Theorem dochsnshp 37521

Description: The orthocomplement of a nonzero singleton is a hyperplane. (Contributed by NM, 3-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
dochsnshp.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
dochsnshp.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnshp.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
dochsnshp.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
dochsnshp.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
dochsnshp.y	⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
dochsnshp.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
dochsnshp.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))

Assertion

Ref	Expression
dochsnshp	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ 𝑌)

Proof of Theorem dochsnshp

Step	Hyp	Ref	Expression
1		dochsnshp.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
2		dochsnshp.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
3		dochsnshp.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		dochsnshp.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
5		eqid 2825	. . 3 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
6		dochsnshp.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7		dochsnshp.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
8	7	eldifad 3810	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
9	8	snssd 4558	. . 3 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
10	1, 2, 3, 4, 5, 6, 9	dochocsp 37447	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
11		eqid 2825	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
12		dochsnshp.y	. . 3 ⊢ 𝑌 = (LSHyp‘𝑈)
13		dochsnshp.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14	1, 2, 6	dvhlmod 37178	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
15	4, 5, 13, 11, 14, 7	lsatlspsn 35061	. . 3 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
16	1, 2, 3, 11, 12, 6, 15	dochsatshp 37519	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) ∈ 𝑌)
17	10, 16	eqeltrrd 2907	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ 𝑌)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   = wceq 1656   ∈ wcel 2164   ∖ cdif 3795  {csn 4397  ‘cfv 6123  Basecbs 16222  0_gc0g 16453  LSpanclspn 19330  LSAtomsclsa 35042  LSHypclsh 35043  HLchlt 35418  LHypclh 36052  DVecHcdvh 37146  ocHcoch 37415

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-rep 4994  ax-sep 5005  ax-nul 5013  ax-pow 5065  ax-pr 5127  ax-un 7209  ax-cnex 10308  ax-resscn 10309  ax-1cn 10310  ax-icn 10311  ax-addcl 10312  ax-addrcl 10313  ax-mulcl 10314  ax-mulrcl 10315  ax-mulcom 10316  ax-addass 10317  ax-mulass 10318  ax-distr 10319  ax-i2m1 10320  ax-1ne0 10321  ax-1rid 10322  ax-rnegex 10323  ax-rrecex 10324  ax-cnre 10325  ax-pre-lttri 10326  ax-pre-lttrn 10327  ax-pre-ltadd 10328  ax-pre-mulgt0 10329  ax-riotaBAD 35021

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-fal 1670  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-reu 3124  df-rmo 3125  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-pss 3814  df-nul 4145  df-if 4307  df-pw 4380  df-sn 4398  df-pr 4400  df-tp 4402  df-op 4404  df-uni 4659  df-int 4698  df-iun 4742  df-iin 4743  df-br 4874  df-opab 4936  df-mpt 4953  df-tr 4976  df-id 5250  df-eprel 5255  df-po 5263  df-so 5264  df-fr 5301  df-we 5303  df-xp 5348  df-rel 5349  df-cnv 5350  df-co 5351  df-dm 5352  df-rn 5353  df-res 5354  df-ima 5355  df-pred 5920  df-ord 5966  df-on 5967  df-lim 5968  df-suc 5969  df-iota 6086  df-fun 6125  df-fn 6126  df-f 6127  df-f1 6128  df-fo 6129  df-f1o 6130  df-fv 6131  df-riota 6866  df-ov 6908  df-oprab 6909  df-mpt2 6910  df-om 7327  df-1st 7428  df-2nd 7429  df-tpos 7617  df-undef 7664  df-wrecs 7672  df-recs 7734  df-rdg 7772  df-1o 7826  df-oadd 7830  df-er 8009  df-map 8124  df-en 8223  df-dom 8224  df-sdom 8225  df-fin 8226  df-pnf 10393  df-mnf 10394  df-xr 10395  df-ltxr 10396  df-le 10397  df-sub 10587  df-neg 10588  df-nn 11351  df-2 11414  df-3 11415  df-4 11416  df-5 11417  df-6 11418  df-n0 11619  df-z 11705  df-uz 11969  df-fz 12620  df-struct 16224  df-ndx 16225  df-slot 16226  df-base 16228  df-sets 16229  df-ress 16230  df-plusg 16318  df-mulr 16319  df-sca 16321  df-vsca 16322  df-0g 16455  df-proset 17281  df-poset 17299  df-plt 17311  df-lub 17327  df-glb 17328  df-join 17329  df-meet 17330  df-p0 17392  df-p1 17393  df-lat 17399  df-clat 17461  df-mgm 17595  df-sgrp 17637  df-mnd 17648  df-submnd 17689  df-grp 17779  df-minusg 17780  df-sbg 17781  df-subg 17942  df-cntz 18100  df-lsm 18402  df-cmn 18548  df-abl 18549  df-mgp 18844  df-ur 18856  df-ring 18903  df-oppr 18977  df-dvdsr 18995  df-unit 18996  df-invr 19026  df-dvr 19037  df-drng 19105  df-lmod 19221  df-lss 19289  df-lsp 19331  df-lvec 19462  df-lsatoms 35044  df-lshyp 35045  df-oposet 35244  df-ol 35246  df-oml 35247  df-covers 35334  df-ats 35335  df-atl 35366  df-cvlat 35390  df-hlat 35419  df-llines 35566  df-lplanes 35567  df-lvols 35568  df-lines 35569  df-psubsp 35571  df-pmap 35572  df-padd 35864  df-lhyp 36056  df-laut 36057  df-ldil 36172  df-ltrn 36173  df-trl 36227  df-tgrp 36811  df-tendo 36823  df-edring 36825  df-dveca 37071  df-disoa 37097  df-dvech 37147  df-dib 37207  df-dic 37241  df-dih 37297  df-doch 37416  df-djh 37463

This theorem is referenced by:  dochexmidat  37527  dochsnkr2  37541  dochflcl  37543  dochfl1  37544  lcfl9a  37573  lclkrlem2a  37575  lcfrlem20  37630  lcfrlem25  37635  lcfrlem35  37645  hdmaplkr  37981