Theorem dochsnshp 39714

Description: The orthocomplement of a nonzero singleton is a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsnshp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnshp.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnshp.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnshp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnshp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochsnshp.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochsnshp.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsnshp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochsnshp	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ 𝑌)

Proof of Theorem dochsnshp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsnshp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsnshp.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsnshp.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochsnshp.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
6		dochsnshp.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		dochsnshp.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8	7	eldifad 3909	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9	8	snssd 4755	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	dochocsp 39640	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
11		eqid 2736	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
12		dochsnshp.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
13		dochsnshp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14	1, 2, 6	dvhlmod 39371	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
15	4, 5, 13, 11, 14, 7	lsatlspsn 37253	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
16	1, 2, 3, 11, 12, 6, 15	dochsatshp 39712	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) ∈ 𝑌)
17	10, 16	eqeltrrd 2838	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3894  {csn 4572  ‘cfv 6473  Basecbs 17001  0_gc0g 17239  LSpanclspn 20331  LSAtomsclsa 37234  LSHypclsh 37235  HLchlt 37610  LHypclh 38245  DVecHcdvh 39339  ocHcoch 39608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-riotaBAD 37213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-tpos 8104  df-undef 8151  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-0g 17241  df-proset 18102  df-poset 18120  df-plt 18137  df-lub 18153  df-glb 18154  df-join 18155  df-meet 18156  df-p0 18232  df-p1 18233  df-lat 18239  df-clat 18306  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-subg 18840  df-cntz 19011  df-lsm 19329  df-cmn 19475  df-abl 19476  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-oppr 19949  df-dvdsr 19970  df-unit 19971  df-invr 20001  df-dvr 20012  df-drng 20087  df-lmod 20223  df-lss 20292  df-lsp 20332  df-lvec 20463  df-lsatoms 37236  df-lshyp 37237  df-oposet 37436  df-ol 37438  df-oml 37439  df-covers 37526  df-ats 37527  df-atl 37558  df-cvlat 37582  df-hlat 37611  df-llines 37759  df-lplanes 37760  df-lvols 37761  df-lines 37762  df-psubsp 37764  df-pmap 37765  df-padd 38057  df-lhyp 38249  df-laut 38250  df-ldil 38365  df-ltrn 38366  df-trl 38420  df-tgrp 39004  df-tendo 39016  df-edring 39018  df-dveca 39264  df-disoa 39290  df-dvech 39340  df-dib 39400  df-dic 39434  df-dih 39490  df-doch 39609  df-djh 39656

This theorem is referenced by:  dochexmidat  39720  dochsnkr2  39734  dochflcl  39736  dochfl1  39737  lcfl9a  39766  lclkrlem2a  39768  lcfrlem20  39823  lcfrlem25  39828  lcfrlem35  39838  hdmaplkr  40174