Theorem mapdpglem20 41597

Description: Lemma for mapdpg 41612. Baer p. 45, line 8: "...so that (Fy)*=Gy'." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem20	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸}))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
2		mapdpglem2.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
3		eqid 2734	. 2 ⊢ (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
4		mapdpglem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		mapdpglem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdpglem.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	lcdlvec 41497	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
8		mapdpglem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdpglem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
11		mapdpglem.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
12		mapdpglem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13		mapdpglem4.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
14	4, 9, 6	dvhlmod 41016	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
15		mapdpglem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		mapdpglem12.yn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
17		eldifsn 4811	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {𝑄}) ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 𝑄))
18	15, 16, 17	sylanbrc 582	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {𝑄}))
19	11, 12, 13, 10, 14, 18	lsatlspsn 38898	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
20	4, 8, 9, 10, 5, 3, 6, 19	mapdat 41573	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
21		mapdpglem.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
22		mapdpglem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		mapdpglem1.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
24		mapdpglem3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
25		mapdpglem3.te	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
26		mapdpglem3.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
27		mapdpglem3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
28		mapdpglem3.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
29		mapdpglem3.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
30		mapdpglem3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
31		mapdpglem3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
32		mapdpglem.ne	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
33		mapdpglem4.jt	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
34		mapdpglem4.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
35		mapdpglem4.g4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
36		mapdpglem4.z4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
37		mapdpglem4.t4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
38		mapdpglem4.xn	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
39		mapdpglem17.ep	. . 3 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
40	4, 8, 9, 11, 21, 12, 5, 6, 22, 15, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 16, 39	mapdpglem19 41596	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
41	4, 8, 9, 11, 21, 12, 5, 6, 22, 15, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 16, 39	mapdpglem18 41595	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ (0g‘𝐶))
42	1, 2, 3, 7, 20, 40, 41	lsatel 38910	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1537   ∈ wcel 2103   ≠ wne 2942   ∖ cdif 3967  {csn 4648  ‘cfv 6572  (class class class)co 7445  Basecbs 17253  Scalarcsca 17309   ·_𝑠 cvsca 17310  0_gc0g 17494  -_gcsg 18970  LSSumclsm 19671  inv_rcinvr 20408  LSpanclspn 20987  LSAtomsclsa 38879  HLchlt 39255  LHypclh 39890  DVecHcdvh 40984  LCDualclcd 41492  mapdcmpd 41530

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2105  ax-9 2113  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2173  ax-ext 2705  ax-rep 5306  ax-sep 5320  ax-nul 5327  ax-pow 5386  ax-pr 5450  ax-un 7766  ax-cnex 11236  ax-resscn 11237  ax-1cn 11238  ax-icn 11239  ax-addcl 11240  ax-addrcl 11241  ax-mulcl 11242  ax-mulrcl 11243  ax-mulcom 11244  ax-addass 11245  ax-mulass 11246  ax-distr 11247  ax-i2m1 11248  ax-1ne0 11249  ax-1rid 11250  ax-rnegex 11251  ax-rrecex 11252  ax-cnre 11253  ax-pre-lttri 11254  ax-pre-lttrn 11255  ax-pre-ltadd 11256  ax-pre-mulgt0 11257  ax-riotaBAD 38858

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2726  df-clel 2813  df-nfc 2890  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rmo 3383  df-reu 3384  df-rab 3439  df-v 3484  df-sbc 3799  df-csb 3916  df-dif 3973  df-un 3975  df-in 3977  df-ss 3987  df-pss 3990  df-nul 4348  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-tp 4653  df-op 4655  df-uni 4932  df-int 4973  df-iun 5021  df-iin 5022  df-br 5170  df-opab 5232  df-mpt 5253  df-tr 5287  df-id 5597  df-eprel 5603  df-po 5611  df-so 5612  df-fr 5654  df-we 5656  df-xp 5705  df-rel 5706  df-cnv 5707  df-co 5708  df-dm 5709  df-rn 5710  df-res 5711  df-ima 5712  df-pred 6331  df-ord 6397  df-on 6398  df-lim 6399  df-suc 6400  df-iota 6524  df-fun 6574  df-fn 6575  df-f 6576  df-f1 6577  df-fo 6578  df-f1o 6579  df-fv 6580  df-riota 7401  df-ov 7448  df-oprab 7449  df-mpo 7450  df-of 7710  df-om 7900  df-1st 8026  df-2nd 8027  df-tpos 8263  df-undef 8310  df-frecs 8318  df-wrecs 8349  df-recs 8423  df-rdg 8462  df-1o 8518  df-2o 8519  df-er 8759  df-map 8882  df-en 9000  df-dom 9001  df-sdom 9002  df-fin 9003  df-pnf 11322  df-mnf 11323  df-xr 11324  df-ltxr 11325  df-le 11326  df-sub 11518  df-neg 11519  df-nn 12290  df-2 12352  df-3 12353  df-4 12354  df-5 12355  df-6 12356  df-n0 12550  df-z 12636  df-uz 12900  df-fz 13564  df-struct 17189  df-sets 17206  df-slot 17224  df-ndx 17236  df-base 17254  df-ress 17283  df-plusg 17319  df-mulr 17320  df-sca 17322  df-vsca 17323  df-0g 17496  df-mre 17639  df-mrc 17640  df-acs 17642  df-proset 18360  df-poset 18378  df-plt 18395  df-lub 18411  df-glb 18412  df-join 18413  df-meet 18414  df-p0 18490  df-p1 18491  df-lat 18497  df-clat 18564  df-mgm 18673  df-sgrp 18752  df-mnd 18768  df-submnd 18814  df-grp 18971  df-minusg 18972  df-sbg 18973  df-subg 19158  df-cntz 19352  df-oppg 19381  df-lsm 19673  df-cmn 19819  df-abl 19820  df-mgp 20157  df-rng 20175  df-ur 20204  df-ring 20257  df-oppr 20355  df-dvdsr 20378  df-unit 20379  df-invr 20409  df-dvr 20422  df-nzr 20534  df-rlreg 20711  df-domn 20712  df-drng 20748  df-lmod 20877  df-lss 20948  df-lsp 20988  df-lvec 21120  df-lsatoms 38881  df-lshyp 38882  df-lcv 38924  df-lfl 38963  df-lkr 38991  df-ldual 39029  df-oposet 39081  df-ol 39083  df-oml 39084  df-covers 39171  df-ats 39172  df-atl 39203  df-cvlat 39227  df-hlat 39256  df-llines 39404  df-lplanes 39405  df-lvols 39406  df-lines 39407  df-psubsp 39409  df-pmap 39410  df-padd 39702  df-lhyp 39894  df-laut 39895  df-ldil 40010  df-ltrn 40011  df-trl 40065  df-tgrp 40649  df-tendo 40661  df-edring 40663  df-dveca 40909  df-disoa 40935  df-dvech 40985  df-dib 41045  df-dic 41079  df-dih 41135  df-doch 41254  df-djh 41301  df-lcdual 41493  df-mapd 41531

This theorem is referenced by:  mapdpglem23  41600