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5021  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-er 8759  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-sup 9507  df-inf 9508  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-div 11944  df-nn 12290  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-q 13010  df-ico 13409  df-limsup 15513

This theorem is referenced by:  liminfval4  45645  liminfval3  45646  limsupval4  45650