Theorem lmhmf 21021

Description: A homomorphism of left modules is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lmhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lmhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem lmhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmghm 21018	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2		lmhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		lmhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4	2, 3	ghmf 19186	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1542   ∈ wcel 2114  ⟶wf 6488  ‘cfv 6492  (class class class)co 7360  Basecbs 17170   GrpHom cghm 19178   LMHom clmhm 21006

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5302  ax-pr 5370  ax-un 7682

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-iun 4936  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5519  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-fv 6500  df-ov 7363  df-oprab 7364  df-mpo 7365  df-1st 7935  df-2nd 7936  df-map 8768  df-ghm 19179  df-lmhm 21009

This theorem is referenced by:  islmhm2  21025  lmhmco  21030  lmhmplusg  21031  lmhmvsca  21032  lmhmf1o  21033  lmhmima  21034  lmhmpreima  21035  lmhmlsp  21036  lmhmrnlss  21037  lmhmeql  21042  lspextmo  21043  lmimcnv  21054  ipcl  21623  frlmup3  21790  nmoleub2lem  25091  nmoleub2lem3  25092  nmoleub3  25096  nmhmcn  25097  dimkerim  33787  lvecendof1f1o  33793  kercvrlsm  43529  lmhmfgima  43530  lnmepi  43531  lmhmfgsplit  43532  pwssplit4  43535  mendring  43634  mendlmod  43635  mendassa  43636