Theorem limsupresicompt 45727

Description: The superior limit doesn't change when a function is restricted to the upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)

Hypotheses

Ref	Expression
limsupresicompt.a	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
limsupresicompt.m	⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
limsupresicompt.z	⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)

Assertion

Ref	Expression
limsupresicompt	⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)))

Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑍

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem limsupresicompt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		limsupresicompt.m	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑀 ∈ ℝ)
2		limsupresicompt.z	. . 3 ⊢ 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
3		limsupresicompt.a	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ 𝑉)
4	3	mptexd 7180	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ∈ V)
5	1, 2, 4	limsupresico 45671	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)))
6		resmpt3 5998	. . . 4 ⊢ ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)
7	6	a1i 11	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍) = (𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵))
8	7	fveq2d 6844	. 2 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘((𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)))
9	5, 8	eqtr3d 2766	1 ⊢ (𝜑 → (lim sup‘(𝑥 ∈ 𝐴 ↦ 𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴 ∩ 𝑍) ↦ 𝐵)))

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  Vcvv 3444   ∩ cin 3910   ↦ cmpt 5183   ↾ cres 5633  ‘cfv 6499  (class class class)co 7369  ℝcr 11043  +∞cpnf 11181  [,)cico 13284  lim supclsp 15412

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-cnex 11100  ax-resscn 11101  ax-1cn 11102  ax-icn 11103  ax-addcl 11104  ax-addrcl 11105  ax-mulcl 11106  ax-mulrcl 11107  ax-mulcom 11108  ax-addass 11109  ax-mulass 11110  ax-distr 11111  ax-i2m1 11112  ax-1ne0 11113  ax-1rid 11114  ax-rnegex 11115  ax-rrecex 11116  ax-cnre 11117  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119  ax-pre-ltadd 11120  ax-pre-mulgt0 11121  ax-pre-sup 11122

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-pss 3931  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-tr 5210  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6262  df-ord 6323  df-on 6324  df-lim 6325  df-suc 6326  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-mpo 7374  df-om 7823  df-1st 7947  df-2nd 7948  df-frecs 8237  df-wrecs 8268  df-recs 8317  df-rdg 8355  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-sup 9369  df-inf 9370  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-xr 11188  df-ltxr 11189  df-le 11190  df-sub 11383  df-neg 11384  df-div 11812  df-nn 12163  df-n0 12419  df-z 12506  df-uz 12770  df-q 12884  df-ico 13288  df-limsup 15413

This theorem is referenced by:  liminfval4  45760  liminfval3  45761  limsupval4  45765