Users' Mathboxes Mathbox for Glauco Siliprandi < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  limsupresicompt Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem limsupresicompt 42351
Description: The superior limit doesn't change when a function is restricted to the upper part of the reals. (Contributed by Glauco Siliprandi, 2-Jan-2022.)
Hypotheses
Ref Expression
limsupresicompt.a (𝜑𝐴𝑉)
limsupresicompt.m (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
limsupresicompt.z 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
Assertion
Ref Expression
limsupresicompt (𝜑 → (lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴𝑍) ↦ 𝐵)))
Distinct variable groups:   𝑥,𝐴   𝑥,𝑍
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑥)   𝐵(𝑥)   𝑀(𝑥)   𝑉(𝑥)

Proof of Theorem limsupresicompt
StepHypRef Expression
1 limsupresicompt.m . . 3 (𝜑𝑀 ∈ ℝ)
2 limsupresicompt.z . . 3 𝑍 = (𝑀[,)+∞)
3 limsupresicompt.a . . . 4 (𝜑𝐴𝑉)
43mptexd 6980 . . 3 (𝜑 → (𝑥𝐴𝐵) ∈ V)
51, 2, 4limsupresico 42295 . 2 (𝜑 → (lim sup‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)))
6 resmpt3 5895 . . . 4 ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑍) = (𝑥 ∈ (𝐴𝑍) ↦ 𝐵)
76a1i 11 . . 3 (𝜑 → ((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑍) = (𝑥 ∈ (𝐴𝑍) ↦ 𝐵))
87fveq2d 6667 . 2 (𝜑 → (lim sup‘((𝑥𝐴𝐵) ↾ 𝑍)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴𝑍) ↦ 𝐵)))
95, 8eqtr3d 2861 1 (𝜑 → (lim sup‘(𝑥𝐴𝐵)) = (lim sup‘(𝑥 ∈ (𝐴𝑍) ↦ 𝐵)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1538  wcel 2115  Vcvv 3480  cin 3918  cmpt 5133  cres 5545  cfv 6345  (class class class)co 7151  cr 10536  +∞cpnf 10672  [,)cico 12739  lim supclsp 14829
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457  ax-cnex 10593  ax-resscn 10594  ax-1cn 10595  ax-icn 10596  ax-addcl 10597  ax-addrcl 10598  ax-mulcl 10599  ax-mulrcl 10600  ax-mulcom 10601  ax-addass 10602  ax-mulass 10603  ax-distr 10604  ax-i2m1 10605  ax-1ne0 10606  ax-1rid 10607  ax-rnegex 10608  ax-rrecex 10609  ax-cnre 10610  ax-pre-lttri 10611  ax-pre-lttrn 10612  ax-pre-ltadd 10613  ax-pre-mulgt0 10614  ax-pre-sup 10615
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-nel 3119  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rmo 3141  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-pss 3938  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-tp 4555  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-tr 5160  df-id 5448  df-eprel 5453  df-po 5462  df-so 5463  df-fr 5502  df-we 5504  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-pred 6137  df-ord 6183  df-on 6184  df-lim 6185  df-suc 6186  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-mpo 7156  df-om 7577  df-1st 7686  df-2nd 7687  df-wrecs 7945  df-recs 8006  df-rdg 8044  df-er 8287  df-en 8508  df-dom 8509  df-sdom 8510  df-sup 8905  df-inf 8906  df-pnf 10677  df-mnf 10678  df-xr 10679  df-ltxr 10680  df-le 10681  df-sub 10872  df-neg 10873  df-div 11298  df-nn 11637  df-n0 11897  df-z 11981  df-uz 12243  df-q 12348  df-ico 12743  df-limsup 14830
This theorem is referenced by:  liminfval4  42384  liminfval3  42385  limsupval4  42389
  Copyright terms: Public domain W3C validator