Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lcfrlem20 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lcfrlem20 40519
Description: Lemma for lcfr 40542. (Contributed by NM, 11-Mar-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lcfrlem17.h 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
lcfrlem17.o βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem17.u π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
lcfrlem17.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.p + = (+gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.z 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
lcfrlem17.k (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
lcfrlem17.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfrlem17.y (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
lcfrlem17.ne (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
lcfrlem20.e (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
Assertion
Ref Expression
lcfrlem20 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lcfrlem20
StepHypRef Expression
1 lcfrlem17.v . . . 4 𝑉 = (Baseβ€˜π‘ˆ)
2 lcfrlem17.n . . . 4 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘ˆ)
3 eqid 2732 . . . 4 (LSSumβ€˜π‘ˆ) = (LSSumβ€˜π‘ˆ)
4 lcfrlem17.h . . . . 5 𝐻 = (LHypβ€˜πΎ)
5 lcfrlem17.u . . . . 5 π‘ˆ = ((DVecHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
6 lcfrlem17.k . . . . 5 (πœ‘ β†’ (𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻))
74, 5, 6dvhlmod 40067 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LMod)
8 lcfrlem17.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
98eldifad 3960 . . . 4 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
10 lcfrlem17.y . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
1110eldifad 3960 . . . 4 (πœ‘ β†’ π‘Œ ∈ 𝑉)
121, 2, 3, 7, 9, 11lsmpr 20705 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) = ((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})))
1312ineq1d 4211 . 2 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) = (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})))
14 eqid 2732 . . 3 (LSubSpβ€˜π‘ˆ) = (LSubSpβ€˜π‘ˆ)
15 eqid 2732 . . 3 (LSHypβ€˜π‘ˆ) = (LSHypβ€˜π‘ˆ)
16 lcfrlem17.a . . 3 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘ˆ)
174, 5, 6dvhlvec 40066 . . 3 (πœ‘ β†’ π‘ˆ ∈ LVec)
18 lcfrlem17.o . . . 4 βŠ₯ = ((ocHβ€˜πΎ)β€˜π‘Š)
19 lcfrlem17.z . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘ˆ)
20 lcfrlem17.p . . . . 5 + = (+gβ€˜π‘ˆ)
21 lcfrlem17.ne . . . . 5 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  (π‘β€˜{π‘Œ}))
224, 18, 5, 1, 20, 19, 2, 16, 6, 8, 10, 21lcfrlem17 40516 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
234, 18, 5, 1, 19, 15, 6, 22dochsnshp 40410 . . 3 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) ∈ (LSHypβ€˜π‘ˆ))
241, 2, 19, 16, 7, 8lsatlspsn 37949 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴)
251, 2, 19, 16, 7, 10lsatlspsn 37949 . . 3 (πœ‘ β†’ (π‘β€˜{π‘Œ}) ∈ 𝐴)
26 lcfrlem20.e . . . 4 (πœ‘ β†’ Β¬ 𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
271, 20lmodvacl 20490 . . . . . . . 8 ((π‘ˆ ∈ LMod ∧ 𝑋 ∈ 𝑉 ∧ π‘Œ ∈ 𝑉) β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
287, 9, 11, 27syl3anc 1371 . . . . . . 7 (πœ‘ β†’ (𝑋 + π‘Œ) ∈ 𝑉)
2928snssd 4812 . . . . . 6 (πœ‘ β†’ {(𝑋 + π‘Œ)} βŠ† 𝑉)
304, 5, 1, 14, 18dochlss 40311 . . . . . 6 (((𝐾 ∈ HL ∧ π‘Š ∈ 𝐻) ∧ {(𝑋 + π‘Œ)} βŠ† 𝑉) β†’ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
316, 29, 30syl2anc 584 . . . . 5 (πœ‘ β†’ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) ∈ (LSubSpβ€˜π‘ˆ))
321, 14, 2, 7, 31, 9lspsnel5 20611 . . . 4 (πœ‘ β†’ (𝑋 ∈ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}) ↔ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})))
3326, 32mtbid 323 . . 3 (πœ‘ β†’ Β¬ (π‘β€˜{𝑋}) βŠ† ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)}))
3414, 3, 15, 16, 17, 23, 24, 25, 21, 33lshpat 38012 . 2 (πœ‘ β†’ (((π‘β€˜{𝑋})(LSSumβ€˜π‘ˆ)(π‘β€˜{π‘Œ})) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) ∈ 𝐴)
3513, 34eqeltrd 2833 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋, π‘Œ}) ∩ ( βŠ₯ β€˜{(𝑋 + π‘Œ)})) ∈ 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  Β¬ wn 3   β†’ wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   β‰  wne 2940   βˆ– cdif 3945   ∩ cin 3947   βŠ† wss 3948  {csn 4628  {cpr 4630  β€˜cfv 6543  (class class class)co 7411  Basecbs 17146  +gcplusg 17199  0gc0g 17387  LSSumclsm 19504  LModclmod 20475  LSubSpclss 20547  LSpanclspn 20587  LSAtomsclsa 37930  LSHypclsh 37931  HLchlt 38306  LHypclh 38941  DVecHcdvh 40035  ocHcoch 40304
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189  ax-riotaBAD 37909
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-tp 4633  df-op 4635  df-uni 4909  df-int 4951  df-iun 4999  df-iin 5000  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-om 7858  df-1st 7977  df-2nd 7978  df-tpos 8213  df-undef 8260  df-frecs 8268  df-wrecs 8299  df-recs 8373  df-rdg 8412  df-1o 8468  df-er 8705  df-map 8824  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-fin 8945  df-pnf 11252  df-mnf 11253  df-xr 11254  df-ltxr 11255  df-le 11256  df-sub 11448  df-neg 11449  df-nn 12215  df-2 12277  df-3 12278  df-4 12279  df-5 12280  df-6 12281  df-n0 12475  df-z 12561  df-uz 12825  df-fz 13487  df-struct 17082  df-sets 17099  df-slot 17117  df-ndx 17129  df-base 17147  df-ress 17176  df-plusg 17212  df-mulr 17213  df-sca 17215  df-vsca 17216  df-0g 17389  df-mre 17532  df-mrc 17533  df-acs 17535  df-proset 18250  df-poset 18268  df-plt 18285  df-lub 18301  df-glb 18302  df-join 18303  df-meet 18304  df-p0 18380  df-p1 18381  df-lat 18387  df-clat 18454  df-mgm 18563  df-sgrp 18612  df-mnd 18628  df-submnd 18674  df-grp 18824  df-minusg 18825  df-sbg 18826  df-subg 19005  df-cntz 19183  df-oppg 19212  df-lsm 19506  df-cmn 19652  df-abl 19653  df-mgp 19990  df-ur 20007  df-ring 20060  df-oppr 20154  df-dvdsr 20175  df-unit 20176  df-invr 20206  df-dvr 20219  df-drng 20363  df-lmod 20477  df-lss 20548  df-lsp 20588  df-lvec 20719  df-lsatoms 37932  df-lshyp 37933  df-lcv 37975  df-oposet 38132  df-ol 38134  df-oml 38135  df-covers 38222  df-ats 38223  df-atl 38254  df-cvlat 38278  df-hlat 38307  df-llines 38455  df-lplanes 38456  df-lvols 38457  df-lines 38458  df-psubsp 38460  df-pmap 38461  df-padd 38753  df-lhyp 38945  df-laut 38946  df-ldil 39061  df-ltrn 39062  df-trl 39116  df-tgrp 39700  df-tendo 39712  df-edring 39714  df-dveca 39960  df-disoa 39986  df-dvech 40036  df-dib 40096  df-dic 40130  df-dih 40186  df-doch 40305  df-djh 40352
This theorem is referenced by:  lcfrlem21  40520
  Copyright terms: Public domain W3C validator