Theorem lcfrlem20 40972

Description: Lemma for lcfr 40995. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lcfrlem17.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lcfrlem17.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lcfrlem17.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lcfrlem17.p	⊢ + = (+g‘𝑈)
lcfrlem17.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lcfrlem17.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lcfrlem17.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lcfrlem17.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lcfrlem17.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lcfrlem17.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
lcfrlem20.e	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))

Assertion

Ref	Expression
lcfrlem20	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lcfrlem20

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lcfrlem17.v	. . . 4 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
2		lcfrlem17.n	. . . 4 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
3		eqid 2727	. . . 4 ⊢ (LSSum‘𝑈) = (LSSum‘𝑈)
4		lcfrlem17.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		lcfrlem17.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
6		lcfrlem17.k	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
7	4, 5, 6	dvhlmod 40520	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
8		lcfrlem17.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
9	8	eldifad 3956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
10		lcfrlem17.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
11	10	eldifad 3956	. . . 4 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
12	1, 2, 3, 7, 9, 11	lsmpr 20963	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋, 𝑌}) = ((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})))
13	12	ineq1d 4207	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)})) = (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
14		eqid 2727	. . 3 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
15		eqid 2727	. . 3 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
16		lcfrlem17.a	. . 3 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
17	4, 5, 6	dvhlvec 40519	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
18		lcfrlem17.o	. . . 4 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
19		lcfrlem17.z	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
20		lcfrlem17.p	. . . . 5 ⊢ + = (+g‘𝑈)
21		lcfrlem17.ne	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
22	4, 18, 5, 1, 20, 19, 2, 16, 6, 8, 10, 21	lcfrlem17 40969	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
23	4, 18, 5, 1, 19, 15, 6, 22	dochsnshp 40863	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
24	1, 2, 19, 16, 7, 8	lsatlspsn 38402	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
25	1, 2, 19, 16, 7, 10	lsatlspsn 38402	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ 𝐴)
26		lcfrlem20.e	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
27	1, 20	lmodvacl 20747	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑈 ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
28	7, 9, 11, 27	syl3anc 1369	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝑋 + 𝑌) ∈ 𝑉)
29	28	snssd 4808	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → {(𝑋 + 𝑌)} ⊆ 𝑉)
30	4, 5, 1, 14, 18	dochlss 40764	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {(𝑋 + 𝑌)} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
31	6, 29, 30	syl2anc 583	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
32	1, 14, 2, 7, 31, 9	lspsnel5 20868	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)})))
33	26, 32	mtbid 324	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)}))
34	14, 3, 15, 16, 17, 23, 24, 25, 21, 33	lshpat 38465	. 2 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋})(LSSum‘𝑈)(𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)
35	13, 34	eqeltrd 2828	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋, 𝑌}) ∩ ( ⊥ ‘{(𝑋 + 𝑌)})) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1534   ∈ wcel 2099   ≠ wne 2935   ∖ cdif 3941   ∩ cin 3943   ⊆ wss 3944  {csn 4624  {cpr 4626  ‘cfv 6542  (class class class)co 7414  Basecbs 17171  +_gcplusg 17224  0_gc0g 17412  LSSumclsm 19580  LModclmod 20732  LSubSpclss 20804  LSpanclspn 20844  LSAtomsclsa 38383  LSHypclsh 38384  HLchlt 38759  LHypclh 39394  DVecHcdvh 40488  ocHcoch 40757

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2164  ax-ext 2698  ax-rep 5279  ax-sep 5293  ax-nul 5300  ax-pow 5359  ax-pr 5423  ax-un 7734  ax-cnex 11186  ax-resscn 11187  ax-1cn 11188  ax-icn 11189  ax-addcl 11190  ax-addrcl 11191  ax-mulcl 11192  ax-mulrcl 11193  ax-mulcom 11194  ax-addass 11195  ax-mulass 11196  ax-distr 11197  ax-i2m1 11198  ax-1ne0 11199  ax-1rid 11200  ax-rnegex 11201  ax-rrecex 11202  ax-cnre 11203  ax-pre-lttri 11204  ax-pre-lttrn 11205  ax-pre-ltadd 11206  ax-pre-mulgt0 11207  ax-riotaBAD 38362

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2529  df-eu 2558  df-clab 2705  df-cleq 2719  df-clel 2805  df-nfc 2880  df-ne 2936  df-nel 3042  df-ral 3057  df-rex 3066  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3428  df-v 3471  df-sbc 3775  df-csb 3890  df-dif 3947  df-un 3949  df-in 3951  df-ss 3961  df-pss 3963  df-nul 4319  df-if 4525  df-pw 4600  df-sn 4625  df-pr 4627  df-tp 4629  df-op 4631  df-uni 4904  df-int 4945  df-iun 4993  df-iin 4994  df-br 5143  df-opab 5205  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5570  df-eprel 5576  df-po 5584  df-so 5585  df-fr 5627  df-we 5629  df-xp 5678  df-rel 5679  df-cnv 5680  df-co 5681  df-dm 5682  df-rn 5683  df-res 5684  df-ima 5685  df-pred 6299  df-ord 6366  df-on 6367  df-lim 6368  df-suc 6369  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-riota 7370  df-ov 7417  df-oprab 7418  df-mpo 7419  df-om 7865  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8225  df-undef 8272  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-1o 8480  df-er 8718  df-map 8838  df-en 8956  df-dom 8957  df-sdom 8958  df-fin 8959  df-pnf 11272  df-mnf 11273  df-xr 11274  df-ltxr 11275  df-le 11276  df-sub 11468  df-neg 11469  df-nn 12235  df-2 12297  df-3 12298  df-4 12299  df-5 12300  df-6 12301  df-n0 12495  df-z 12581  df-uz 12845  df-fz 13509  df-struct 17107  df-sets 17124  df-slot 17142  df-ndx 17154  df-base 17172  df-ress 17201  df-plusg 17237  df-mulr 17238  df-sca 17240  df-vsca 17241  df-0g 17414  df-mre 17557  df-mrc 17558  df-acs 17560  df-proset 18278  df-poset 18296  df-plt 18313  df-lub 18329  df-glb 18330  df-join 18331  df-meet 18332  df-p0 18408  df-p1 18409  df-lat 18415  df-clat 18482  df-mgm 18591  df-sgrp 18670  df-mnd 18686  df-submnd 18732  df-grp 18884  df-minusg 18885  df-sbg 18886  df-subg 19069  df-cntz 19259  df-oppg 19288  df-lsm 19582  df-cmn 19728  df-abl 19729  df-mgp 20066  df-rng 20084  df-ur 20113  df-ring 20166  df-oppr 20262  df-dvdsr 20285  df-unit 20286  df-invr 20316  df-dvr 20329  df-drng 20615  df-lmod 20734  df-lss 20805  df-lsp 20845  df-lvec 20977  df-lsatoms 38385  df-lshyp 38386  df-lcv 38428  df-oposet 38585  df-ol 38587  df-oml 38588  df-covers 38675  df-ats 38676  df-atl 38707  df-cvlat 38731  df-hlat 38760  df-llines 38908  df-lplanes 38909  df-lvols 38910  df-lines 38911  df-psubsp 38913  df-pmap 38914  df-padd 39206  df-lhyp 39398  df-laut 39399  df-ldil 39514  df-ltrn 39515  df-trl 39569  df-tgrp 40153  df-tendo 40165  df-edring 40167  df-dveca 40413  df-disoa 40439  df-dvech 40489  df-dib 40549  df-dic 40583  df-dih 40639  df-doch 40758  df-djh 40805

This theorem is referenced by:  lcfrlem21  40973