Theorem mapdpglem30a 40014

Description: Lemma for mapdpg 40025. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem30a	⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝐶))

Proof of Theorem mapdpglem30a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpg.e	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
2		mapdpg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdpg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdpg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
6		mapdpg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
8		mapdpg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
9		mapdpg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
10		mapdpg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
11		mapdpg.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
12	2, 4, 8	dvhlmod 39429	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
13		mapdpg.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
14	9, 10, 11, 5, 12, 13	lsatlspsn 37311	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
15	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 14	mapdat 39986	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
16	1, 15	eqeltrrd 2839	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝐺}) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
17		mapdpg.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
18		mapdpg.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
19		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
20	2, 6, 8	lcdlmod 39911	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
21		mapdpg.g	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
22	17, 18, 19, 7, 20, 21	lsatspn0 37318	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{𝐺}) ∈ (LSAtoms‘𝐶) ↔ 𝐺 ≠ (0g‘𝐶)))
23	16, 22	mpbid 231	1 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ≠ (0g‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2941   ∖ cdif 3898  {csn 4577  ‘cfv 6483  Basecbs 17009  0_gc0g 17247  -_gcsg 18675  LSpanclspn 20338  LSAtomsclsa 37292  HLchlt 37668  LHypclh 38303  DVecHcdvh 39397  LCDualclcd 39905  mapdcmpd 39943

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2708  ax-rep 5233  ax-sep 5247  ax-nul 5254  ax-pow 5312  ax-pr 5376  ax-un 7654  ax-cnex 11032  ax-resscn 11033  ax-1cn 11034  ax-icn 11035  ax-addcl 11036  ax-addrcl 11037  ax-mulcl 11038  ax-mulrcl 11039  ax-mulcom 11040  ax-addass 11041  ax-mulass 11042  ax-distr 11043  ax-i2m1 11044  ax-1ne0 11045  ax-1rid 11046  ax-rnegex 11047  ax-rrecex 11048  ax-cnre 11049  ax-pre-lttri 11050  ax-pre-lttrn 11051  ax-pre-ltadd 11052  ax-pre-mulgt0 11053  ax-riotaBAD 37271

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3444  df-sbc 3731  df-csb 3847  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3920  df-nul 4274  df-if 4478  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4857  df-int 4899  df-iun 4947  df-iin 4948  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5180  df-tr 5214  df-id 5522  df-eprel 5528  df-po 5536  df-so 5537  df-fr 5579  df-we 5581  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6242  df-ord 6309  df-on 6310  df-lim 6311  df-suc 6312  df-iota 6435  df-fun 6485  df-fn 6486  df-f 6487  df-f1 6488  df-fo 6489  df-f1o 6490  df-fv 6491  df-riota 7297  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-of 7599  df-om 7785  df-1st 7903  df-2nd 7904  df-tpos 8116  df-undef 8163  df-frecs 8171  df-wrecs 8202  df-recs 8276  df-rdg 8315  df-1o 8371  df-er 8573  df-map 8692  df-en 8809  df-dom 8810  df-sdom 8811  df-fin 8812  df-pnf 11116  df-mnf 11117  df-xr 11118  df-ltxr 11119  df-le 11120  df-sub 11312  df-neg 11313  df-nn 12079  df-2 12141  df-3 12142  df-4 12143  df-5 12144  df-6 12145  df-n0 12339  df-z 12425  df-uz 12688  df-fz 13345  df-struct 16945  df-sets 16962  df-slot 16980  df-ndx 16992  df-base 17010  df-ress 17039  df-plusg 17072  df-mulr 17073  df-sca 17075  df-vsca 17076  df-0g 17249  df-mre 17392  df-mrc 17393  df-acs 17395  df-proset 18110  df-poset 18128  df-plt 18145  df-lub 18161  df-glb 18162  df-join 18163  df-meet 18164  df-p0 18240  df-p1 18241  df-lat 18247  df-clat 18314  df-mgm 18423  df-sgrp 18472  df-mnd 18483  df-submnd 18528  df-grp 18676  df-minusg 18677  df-sbg 18678  df-subg 18848  df-cntz 19019  df-oppg 19046  df-lsm 19337  df-cmn 19483  df-abl 19484  df-mgp 19815  df-ur 19832  df-ring 19879  df-oppr 19956  df-dvdsr 19977  df-unit 19978  df-invr 20008  df-dvr 20019  df-drng 20094  df-lmod 20230  df-lss 20299  df-lsp 20339  df-lvec 20470  df-lsatoms 37294  df-lshyp 37295  df-lcv 37337  df-lfl 37376  df-lkr 37404  df-ldual 37442  df-oposet 37494  df-ol 37496  df-oml 37497  df-covers 37584  df-ats 37585  df-atl 37616  df-cvlat 37640  df-hlat 37669  df-llines 37817  df-lplanes 37818  df-lvols 37819  df-lines 37820  df-psubsp 37822  df-pmap 37823  df-padd 38115  df-lhyp 38307  df-laut 38308  df-ldil 38423  df-ltrn 38424  df-trl 38478  df-tgrp 39062  df-tendo 39074  df-edring 39076  df-dveca 39322  df-disoa 39348  df-dvech 39398  df-dib 39458  df-dic 39492  df-dih 39548  df-doch 39667  df-djh 39714  df-lcdual 39906  df-mapd 39944

This theorem is referenced by:  mapdpglem30  40021