MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lmhmf Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lmhmf 19778
Description: A homomorphism of left modules is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lmhmf.b 𝐵 = (Base‘𝑆)
lmhmf.c 𝐶 = (Base‘𝑇)
Assertion
Ref Expression
lmhmf (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)

Proof of Theorem lmhmf
StepHypRef Expression
1 lmghm 19775 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2 lmhmf.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝑆)
3 lmhmf.c . . 3 𝐶 = (Base‘𝑇)
42, 3ghmf 18337 . 2 (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)
51, 4syl 17 1 (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵𝐶)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4   = wceq 1537  wcel 2114  wf 6323  cfv 6327  (class class class)co 7129  Basecbs 16458   GrpHom cghm 18330   LMHom clmhm 19763
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2177  ax-ext 2792  ax-rep 5162  ax-sep 5175  ax-nul 5182  ax-pow 5238  ax-pr 5302  ax-un 7435
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3an 1085  df-tru 1540  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2799  df-cleq 2813  df-clel 2891  df-nfc 2959  df-ne 3007  df-ral 3130  df-rex 3131  df-reu 3132  df-rab 3134  df-v 3472  df-sbc 3749  df-csb 3857  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4811  df-iun 4893  df-br 5039  df-opab 5101  df-mpt 5119  df-id 5432  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6286  df-fun 6329  df-fn 6330  df-f 6331  df-f1 6332  df-fo 6333  df-f1o 6334  df-fv 6335  df-ov 7132  df-oprab 7133  df-mpo 7134  df-ghm 18331  df-lmhm 19766
This theorem is referenced by:  islmhm2  19782  lmhmco  19787  lmhmplusg  19788  lmhmvsca  19789  lmhmf1o  19790  lmhmima  19791  lmhmpreima  19792  lmhmlsp  19793  lmhmrnlss  19794  lmhmeql  19799  lspextmo  19800  lmimcnv  19811  ipcl  20749  frlmup3  20916  nmoleub2lem  23694  nmoleub2lem3  23695  nmoleub3  23699  nmhmcn  23700  dimkerim  31030  kercvrlsm  39816  lmhmfgima  39817  lnmepi  39818  lmhmfgsplit  39819  pwssplit4  39822  mendring  39925  mendlmod  39926  mendassa  39927
  Copyright terms: Public domain W3C validator