Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdpglem20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdpglem20 38707
Description: Lemma for mapdpg 38722. Baer p. 45, line 8: "...so that (Fy)*=Gy'." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdpglem.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s = (-g𝑈)
mapdpglem.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdpglem.x (𝜑𝑋𝑉)
mapdpglem.y (𝜑𝑌𝑉)
mapdpglem1.p = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t · = ( ·𝑠𝐶)
mapdpglem3.r 𝑅 = (-g𝐶)
mapdpglem3.g (𝜑𝐺𝐹)
mapdpglem3.e (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q 𝑄 = (0g𝑈)
mapdpglem.ne (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z 0 = (0g𝐴)
mapdpglem4.g4 (𝜑𝑔𝐵)
mapdpglem4.z4 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn (𝜑𝑋𝑄)
mapdpglem12.yn (𝜑𝑌𝑄)
mapdpglem17.ep 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
Assertion
Ref Expression
mapdpglem20 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸}))
Distinct variable groups:   𝑡,   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem20
StepHypRef Expression
1 eqid 2818 . 2 (0g𝐶) = (0g𝐶)
2 mapdpglem2.j . 2 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
3 eqid 2818 . 2 (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
4 mapdpglem.h . . 3 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5 mapdpglem.c . . 3 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6 mapdpglem.k . . 3 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
74, 5, 6lcdlvec 38607 . 2 (𝜑𝐶 ∈ LVec)
8 mapdpglem.m . . 3 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9 mapdpglem.u . . 3 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10 eqid 2818 . . 3 (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
11 mapdpglem.v . . . 4 𝑉 = (Base‘𝑈)
12 mapdpglem.n . . . 4 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13 mapdpglem4.q . . . 4 𝑄 = (0g𝑈)
144, 9, 6dvhlmod 38126 . . . 4 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
15 mapdpglem.y . . . . 5 (𝜑𝑌𝑉)
16 mapdpglem12.yn . . . . 5 (𝜑𝑌𝑄)
17 eldifsn 4711 . . . . 5 (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {𝑄}) ↔ (𝑌𝑉𝑌𝑄))
1815, 16, 17sylanbrc 583 . . . 4 (𝜑𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {𝑄}))
1911, 12, 13, 10, 14, 18lsatlspsn 36009 . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
204, 8, 9, 10, 5, 3, 6, 19mapdat 38683 . 2 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
21 mapdpglem.s . . 3 = (-g𝑈)
22 mapdpglem.x . . 3 (𝜑𝑋𝑉)
23 mapdpglem1.p . . 3 = (LSSum‘𝐶)
24 mapdpglem3.f . . 3 𝐹 = (Base‘𝐶)
25 mapdpglem3.te . . 3 (𝜑𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
26 mapdpglem3.a . . 3 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
27 mapdpglem3.b . . 3 𝐵 = (Base‘𝐴)
28 mapdpglem3.t . . 3 · = ( ·𝑠𝐶)
29 mapdpglem3.r . . 3 𝑅 = (-g𝐶)
30 mapdpglem3.g . . 3 (𝜑𝐺𝐹)
31 mapdpglem3.e . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
32 mapdpglem.ne . . 3 (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
33 mapdpglem4.jt . . 3 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
34 mapdpglem4.z . . 3 0 = (0g𝐴)
35 mapdpglem4.g4 . . 3 (𝜑𝑔𝐵)
36 mapdpglem4.z4 . . 3 (𝜑𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
37 mapdpglem4.t4 . . 3 (𝜑𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
38 mapdpglem4.xn . . 3 (𝜑𝑋𝑄)
39 mapdpglem17.ep . . 3 𝐸 = (((invr𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
404, 8, 9, 11, 21, 12, 5, 6, 22, 15, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 16, 39mapdpglem19 38706 . 2 (𝜑𝐸 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
414, 8, 9, 11, 21, 12, 5, 6, 22, 15, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 16, 39mapdpglem18 38705 . 2 (𝜑𝐸 ≠ (0g𝐶))
421, 2, 3, 7, 20, 40, 41lsatel 36021 1 (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸}))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  {csn 4557  cfv 6348  (class class class)co 7145  Basecbs 16471  Scalarcsca 16556   ·𝑠 cvsca 16557  0gc0g 16701  -gcsg 18043  LSSumclsm 18688  invrcinvr 19350  LSpanclspn 19672  LSAtomsclsa 35990  HLchlt 36366  LHypclh 37000  DVecHcdvh 38094  LCDualclcd 38602  mapdcmpd 38640
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602  ax-riotaBAD 35969
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-fal 1541  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-iin 4913  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-of 7398  df-om 7570  df-1st 7678  df-2nd 7679  df-tpos 7881  df-undef 7928  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-1o 8091  df-oadd 8095  df-er 8278  df-map 8397  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-fin 8501  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-3 11689  df-4 11690  df-5 11691  df-6 11692  df-n0 11886  df-z 11970  df-uz 12232  df-fz 12881  df-struct 16473  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-ress 16479  df-plusg 16566  df-mulr 16567  df-sca 16569  df-vsca 16570  df-0g 16703  df-mre 16845  df-mrc 16846  df-acs 16848  df-proset 17526  df-poset 17544  df-plt 17556  df-lub 17572  df-glb 17573  df-join 17574  df-meet 17575  df-p0 17637  df-p1 17638  df-lat 17644  df-clat 17706  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-submnd 17945  df-grp 18044  df-minusg 18045  df-sbg 18046  df-subg 18214  df-cntz 18385  df-oppg 18412  df-lsm 18690  df-cmn 18837  df-abl 18838  df-mgp 19169  df-ur 19181  df-ring 19228  df-oppr 19302  df-dvdsr 19320  df-unit 19321  df-invr 19351  df-dvr 19362  df-drng 19433  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lvec 19804  df-lsatoms 35992  df-lshyp 35993  df-lcv 36035  df-lfl 36074  df-lkr 36102  df-ldual 36140  df-oposet 36192  df-ol 36194  df-oml 36195  df-covers 36282  df-ats 36283  df-atl 36314  df-cvlat 36338  df-hlat 36367  df-llines 36514  df-lplanes 36515  df-lvols 36516  df-lines 36517  df-psubsp 36519  df-pmap 36520  df-padd 36812  df-lhyp 37004  df-laut 37005  df-ldil 37120  df-ltrn 37121  df-trl 37175  df-tgrp 37759  df-tendo 37771  df-edring 37773  df-dveca 38019  df-disoa 38045  df-dvech 38095  df-dib 38155  df-dic 38189  df-dih 38245  df-doch 38364  df-djh 38411  df-lcdual 38603  df-mapd 38641
This theorem is referenced by:  mapdpglem23  38710
  Copyright terms: Public domain W3C validator