Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  hdmaprnlem3eN Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem hdmaprnlem3eN 41461
Description: Lemma for hdmaprnN 41467. (Contributed by NM, 29-May-2015.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
hdmaprnlem1.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
hdmaprnlem1.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
hdmaprnlem1.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
hdmaprnlem1.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.l 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
hdmaprnlem1.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.s 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
hdmaprnlem1.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
hdmaprnlem1.se (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
hdmaprnlem1.ve (𝜑𝑣𝑉)
hdmaprnlem1.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
hdmaprnlem1.ue (𝜑𝑢𝑉)
hdmaprnlem1.un (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
hdmaprnlem1.d 𝐷 = (Base‘𝐶)
hdmaprnlem1.q 𝑄 = (0g𝐶)
hdmaprnlem1.o 0 = (0g𝑈)
hdmaprnlem1.a = (+g𝐶)
hdmaprnlem3e.p + = (+g𝑈)
Assertion
Ref Expression
hdmaprnlem3eN (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐿   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡, 0   𝑡, +   𝑡,𝑆   𝑡,𝑈   𝑡,𝑉   𝜑,𝑡   𝑡,𝑠,𝑢,𝑣
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑣,𝑢,𝑠)   𝐶(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐷(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   + (𝑣,𝑢,𝑠)   (𝑣,𝑢,𝑠)   𝑄(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝑆(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑈(𝑣,𝑢,𝑠)   𝐻(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐾(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   𝐿(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑀(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑁(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑉(𝑣,𝑢,𝑠)   𝑊(𝑣,𝑢,𝑡,𝑠)   0 (𝑣,𝑢,𝑠)

Proof of Theorem hdmaprnlem3eN
StepHypRef Expression
1 hdmaprnlem1.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑈)
2 hdmaprnlem3e.p . . 3 + = (+g𝑈)
3 hdmaprnlem1.o . . 3 0 = (0g𝑈)
4 hdmaprnlem1.n . . 3 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
5 eqid 2725 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
6 hdmaprnlem1.h . . . 4 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
7 hdmaprnlem1.u . . . 4 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
8 hdmaprnlem1.k . . . 4 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
96, 7, 8dvhlvec 40712 . . 3 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
10 hdmaprnlem1.m . . . 4 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
11 hdmaprnlem1.c . . . 4 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
12 eqid 2725 . . . 4 (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
13 hdmaprnlem1.d . . . . 5 𝐷 = (Base‘𝐶)
14 hdmaprnlem1.l . . . . 5 𝐿 = (LSpan‘𝐶)
15 hdmaprnlem1.q . . . . 5 𝑄 = (0g𝐶)
166, 11, 8lcdlmod 41195 . . . . 5 (𝜑𝐶 ∈ LMod)
17 hdmaprnlem1.s . . . . . . . 8 𝑆 = ((HDMap‘𝐾)‘𝑊)
18 hdmaprnlem1.ue . . . . . . . 8 (𝜑𝑢𝑉)
196, 7, 1, 11, 13, 17, 8, 18hdmapcl 41433 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ 𝐷)
20 hdmaprnlem1.se . . . . . . . 8 (𝜑𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
2120eldifad 3956 . . . . . . 7 (𝜑𝑠𝐷)
22 hdmaprnlem1.a . . . . . . . 8 = (+g𝐶)
2313, 22lmodvacl 20770 . . . . . . 7 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷𝑠𝐷) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
2416, 19, 21, 23syl3anc 1368 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷)
25 hdmaprnlem1.ve . . . . . . . 8 (𝜑𝑣𝑉)
26 hdmaprnlem1.e . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
27 hdmaprnlem1.un . . . . . . . 8 (𝜑 → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
286, 7, 1, 4, 11, 14, 10, 17, 8, 20, 25, 26, 18, 27hdmaprnlem1N 41452 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘{(𝑆𝑢)}) ≠ (𝐿‘{𝑠}))
2913, 22, 15, 14, 16, 19, 21, 28lmodindp1 20910 . . . . . 6 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ≠ 𝑄)
30 eldifsn 4792 . . . . . 6 (((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}) ↔ (((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷 ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ≠ 𝑄))
3124, 29, 30sylanbrc 581 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
3213, 14, 15, 12, 16, 31lsatlspsn 38595 . . . 4 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
336, 10, 7, 5, 11, 12, 8, 32mapdcnvatN 41269 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
346, 7, 1, 4, 11, 14, 10, 17, 8, 20, 25, 26, 18, 27, 13, 15, 3, 22hdmaprnlem3uN 41454 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
3534necomd 2985 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ≠ (𝑁‘{𝑢}))
366, 7, 1, 4, 11, 14, 10, 17, 8, 20, 25, 26, 18, 27, 13, 15, 3, 22hdmaprnlem3N 41453 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ≠ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})))
3736necomd 2985 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ≠ (𝑁‘{𝑣}))
38 eqid 2725 . . . . . . 7 (LSubSp‘𝐶) = (LSubSp‘𝐶)
39 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
406, 7, 8dvhlmod 40713 . . . . . . . . . 10 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
411, 39, 4lspsncl 20873 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑉) → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4240, 18, 41syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
436, 10, 7, 39, 11, 38, 8, 42mapdcl2 41259 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
441, 39, 4lspsncl 20873 . . . . . . . . . 10 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑣𝑉) → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
4540, 25, 44syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
466, 10, 7, 39, 11, 38, 8, 45mapdcl2 41259 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ∈ (LSubSp‘𝐶))
47 eqid 2725 . . . . . . . . 9 (LSSum‘𝐶) = (LSSum‘𝐶)
4838, 47lsmcl 20980 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ∈ (LSubSp‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ∈ (LSubSp‘𝐶)) → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑣}))) ∈ (LSubSp‘𝐶))
4916, 43, 46, 48syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑣}))) ∈ (LSubSp‘𝐶))
5038lsssssubg 20854 . . . . . . . . . 10 (𝐶 ∈ LMod → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
5116, 50syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (LSubSp‘𝐶) ⊆ (SubGrp‘𝐶))
5251, 43sseldd 3977 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ∈ (SubGrp‘𝐶))
5351, 46sseldd 3977 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ∈ (SubGrp‘𝐶))
5413, 14lspsnid 20889 . . . . . . . . . 10 ((𝐶 ∈ LMod ∧ (𝑆𝑢) ∈ 𝐷) → (𝑆𝑢) ∈ (𝐿‘{(𝑆𝑢)}))
5516, 19, 54syl2anc 582 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ (𝐿‘{(𝑆𝑢)}))
566, 7, 1, 4, 11, 14, 10, 17, 8, 18hdmap10 41443 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) = (𝐿‘{(𝑆𝑢)}))
5755, 56eleqtrrd 2828 . . . . . . . 8 (𝜑 → (𝑆𝑢) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})))
58 eqimss2 4036 . . . . . . . . . 10 ((𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}) → (𝐿‘{𝑠}) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})))
5926, 58syl 17 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝐿‘{𝑠}) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})))
6013, 38, 14, 16, 46, 21lspsnel5 20891 . . . . . . . . 9 (𝜑 → (𝑠 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ↔ (𝐿‘{𝑠}) ⊆ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣}))))
6159, 60mpbird 256 . . . . . . . 8 (𝜑𝑠 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})))
6222, 47lsmelvali 19617 . . . . . . . 8 ((((𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ∈ (SubGrp‘𝐶) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) ∈ (SubGrp‘𝐶)) ∧ ((𝑆𝑢) ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑢})) ∧ 𝑠 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})))) → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑣}))))
6352, 53, 57, 61, 62syl22anc 837 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑣}))))
6438, 14, 16, 49, 63lspsnel5a 20892 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ⊆ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑣}))))
65 eqid 2725 . . . . . . 7 (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
666, 10, 7, 39, 65, 11, 47, 8, 42, 45mapdlsm 41267 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑢})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑣}))) = ((𝑀‘(𝑁‘{𝑢}))(LSSum‘𝐶)(𝑀‘(𝑁‘{𝑣}))))
6764, 66sseqtrrd 4018 . . . . 5 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ⊆ (𝑀‘((𝑁‘{𝑢})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑣}))))
6813, 38, 14lspsncl 20873 . . . . . . . 8 ((𝐶 ∈ LMod ∧ ((𝑆𝑢) 𝑠) ∈ 𝐷) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
6916, 24, 68syl2anc 582 . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ (LSubSp‘𝐶))
706, 10, 11, 38, 8mapdrn2 41254 . . . . . . 7 (𝜑 → ran 𝑀 = (LSubSp‘𝐶))
7169, 70eleqtrrd 2828 . . . . . 6 (𝜑 → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
7239, 65lsmcl 20980 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑁‘{𝑢}) ∈ (LSubSp‘𝑈) ∧ (𝑁‘{𝑣}) ∈ (LSubSp‘𝑈)) → ((𝑁‘{𝑢})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑣})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
7340, 42, 45, 72syl3anc 1368 . . . . . . 7 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑢})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑣})) ∈ (LSubSp‘𝑈))
746, 10, 7, 39, 8, 73mapdcl 41256 . . . . . 6 (𝜑 → (𝑀‘((𝑁‘{𝑢})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑣}))) ∈ ran 𝑀)
756, 10, 8, 71, 74mapdcnvordN 41261 . . . . 5 (𝜑 → ((𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ⊆ (𝑀‘(𝑀‘((𝑁‘{𝑢})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑣})))) ↔ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ⊆ (𝑀‘((𝑁‘{𝑢})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑣})))))
7667, 75mpbird 256 . . . 4 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ⊆ (𝑀‘(𝑀‘((𝑁‘{𝑢})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑣})))))
771, 4, 65, 40, 18, 25lsmpr 20986 . . . . 5 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢, 𝑣}) = ((𝑁‘{𝑢})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑣})))
786, 10, 7, 39, 8, 73mapdcnvid1N 41257 . . . . 5 (𝜑 → (𝑀‘(𝑀‘((𝑁‘{𝑢})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑣})))) = ((𝑁‘{𝑢})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑣})))
7977, 78eqtr4d 2768 . . . 4 (𝜑 → (𝑁‘{𝑢, 𝑣}) = (𝑀‘(𝑀‘((𝑁‘{𝑢})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑣})))))
8076, 79sseqtrrd 4018 . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) ⊆ (𝑁‘{𝑢, 𝑣}))
811, 2, 3, 4, 5, 9, 33, 18, 25, 35, 37, 80lsatfixedN 38611 . 2 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })(𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)}))
82 simpr 483 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)}))
838ad2antrr 724 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
8440ad2antrr 724 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → 𝑈 ∈ LMod)
8518ad2antrr 724 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → 𝑢𝑉)
8620ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → 𝑠 ∈ (𝐷 ∖ {𝑄}))
8725ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → 𝑣𝑉)
8826ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → (𝑀‘(𝑁‘{𝑣})) = (𝐿‘{𝑠}))
8927ad2antrr 724 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → ¬ 𝑢 ∈ (𝑁‘{𝑣}))
90 simplr 767 . . . . . . . . . 10 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → 𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 }))
916, 7, 1, 4, 11, 14, 10, 17, 83, 86, 87, 88, 85, 89, 13, 15, 3, 22, 90hdmaprnlem4tN 41455 . . . . . . . . 9 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → 𝑡𝑉)
921, 2lmodvacl 20770 . . . . . . . . 9 ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑢𝑉𝑡𝑉) → (𝑢 + 𝑡) ∈ 𝑉)
9384, 85, 91, 92syl3anc 1368 . . . . . . . 8 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → (𝑢 + 𝑡) ∈ 𝑉)
941, 39, 4lspsncl 20873 . . . . . . . 8 ((𝑈 ∈ LMod ∧ (𝑢 + 𝑡) ∈ 𝑉) → (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
9584, 93, 94syl2anc 582 . . . . . . 7 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
966, 10, 7, 39, 83, 95mapdcnvid1N 41257 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → (𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)}))) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)}))
9782, 96eqtr4d 2768 . . . . 5 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)}))))
9871ad2antrr 724 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) ∈ ran 𝑀)
996, 10, 7, 39, 83, 95mapdcl 41256 . . . . . 6 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) ∈ ran 𝑀)
1006, 10, 83, 98, 99mapdcnv11N 41262 . . . . 5 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → ((𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑀‘(𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)}))) ↔ (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)}))))
10197, 100mpbid 231 . . . 4 (((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) ∧ (𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
102101ex 411 . . 3 ((𝜑𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })) → ((𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)}) → (𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)}))))
103102reximdva 3157 . 2 (𝜑 → (∃𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })(𝑀‘(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)})) = (𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)}) → ∃𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)}))))
10481, 103mpd 15 1 (𝜑 → ∃𝑡 ∈ ((𝑁‘{𝑣}) ∖ { 0 })(𝐿‘{((𝑆𝑢) 𝑠)}) = (𝑀‘(𝑁‘{(𝑢 + 𝑡)})))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 394   = wceq 1533  wcel 2098  wne 2929  wrex 3059  cdif 3941  wss 3944  {csn 4630  {cpr 4632  ccnv 5677  ran crn 5679  cfv 6549  (class class class)co 7419  Basecbs 17183  +gcplusg 17236  0gc0g 17424  SubGrpcsubg 19083  LSSumclsm 19601  LModclmod 20755  LSubSpclss 20827  LSpanclspn 20867  LSAtomsclsa 38576  HLchlt 38952  LHypclh 39587  DVecHcdvh 40681  LCDualclcd 41189  mapdcmpd 41227  HDMapchdma 41395
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2166  ax-ext 2696  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7741  ax-cnex 11196  ax-resscn 11197  ax-1cn 11198  ax-icn 11199  ax-addcl 11200  ax-addrcl 11201  ax-mulcl 11202  ax-mulrcl 11203  ax-mulcom 11204  ax-addass 11205  ax-mulass 11206  ax-distr 11207  ax-i2m1 11208  ax-1ne0 11209  ax-1rid 11210  ax-rnegex 11211  ax-rrecex 11212  ax-cnre 11213  ax-pre-lttri 11214  ax-pre-lttrn 11215  ax-pre-ltadd 11216  ax-pre-mulgt0 11217  ax-riotaBAD 38555
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 846  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2703  df-cleq 2717  df-clel 2802  df-nfc 2877  df-ne 2930  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3419  df-v 3463  df-sbc 3774  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3964  df-nul 4323  df-if 4531  df-pw 4606  df-sn 4631  df-pr 4633  df-tp 4635  df-op 4637  df-ot 4639  df-uni 4910  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5576  df-eprel 5582  df-po 5590  df-so 5591  df-fr 5633  df-we 5635  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-pred 6307  df-ord 6374  df-on 6375  df-lim 6376  df-suc 6377  df-iota 6501  df-fun 6551  df-fn 6552  df-f 6553  df-f1 6554  df-fo 6555  df-f1o 6556  df-fv 6557  df-riota 7375  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-of 7685  df-om 7872  df-1st 7994  df-2nd 7995  df-tpos 8232  df-undef 8279  df-frecs 8287  df-wrecs 8318  df-recs 8392  df-rdg 8431  df-1o 8487  df-er 8725  df-map 8847  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-fin 8968  df-pnf 11282  df-mnf 11283  df-xr 11284  df-ltxr 11285  df-le 11286  df-sub 11478  df-neg 11479  df-nn 12246  df-2 12308  df-3 12309  df-4 12310  df-5 12311  df-6 12312  df-n0 12506  df-z 12592  df-uz 12856  df-fz 13520  df-struct 17119  df-sets 17136  df-slot 17154  df-ndx 17166  df-base 17184  df-ress 17213  df-plusg 17249  df-mulr 17250  df-sca 17252  df-vsca 17253  df-0g 17426  df-mre 17569  df-mrc 17570  df-acs 17572  df-proset 18290  df-poset 18308  df-plt 18325  df-lub 18341  df-glb 18342  df-join 18343  df-meet 18344  df-p0 18420  df-p1 18421  df-lat 18427  df-clat 18494  df-mgm 18603  df-sgrp 18682  df-mnd 18698  df-submnd 18744  df-grp 18901  df-minusg 18902  df-sbg 18903  df-subg 19086  df-cntz 19280  df-oppg 19309  df-lsm 19603  df-cmn 19749  df-abl 19750  df-mgp 20087  df-rng 20105  df-ur 20134  df-ring 20187  df-oppr 20285  df-dvdsr 20308  df-unit 20309  df-invr 20339  df-dvr 20352  df-drng 20638  df-lmod 20757  df-lss 20828  df-lsp 20868  df-lvec 21000  df-lsatoms 38578  df-lshyp 38579  df-lcv 38621  df-lfl 38660  df-lkr 38688  df-ldual 38726  df-oposet 38778  df-ol 38780  df-oml 38781  df-covers 38868  df-ats 38869  df-atl 38900  df-cvlat 38924  df-hlat 38953  df-llines 39101  df-lplanes 39102  df-lvols 39103  df-lines 39104  df-psubsp 39106  df-pmap 39107  df-padd 39399  df-lhyp 39591  df-laut 39592  df-ldil 39707  df-ltrn 39708  df-trl 39762  df-tgrp 40346  df-tendo 40358  df-edring 40360  df-dveca 40606  df-disoa 40632  df-dvech 40682  df-dib 40742  df-dic 40776  df-dih 40832  df-doch 40951  df-djh 40998  df-lcdual 41190  df-mapd 41228  df-hvmap 41360  df-hdmap1 41396  df-hdmap 41397
This theorem is referenced by:  hdmaprnlem10N  41462
  Copyright terms: Public domain W3C validator