Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem20 41650
Description: Lemma for mapdpg 41665. Baer p. 45, line 8: "...so that (Fy)*=Gy'." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem17.ep 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem20 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem20
StepHypRef Expression
1 eqid 2740 . 2 (0g𝐶) = (0g𝐶)
2 mapdpglem2.j . 2 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
3 eqid 2740 . 2 (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
4 mapdpglem.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 mapdpglem.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdpglem.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74, 5, 6lcdlvec 41550 . 2 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
8 mapdpglem.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdpglem.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2740 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
11 mapdpglem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 mapdpglem.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13 mapdpglem4.q . . . 4 𝑄 = (0g𝑈)
144, 9, 6dvhlmod 41069 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
15 mapdpglem.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
16 mapdpglem12.yn . . . . 5 (𝜑𝑌𝑄)
17 eldifsn 4811 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {𝑄}) ↔ (𝑌𝑉𝑌𝑄))
1815, 16, 17sylanbrc 582 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {𝑄}))
1911, 12, 13, 10, 14, 18lsatlspsn 38951 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
204, 8, 9, 10, 5, 3, 6, 19mapdat 41626 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
21 mapdpglem.s . . 3 = (-g𝑈)
22 mapdpglem.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
23 mapdpglem1.p . . 3 = (LSSum‘𝐶)
24 mapdpglem3.f . . 3 𝐹 = (Base‘𝐶)
25 mapdpglem3.te . . 3 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
26 mapdpglem3.a . . 3 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
27 mapdpglem3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
28 mapdpglem3.t . . 3 · = ( ·𝑠𝐶)
29 mapdpglem3.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
30 mapdpglem3.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
31 mapdpglem3.e . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
32 mapdpglem.ne . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
33 mapdpglem4.jt . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
34 mapdpglem4.z . . 3 0 = (0g𝐴)
35 mapdpglem4.g4 . . 3 (𝜑𝑔𝐵)
36 mapdpglem4.z4 . . 3 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
37 mapdpglem4.t4 . . 3 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
38 mapdpglem4.xn . . 3 (𝜑𝑋𝑄)
39 mapdpglem17.ep . . 3 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
404, 8, 9, 11, 21, 12, 5, 6, 22, 15, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 16, 39mapdpglem19 41649 . 2 (𝜑𝐸 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
414, 8, 9, 11, 21, 12, 5, 6, 22, 15, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 16, 39mapdpglem18 41648 . 2 (𝜑𝐸 ≠ (0g𝐶))
421, 2, 3, 7, 20, 40, 41lsatel 38963 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 395   = wceq 1537  wcel 2108  wne 2946  cdif 3973  {csn 4648  cfv 6575  (class class class)co 7450  Basecbs 17260  Scalarcsca 17316   ·𝑠 cvsca 17317  0gc0g 17501  -gcsg 18977  LSSumclsm 19678  invrcinvr 20415  LSpanclspn 20994  LSAtomsclsa 38932  HLchlt 39308  LHypclh 39943  DVecHcdvh 41037  LCDualclcd 41545  mapdcmpd 41583
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7772  ax-cnex 11242  ax-resscn 11243  ax-1cn 11244  ax-icn 11245  ax-addcl 11246  ax-addrcl 11247  ax-mulcl 11248  ax-mulrcl 11249  ax-mulcom 11250  ax-addass 11251  ax-mulass 11252  ax-distr 11253  ax-i2m1 11254  ax-1ne0 11255  ax-1rid 11256  ax-rnegex 11257  ax-rrecex 11258  ax-cnre 11259  ax-pre-lttri 11260  ax-pre-lttrn 11261  ax-pre-ltadd 11262  ax-pre-mulgt0 11263  ax-riotaBAD 38911
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-pss 3996  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4971  df-iun 5017  df-iin 5018  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-tr 5284  df-id 5593  df-eprel 5599  df-po 5607  df-so 5608  df-fr 5652  df-we 5654  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-pred 6334  df-ord 6400  df-on 6401  df-lim 6402  df-suc 6403  df-iota 6527  df-fun 6577  df-fn 6578  df-f 6579  df-f1 6580  df-fo 6581  df-f1o 6582  df-fv 6583  df-riota 7406  df-ov 7453  df-oprab 7454  df-mpo 7455  df-of 7716  df-om 7906  df-1st 8032  df-2nd 8033  df-tpos 8269  df-undef 8316  df-frecs 8324  df-wrecs 8355  df-recs 8429  df-rdg 8468  df-1o 8524  df-2o 8525  df-er 8765  df-map 8888  df-en 9006  df-dom 9007  df-sdom 9008  df-fin 9009  df-pnf 11328  df-mnf 11329  df-xr 11330  df-ltxr 11331  df-le 11332  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12296  df-2 12358  df-3 12359  df-4 12360  df-5 12361  df-6 12362  df-n0 12556  df-z 12642  df-uz 12906  df-fz 13570  df-struct 17196  df-sets 17213  df-slot 17231  df-ndx 17243  df-base 17261  df-ress 17290  df-plusg 17326  df-mulr 17327  df-sca 17329  df-vsca 17330  df-0g 17503  df-mre 17646  df-mrc 17647  df-acs 17649  df-proset 18367  df-poset 18385  df-plt 18402  df-lub 18418  df-glb 18419  df-join 18420  df-meet 18421  df-p0 18497  df-p1 18498  df-lat 18504  df-clat 18571  df-mgm 18680  df-sgrp 18759  df-mnd 18775  df-submnd 18821  df-grp 18978  df-minusg 18979  df-sbg 18980  df-subg 19165  df-cntz 19359  df-oppg 19388  df-lsm 19680  df-cmn 19826  df-abl 19827  df-mgp 20164  df-rng 20182  df-ur 20211  df-ring 20264  df-oppr 20362  df-dvdsr 20385  df-unit 20386  df-invr 20416  df-dvr 20429  df-nzr 20541  df-rlreg 20718  df-domn 20719  df-drng 20755  df-lmod 20884  df-lss 20955  df-lsp 20995  df-lvec 21127  df-lsatoms 38934  df-lshyp 38935  df-lcv 38977  df-lfl 39016  df-lkr 39044  df-ldual 39082  df-oposet 39134  df-ol 39136  df-oml 39137  df-covers 39224  df-ats 39225  df-atl 39256  df-cvlat 39280  df-hlat 39309  df-llines 39457  df-lplanes 39458  df-lvols 39459  df-lines 39460  df-psubsp 39462  df-pmap 39463  df-padd 39755  df-lhyp 39947  df-laut 39948  df-ldil 40063  df-ltrn 40064  df-trl 40118  df-tgrp 40702  df-tendo 40714  df-edring 40716  df-dveca 40962  df-disoa 40988  df-dvech 41038  df-dib 41098  df-dic 41132  df-dih 41188  df-doch 41307  df-djh 41354  df-lcdual 41546  df-mapd 41584
This theorem is referenced by:  mapdpglem23  41653
  Copyright terms: Public domain W3C validator