Theorem mapdpglem20 41652

Description: Lemma for mapdpg 41667. Baer p. 45, line 8: "...so that (Fy)*=Gy'." (Contributed by NM, 20-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpglem.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpglem.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpglem.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpglem.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpglem.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpglem.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpglem.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
mapdpglem.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
mapdpglem1.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
mapdpglem2.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpglem3.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpglem3.te	⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
mapdpglem3.a	⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
mapdpglem3.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
mapdpglem3.t	⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
mapdpglem3.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpglem3.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpglem3.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpglem4.q	⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
mapdpglem.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpglem4.jt	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
mapdpglem4.z	⊢ 0 = (0g‘𝐴)
mapdpglem4.g4	⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
mapdpglem4.z4	⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
mapdpglem4.t4	⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
mapdpglem4.xn	⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
mapdpglem12.yn	⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
mapdpglem17.ep	⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem20	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸}))

Distinct variable groups:   𝑡, −   𝑡,𝐶   𝑡,𝐽   𝑡,𝑀   𝑡,𝑁   𝑡,𝑋   𝑡,𝑌   𝐵,𝑔   𝑧,𝑔,𝐶   𝑔,𝐹   𝑔,𝐺,𝑧   𝑔,𝐽,𝑧   𝑔,𝑀,𝑧   𝑔,𝑁,𝑧   𝑅,𝑔,𝑧   · ,𝑔,𝑧   𝑔,𝑌,𝑧,𝑡

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐴(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐵(𝑧,𝑡)   ⊕ (𝑧,𝑡,𝑔)   𝑄(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑅(𝑡)   · (𝑡)   𝑈(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐸(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐹(𝑧,𝑡)   𝐺(𝑡)   𝐻(𝑧,𝑡,𝑔)   𝐾(𝑧,𝑡,𝑔)   − (𝑧,𝑔)   𝑉(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑊(𝑧,𝑡,𝑔)   𝑋(𝑧,𝑔)   0 (𝑧,𝑡,𝑔)

Proof of Theorem mapdpglem20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2734	. 2 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
2		mapdpglem2.j	. 2 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
3		eqid 2734	. 2 ⊢ (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
4		mapdpglem.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		mapdpglem.c	. . 3 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdpglem.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	lcdlvec 41552	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LVec)
8		mapdpglem.m	. . 3 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
9		mapdpglem.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		eqid 2734	. . 3 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
11		mapdpglem.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
12		mapdpglem.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13		mapdpglem4.q	. . . 4 ⊢ 𝑄 = (0g‘𝑈)
14	4, 9, 6	dvhlmod 41071	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
15		mapdpglem.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
16		mapdpglem12.yn	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ≠ 𝑄)
17		eldifsn 4766	. . . . 5 ⊢ (𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {𝑄}) ↔ (𝑌 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ≠ 𝑄))
18	15, 16, 17	sylanbrc 583	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ {𝑄}))
19	11, 12, 13, 10, 14, 18	lsatlspsn 38953	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
20	4, 8, 9, 10, 5, 3, 6, 19	mapdat 41628	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
21		mapdpglem.s	. . 3 ⊢ − = (-g‘𝑈)
22		mapdpglem.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
23		mapdpglem1.p	. . 3 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝐶)
24		mapdpglem3.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
25		mapdpglem3.te	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑡 ∈ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ⊕ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌}))))
26		mapdpglem3.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (Scalar‘𝑈)
27		mapdpglem3.b	. . 3 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐴)
28		mapdpglem3.t	. . 3 ⊢ · = ( ·𝑠 ‘𝐶)
29		mapdpglem3.r	. . 3 ⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
30		mapdpglem3.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
31		mapdpglem3.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
32		mapdpglem.ne	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
33		mapdpglem4.jt	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{𝑡}))
34		mapdpglem4.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝐴)
35		mapdpglem4.g4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑔 ∈ 𝐵)
36		mapdpglem4.z4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑧 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
37		mapdpglem4.t4	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑡 = ((𝑔 · 𝐺)𝑅𝑧))
38		mapdpglem4.xn	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ≠ 𝑄)
39		mapdpglem17.ep	. . 3 ⊢ 𝐸 = (((invr‘𝐴)‘𝑔) · 𝑧)
40	4, 8, 9, 11, 21, 12, 5, 6, 22, 15, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 16, 39	mapdpglem19 41651	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})))
41	4, 8, 9, 11, 21, 12, 5, 6, 22, 15, 23, 2, 24, 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 13, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 16, 39	mapdpglem18 41650	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ≠ (0g‘𝐶))
42	1, 2, 3, 7, 20, 40, 41	lsatel 38965	1 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝐸}))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1539   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2931   ∖ cdif 3928  {csn 4606  ‘cfv 6541  (class class class)co 7413  Basecbs 17229  Scalarcsca 17276   ·_𝑠 cvsca 17277  0_gc0g 17455  -_gcsg 18922  LSSumclsm 19620  inv_rcinvr 20355  LSpanclspn 20937  LSAtomsclsa 38934  HLchlt 39310  LHypclh 39945  DVecHcdvh 41039  LCDualclcd 41547  mapdcmpd 41585

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1794  ax-4 1808  ax-5 1909  ax-6 1966  ax-7 2006  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2140  ax-11 2156  ax-12 2176  ax-ext 2706  ax-rep 5259  ax-sep 5276  ax-nul 5286  ax-pow 5345  ax-pr 5412  ax-un 7737  ax-cnex 11193  ax-resscn 11194  ax-1cn 11195  ax-icn 11196  ax-addcl 11197  ax-addrcl 11198  ax-mulcl 11199  ax-mulrcl 11200  ax-mulcom 11201  ax-addass 11202  ax-mulass 11203  ax-distr 11204  ax-i2m1 11205  ax-1ne0 11206  ax-1rid 11207  ax-rnegex 11208  ax-rrecex 11209  ax-cnre 11210  ax-pre-lttri 11211  ax-pre-lttrn 11212  ax-pre-ltadd 11213  ax-pre-mulgt0 11214  ax-riotaBAD 38913

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1779  df-nf 1783  df-sb 2064  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2808  df-nfc 2884  df-ne 2932  df-nel 3036  df-ral 3051  df-rex 3060  df-rmo 3363  df-reu 3364  df-rab 3420  df-v 3465  df-sbc 3771  df-csb 3880  df-dif 3934  df-un 3936  df-in 3938  df-ss 3948  df-pss 3951  df-nul 4314  df-if 4506  df-pw 4582  df-sn 4607  df-pr 4609  df-tp 4611  df-op 4613  df-uni 4888  df-int 4927  df-iun 4973  df-iin 4974  df-br 5124  df-opab 5186  df-mpt 5206  df-tr 5240  df-id 5558  df-eprel 5564  df-po 5572  df-so 5573  df-fr 5617  df-we 5619  df-xp 5671  df-rel 5672  df-cnv 5673  df-co 5674  df-dm 5675  df-rn 5676  df-res 5677  df-ima 5678  df-pred 6301  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7370  df-ov 7416  df-oprab 7417  df-mpo 7418  df-of 7679  df-om 7870  df-1st 7996  df-2nd 7997  df-tpos 8233  df-undef 8280  df-frecs 8288  df-wrecs 8319  df-recs 8393  df-rdg 8432  df-1o 8488  df-2o 8489  df-er 8727  df-map 8850  df-en 8968  df-dom 8969  df-sdom 8970  df-fin 8971  df-pnf 11279  df-mnf 11280  df-xr 11281  df-ltxr 11282  df-le 11283  df-sub 11476  df-neg 11477  df-nn 12249  df-2 12311  df-3 12312  df-4 12313  df-5 12314  df-6 12315  df-n0 12510  df-z 12597  df-uz 12861  df-fz 13530  df-struct 17166  df-sets 17183  df-slot 17201  df-ndx 17213  df-base 17230  df-ress 17253  df-plusg 17286  df-mulr 17287  df-sca 17289  df-vsca 17290  df-0g 17457  df-mre 17600  df-mrc 17601  df-acs 17603  df-proset 18310  df-poset 18329  df-plt 18344  df-lub 18360  df-glb 18361  df-join 18362  df-meet 18363  df-p0 18439  df-p1 18440  df-lat 18446  df-clat 18513  df-mgm 18622  df-sgrp 18701  df-mnd 18717  df-submnd 18766  df-grp 18923  df-minusg 18924  df-sbg 18925  df-subg 19110  df-cntz 19304  df-oppg 19333  df-lsm 19622  df-cmn 19768  df-abl 19769  df-mgp 20106  df-rng 20118  df-ur 20147  df-ring 20200  df-oppr 20302  df-dvdsr 20325  df-unit 20326  df-invr 20356  df-dvr 20369  df-nzr 20481  df-rlreg 20662  df-domn 20663  df-drng 20699  df-lmod 20828  df-lss 20898  df-lsp 20938  df-lvec 21070  df-lsatoms 38936  df-lshyp 38937  df-lcv 38979  df-lfl 39018  df-lkr 39046  df-ldual 39084  df-oposet 39136  df-ol 39138  df-oml 39139  df-covers 39226  df-ats 39227  df-atl 39258  df-cvlat 39282  df-hlat 39311  df-llines 39459  df-lplanes 39460  df-lvols 39461  df-lines 39462  df-psubsp 39464  df-pmap 39465  df-padd 39757  df-lhyp 39949  df-laut 39950  df-ldil 40065  df-ltrn 40066  df-trl 40120  df-tgrp 40704  df-tendo 40716  df-edring 40718  df-dveca 40964  df-disoa 40990  df-dvech 41040  df-dib 41100  df-dic 41134  df-dih 41190  df-doch 41309  df-djh 41356  df-lcdual 41548  df-mapd 41586

This theorem is referenced by:  mapdpglem23  41655