Theorem dochsnshp 42653

Description: The orthocomplement of a nonzero singleton is a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsnshp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnshp.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnshp.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnshp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnshp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochsnshp.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochsnshp.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsnshp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochsnshp	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ 𝑌)

Proof of Theorem dochsnshp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsnshp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsnshp.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsnshp.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochsnshp.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
6		dochsnshp.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		dochsnshp.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8	7	eldifad 4054	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9	8	snssd 4747	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	dochocsp 42579	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
11		eqid 2763	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
12		dochsnshp.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
13		dochsnshp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14	1, 2, 6	dvhlmod 42310	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
15	4, 5, 13, 11, 14, 7	lsatlspsn 40193	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
16	1, 2, 3, 11, 12, 6, 15	dochsatshp 42651	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) ∈ 𝑌)
17	10, 16	eqeltrrd 2865	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ 𝑌)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   = wceq 1569   ∈ wcel 2146   ∖ cdif 4048  {csn 4588  ‘cfv 6547  Basecbs 17402  0_gc0g 17625  LSpanclspn 21261  LSAtomsclsa 40174  LSHypclsh 40175  HLchlt 40550  LHypclh 41184  DVecHcdvh 42278  ocHcoch 42547

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1944  ax-6 2001  ax-7 2042  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2196  ax-12 2215  ax-ext 2735  ax-rep 5235  ax-sep 5252  ax-nul 5263  ax-pow 5331  ax-pr 5395  ax-un 7761  ax-cnex 11269  ax-resscn 11270  ax-1cn 11271  ax-icn 11272  ax-addcl 11273  ax-addrcl 11274  ax-mulcl 11275  ax-mulrcl 11276  ax-mulcom 11277  ax-addass 11278  ax-mulass 11279  ax-distr 11280  ax-i2m1 11281  ax-1ne0 11282  ax-1rid 11283  ax-rnegex 11284  ax-rrecex 11285  ax-cnre 11286  ax-pre-lttri 11287  ax-pre-lttrn 11288  ax-pre-ltadd 11289  ax-pre-mulgt0 11290  ax-riotaBAD 40153

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2101  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-tp 4593  df-op 4839  df-uni 4871  df-int 4911  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5107  df-opab 5171  df-mpt 5190  df-tr 5216  df-id 5550  df-eprel 5555  df-po 5563  df-so 5564  df-fr 5608  df-we 5610  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-pred 6311  df-ord 6372  df-on 6373  df-lim 6374  df-suc 6375  df-iota 6501  df-fun 6549  df-fn 6550  df-f 6551  df-f1 6552  df-fo 6553  df-f1o 6554  df-fv 6555  df-riota 7387  df-ov 7433  df-oprab 7434  df-mpo 7435  df-om 7888  df-1st 8011  df-2nd 8012  df-tpos 8257  df-undef 8304  df-frecs 8313  df-wrecs 8344  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8490  df-er 8731  df-map 8863  df-en 8988  df-dom 8989  df-sdom 8990  df-fin 8991  df-pnf 11358  df-mnf 11359  df-xr 11360  df-ltxr 11361  df-le 11362  df-sub 11556  df-neg 11557  df-nn 12349  df-2 12418  df-3 12419  df-4 12420  df-5 12421  df-6 12422  df-n0 12620  df-z 12707  df-uz 12979  df-fz 13653  df-struct 17340  df-sets 17357  df-slot 17375  df-ndx 17387  df-base 17403  df-ress 17424  df-plusg 17456  df-mulr 17457  df-sca 17459  df-vsca 17460  df-0g 17627  df-proset 18483  df-poset 18502  df-plt 18517  df-lub 18533  df-glb 18534  df-join 18535  df-meet 18536  df-p0 18612  df-p1 18613  df-lat 18621  df-clat 18688  df-mgm 18831  df-sgrp 18923  df-mnd 18939  df-submnd 18994  df-grp 19162  df-minusg 19163  df-sbg 19164  df-subg 19348  df-cntz 19546  df-lsm 19865  df-cmn 20011  df-abl 20012  df-mgp 20376  df-rng 20390  df-ur 20423  df-ring 20476  df-oppr 20582  df-dvdsr 20602  df-unit 20603  df-invr 20633  df-dvr 20646  df-drng 20997  df-lmod 21152  df-lss 21222  df-lsp 21262  df-lvec 21393  df-lsatoms 40176  df-lshyp 40177  df-oposet 40376  df-ol 40378  df-oml 40379  df-covers 40466  df-ats 40467  df-atl 40498  df-cvlat 40522  df-hlat 40551  df-llines 40698  df-lplanes 40699  df-lvols 40700  df-lines 40701  df-psubsp 40703  df-pmap 40704  df-padd 40996  df-lhyp 41188  df-laut 41189  df-ldil 41304  df-ltrn 41305  df-trl 41359  df-tgrp 41943  df-tendo 41955  df-edring 41957  df-dveca 42203  df-disoa 42229  df-dvech 42279  df-dib 42339  df-dic 42373  df-dih 42429  df-doch 42548  df-djh 42595

This theorem is used by:  dochexmidat  42659  dochsnkr2  42673  dochflcl  42675  dochfl1  42676  lcfl9a  42705  lclkrlem2a  42707  lcfrlem20  42762  lcfrlem25  42767  lcfrlem35  42777  hdmaplkr  43113