Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem20 39967
Description: Lemma for mapdpg 39982. Baer p. 45, line 8: "...so that (Fy)*=Gy'." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.s βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.c 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
mapdpglem.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
mapdpglem.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
mapdpglem3.te (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem3.b 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
mapdpglem3.t Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
mapdpglem3.g (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0gβ€˜π‘ˆ)
mapdpglem.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
mapdpglem4.jt (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))
mapdpglem4.z 0 = (0gβ€˜π΄)
mapdpglem4.g4 (πœ‘ β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
mapdpglem4.z4 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))
mapdpglem4.t4 (πœ‘ β†’ 𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  𝑄)
mapdpglem12.yn (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝑄)
mapdpglem17.ep 𝐸 = (((invrβ€˜π΄)β€˜π‘”) Β· 𝑧)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem20 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐸}))
Distinct variable groups:   𝑑, βˆ’   𝑑,𝐢   𝑑,𝐽   𝑑,𝑀   𝑑,𝑁   𝑑,𝑋   𝑑,π‘Œ   𝐡,𝑔   𝑧,𝑔,𝐢   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   Β· ,𝑔,𝑧   𝑔,π‘Œ,𝑧,𝑑
Allowed substitution hints:   πœ‘(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐡(𝑧,𝑑)   βŠ• (𝑧,𝑑,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑑,𝑔)   𝑅(𝑑)   Β· (𝑑)   π‘ˆ(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑑)   𝐺(𝑑)   𝐻(𝑧,𝑑,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑑,𝑔)   βˆ’ (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑑,𝑔)   π‘Š(𝑧,𝑑,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑑,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem20
StepHypRef Expression
1 eqid 2736 . 2 (0gβ€˜πΆ) = (0gβ€˜πΆ)
2 mapdpglem2.j . 2 𝐽 = (LSpanβ€˜πΆ)
3 eqid 2736 . 2 (LSAtomsβ€˜πΆ) = (LSAtomsβ€˜πΆ)
4 mapdpglem.h . . 3 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 mapdpglem.c . . 3 𝐢 = ((LCDualβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 mapdpglem.k . . 3 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
74, 5, 6lcdlvec 39867 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐢 ∈ LVec)
8 mapdpglem.m . . 3 𝑀 = ((mapdβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
9 mapdpglem.u . . 3 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
10 eqid 2736 . . 3 (LSAtomsβ€˜π‘ˆ) = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
11 mapdpglem.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
12 mapdpglem.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
13 mapdpglem4.q . . . 4 𝑄 = (0gβ€˜π‘ˆ)
144, 9, 6dvhlmod 39386 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
15 mapdpglem.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
16 mapdpglem12.yn . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ β‰  𝑄)
17 eldifsn 4734 . . . . 5 (π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑄}) ↔ (π‘Œ ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ β‰  𝑄))
1815, 16, 17sylanbrc 583 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– {𝑄}))
1911, 12, 13, 10, 14, 18lsatlspsn 37268 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ (LSAtomsβ€˜π‘ˆ))
204, 8, 9, 10, 5, 3, 6, 19mapdat 39943 . 2 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) ∈ (LSAtomsβ€˜πΆ))
21 mapdpglem.s . . 3 βˆ’ = (-gβ€˜π‘ˆ)
22 mapdpglem.x . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
23 mapdpglem1.p . . 3 βŠ• = (LSSumβ€˜πΆ)
24 mapdpglem3.f . . 3 𝐹 = (Baseβ€˜πΆ)
25 mapdpglem3.te . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑑 ∈ ((π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) βŠ• (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ}))))
26 mapdpglem3.a . . 3 𝐴 = (Scalarβ€˜π‘ˆ)
27 mapdpglem3.b . . 3 𝐡 = (Baseβ€˜π΄)
28 mapdpglem3.t . . 3 Β· = ( ·𝑠 β€˜πΆ)
29 mapdpglem3.r . . 3 𝑅 = (-gβ€˜πΆ)
30 mapdpglem3.g . . 3 (πœ‘ β†’ 𝐺 ∈ 𝐹)
31 mapdpglem3.e . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{𝑋})) = (π½β€˜{𝐺}))
32 mapdpglem.ne . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
33 mapdpglem4.jt . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{(𝑋 βˆ’ π‘Œ)})) = (π½β€˜{𝑑}))
34 mapdpglem4.z . . 3 0 = (0gβ€˜π΄)
35 mapdpglem4.g4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑔 ∈ 𝐡)
36 mapdpglem4.z4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑧 ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))
37 mapdpglem4.t4 . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑑 = ((𝑔 Β· 𝐺)𝑅𝑧))
38 mapdpglem4.xn . . 3 (πœ‘ β†’ 𝑋 β‰  𝑄)
39 mapdpglem17.ep . . 3 𝐸 = (((invrβ€˜π΄)β€˜π‘”) Β· 𝑧)
404, 8, 9, 11, 21, 12, 5, 6, 22, 15, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 16, 39mapdpglem19 39966 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 ∈ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})))
414, 8, 9, 11, 21, 12, 5, 6, 22, 15, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 16, 39mapdpglem18 39965 . 2 (πœ‘ β†’ 𝐸 β‰  (0gβ€˜πΆ))
421, 2, 3, 7, 20, 40, 41lsatel 37280 1 (πœ‘ β†’ (π‘€β€˜(π‘β€˜{π‘Œ})) = (π½β€˜{𝐸}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3895  {csn 4573  β€˜cfv 6479  (class class class)co 7337  Basecbs 17009  Scalarcsca 17062   ·𝑠 cvsca 17063  0gc0g 17247  -gcsg 18675  LSSumclsm 19335  invrcinvr 20008  LSpanclspn 20339  LSAtomsclsa 37249  HLchlt 37625  LHypclh 38260  DVecHcdvh 39354  LCDualclcd 39862  mapdcmpd 39900
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5229  ax-sep 5243  ax-nul 5250  ax-pow 5308  ax-pr 5372  ax-un 7650  ax-cnex 11028  ax-resscn 11029  ax-1cn 11030  ax-icn 11031  ax-addcl 11032  ax-addrcl 11033  ax-mulcl 11034  ax-mulrcl 11035  ax-mulcom 11036  ax-addass 11037  ax-mulass 11038  ax-distr 11039  ax-i2m1 11040  ax-1ne0 11041  ax-1rid 11042  ax-rnegex 11043  ax-rrecex 11044  ax-cnre 11045  ax-pre-lttri 11046  ax-pre-lttrn 11047  ax-pre-ltadd 11048  ax-pre-mulgt0 11049  ax-riotaBAD 37228
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3728  df-csb 3844  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3917  df-nul 4270  df-if 4474  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-tp 4578  df-op 4580  df-uni 4853  df-int 4895  df-iun 4943  df-iin 4944  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5176  df-tr 5210  df-id 5518  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5575  df-we 5577  df-xp 5626  df-rel 5627  df-cnv 5628  df-co 5629  df-dm 5630  df-rn 5631  df-res 5632  df-ima 5633  df-pred 6238  df-ord 6305  df-on 6306  df-lim 6307  df-suc 6308  df-iota 6431  df-fun 6481  df-fn 6482  df-f 6483  df-f1 6484  df-fo 6485  df-f1o 6486  df-fv 6487  df-riota 7293  df-ov 7340  df-oprab 7341  df-mpo 7342  df-of 7595  df-om 7781  df-1st 7899  df-2nd 7900  df-tpos 8112  df-undef 8159  df-frecs 8167  df-wrecs 8198  df-recs 8272  df-rdg 8311  df-1o 8367  df-er 8569  df-map 8688  df-en 8805  df-dom 8806  df-sdom 8807  df-fin 8808  df-pnf 11112  df-mnf 11113  df-xr 11114  df-ltxr 11115  df-le 11116  df-sub 11308  df-neg 11309  df-nn 12075  df-2 12137  df-3 12138  df-4 12139  df-5 12140  df-6 12141  df-n0 12335  df-z 12421  df-uz 12684  df-fz 13341  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-0g 17249  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-cntz 19019  df-oppg 19046  df-lsm 19337  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19816  df-ur 19833  df-ring 19880  df-oppr 19957  df-dvdsr 19978  df-unit 19979  df-invr 20009  df-dvr 20020  df-drng 20095  df-lmod 20231  df-lss 20300  df-lsp 20340  df-lvec 20471  df-lsatoms 37251  df-lshyp 37252  df-lcv 37294  df-lfl 37333  df-lkr 37361  df-ldual 37399  df-oposet 37451  df-ol 37453  df-oml 37454  df-covers 37541  df-ats 37542  df-atl 37573  df-cvlat 37597  df-hlat 37626  df-llines 37774  df-lplanes 37775  df-lvols 37776  df-lines 37777  df-psubsp 37779  df-pmap 37780  df-padd 38072  df-lhyp 38264  df-laut 38265  df-ldil 38380  df-ltrn 38381  df-trl 38435  df-tgrp 39019  df-tendo 39031  df-edring 39033  df-dveca 39279  df-disoa 39305  df-dvech 39355  df-dib 39415  df-dic 39449  df-dih 39505  df-doch 39624  df-djh 39671  df-lcdual 39863  df-mapd 39901
This theorem is referenced by:  mapdpglem23  39970
  Copyright terms: Public domain W3C validator