Theorem lclkrlem2a 40378

Description: Lemma for lclkr 40404. Use lshpat 37926 to show that the intersection of a hyperplane with a noncomparable sum of atoms is an atom. (Contributed by NM, 16-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2a.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2a.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2a.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2a.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2a.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lclkrlem2a.p	⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
lclkrlem2a.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
lclkrlem2a.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
lclkrlem2a.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2a.b	⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2a.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2a.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2a.e	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ ( ⊥ ‘{𝑌}))
lclkrlem2a.d	⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2a	⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) ∈ 𝐴)

Proof of Theorem lclkrlem2a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2733	. 2 ⊢ (LSubSp‘𝑈) = (LSubSp‘𝑈)
2		lclkrlem2a.p	. 2 ⊢ ⊕ = (LSSum‘𝑈)
3		eqid 2733	. 2 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
4		lclkrlem2a.a	. 2 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
5		lclkrlem2a.h	. . 3 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
6		lclkrlem2a.u	. . 3 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		lclkrlem2a.k	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
8	5, 6, 7	dvhlvec 39980	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
9		lclkrlem2a.o	. . 3 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
10		lclkrlem2a.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		lclkrlem2a.z	. . 3 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
12		lclkrlem2a.b	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
13	5, 9, 6, 10, 11, 3, 7, 12	dochsnshp 40324	. 2 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝐵}) ∈ (LSHyp‘𝑈))
14		lclkrlem2a.n	. . 3 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
15	5, 6, 7	dvhlmod 39981	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
16		lclkrlem2a.x	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
17	10, 14, 11, 4, 15, 16	lsatlspsn 37863	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
18		lclkrlem2a.y	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
19	10, 14, 11, 4, 15, 18	lsatlspsn 37863	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ 𝐴)
20		lclkrlem2a.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ ( ⊥ ‘{𝑌}))
21	16	eldifad 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
22	21	snssd 4813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
23	5, 6, 9, 10, 14, 7, 22	dochocsp 40250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑁‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
24	18	eldifad 3961	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ 𝑉)
25	24	snssd 4813	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑌} ⊆ 𝑉)
26	5, 6, 9, 10, 14, 7, 25	dochocsp 40250	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘(𝑁‘{𝑌})) = ( ⊥ ‘{𝑌}))
27	23, 26	eqeq12d 2749	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝑁‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘(𝑁‘{𝑌})) ↔ ( ⊥ ‘{𝑋}) = ( ⊥ ‘{𝑌})))
28		eqid 2733	. . . . . 6 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
29	5, 6, 10, 14, 28	dihlsprn 40202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑋 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
30	7, 21, 29	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
31	5, 6, 10, 14, 28	dihlsprn 40202	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ 𝑌 ∈ 𝑉) → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
32	7, 24, 31	syl2anc 585	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
33	5, 28, 9, 7, 30, 32	doch11 40244	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘(𝑁‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘(𝑁‘{𝑌})) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
34	27, 33	bitr3d 281	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘{𝑋}) = ( ⊥ ‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{𝑌})))
35	34	necon3bid 2986	. . 3 ⊢ (𝜑 → (( ⊥ ‘{𝑋}) ≠ ( ⊥ ‘{𝑌}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌})))
36	20, 35	mpbid 231	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
37		lclkrlem2a.d	. . 3 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}))
38	12	eldifad 3961	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → 𝐵 ∈ 𝑉)
39	38	snssd 4813	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → {𝐵} ⊆ 𝑉)
40	5, 6, 10, 1, 9	dochlss 40225	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝐵} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝐵}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
41	7, 39, 40	syl2anc 585	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘{𝐵}) ∈ (LSubSp‘𝑈))
42	10, 1, 14, 15, 41, 21	lspsnel5 20606	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑋 ∈ ( ⊥ ‘{𝐵}) ↔ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘{𝐵})))
43	37, 42	mtbid 324	. 2 ⊢ (𝜑 → ¬ (𝑁‘{𝑋}) ⊆ ( ⊥ ‘{𝐵}))
44	1, 2, 3, 4, 8, 13, 17, 19, 36, 43	lshpat 37926	1 ⊢ (𝜑 → (((𝑁‘{𝑋}) ⊕ (𝑁‘{𝑌})) ∩ ( ⊥ ‘{𝐵})) ∈ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   ∖ cdif 3946   ∩ cin 3948   ⊆ wss 3949  {csn 4629  ran crn 5678  ‘cfv 6544  (class class class)co 7409  Basecbs 17144  0_gc0g 17385  LSSumclsm 19502  LSubSpclss 20542  LSpanclspn 20582  LSAtomsclsa 37844  LSHypclsh 37845  HLchlt 38220  LHypclh 38855  DVecHcdvh 39949  DIsoHcdih 40099  ocHcoch 40218

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5286  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-cnex 11166  ax-resscn 11167  ax-1cn 11168  ax-icn 11169  ax-addcl 11170  ax-addrcl 11171  ax-mulcl 11172  ax-mulrcl 11173  ax-mulcom 11174  ax-addass 11175  ax-mulass 11176  ax-distr 11177  ax-i2m1 11178  ax-1ne0 11179  ax-1rid 11180  ax-rnegex 11181  ax-rrecex 11182  ax-cnre 11183  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185  ax-pre-ltadd 11186  ax-pre-mulgt0 11187  ax-riotaBAD 37823

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-tp 4634  df-op 4636  df-uni 4910  df-int 4952  df-iun 5000  df-iin 5001  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7365  df-ov 7412  df-oprab 7413  df-mpo 7414  df-om 7856  df-1st 7975  df-2nd 7976  df-tpos 8211  df-undef 8258  df-frecs 8266  df-wrecs 8297  df-recs 8371  df-rdg 8410  df-1o 8466  df-er 8703  df-map 8822  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-fin 8943  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-xr 11252  df-ltxr 11253  df-le 11254  df-sub 11446  df-neg 11447  df-nn 12213  df-2 12275  df-3 12276  df-4 12277  df-5 12278  df-6 12279  df-n0 12473  df-z 12559  df-uz 12823  df-fz 13485  df-struct 17080  df-sets 17097  df-slot 17115  df-ndx 17127  df-base 17145  df-ress 17174  df-plusg 17210  df-mulr 17211  df-sca 17213  df-vsca 17214  df-0g 17387  df-mre 17530  df-mrc 17531  df-acs 17533  df-proset 18248  df-poset 18266  df-plt 18283  df-lub 18299  df-glb 18300  df-join 18301  df-meet 18302  df-p0 18378  df-p1 18379  df-lat 18385  df-clat 18452  df-mgm 18561  df-sgrp 18610  df-mnd 18626  df-submnd 18672  df-grp 18822  df-minusg 18823  df-sbg 18824  df-subg 19003  df-cntz 19181  df-oppg 19210  df-lsm 19504  df-cmn 19650  df-abl 19651  df-mgp 19988  df-ur 20005  df-ring 20058  df-oppr 20150  df-dvdsr 20171  df-unit 20172  df-invr 20202  df-dvr 20215  df-drng 20359  df-lmod 20473  df-lss 20543  df-lsp 20583  df-lvec 20714  df-lsatoms 37846  df-lshyp 37847  df-lcv 37889  df-oposet 38046  df-ol 38048  df-oml 38049  df-covers 38136  df-ats 38137  df-atl 38168  df-cvlat 38192  df-hlat 38221  df-llines 38369  df-lplanes 38370  df-lvols 38371  df-lines 38372  df-psubsp 38374  df-pmap 38375  df-padd 38667  df-lhyp 38859  df-laut 38860  df-ldil 38975  df-ltrn 38976  df-trl 39030  df-tgrp 39614  df-tendo 39626  df-edring 39628  df-dveca 39874  df-disoa 39900  df-dvech 39950  df-dib 40010  df-dic 40044  df-dih 40100  df-doch 40219  df-djh 40266

This theorem is referenced by:  lclkrlem2b  40379