Theorem lmhmf 21051

Description: A homomorphism of left modules is a function. (Contributed by Stefan O'Rear, 1-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lmhmf.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
lmhmf.c	⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)

Assertion

Ref	Expression
lmhmf	⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Proof of Theorem lmhmf

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lmghm 21048	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇))
2		lmhmf.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝑆)
3		lmhmf.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = (Base‘𝑇)
4	2, 3	ghmf 19251	. 2 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 GrpHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)
5	1, 4	syl 17	1 ⊢ (𝐹 ∈ (𝑆 LMHom 𝑇) → 𝐹:𝐵⟶𝐶)

Syntax hints:   → wi 4   = wceq 1537   ∈ wcel 2106  ⟶wf 6559  ‘cfv 6563  (class class class)co 7431  Basecbs 17245   GrpHom cghm 19243   LMHom clmhm 21036

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-iun 4998  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-fv 6571  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-1st 8013  df-2nd 8014  df-map 8867  df-ghm 19244  df-lmhm 21039

This theorem is referenced by:  islmhm2  21055  lmhmco  21060  lmhmplusg  21061  lmhmvsca  21062  lmhmf1o  21063  lmhmima  21064  lmhmpreima  21065  lmhmlsp  21066  lmhmrnlss  21067  lmhmeql  21072  lspextmo  21073  lmimcnv  21084  ipcl  21669  frlmup3  21838  nmoleub2lem  25161  nmoleub2lem3  25162  nmoleub3  25166  nmhmcn  25167  dimkerim  33655  lvecendof1f1o  33661  kercvrlsm  43072  lmhmfgima  43073  lnmepi  43074  lmhmfgsplit  43075  pwssplit4  43078  mendring  43177  mendlmod  43178  mendassa  43179