Theorem lsatspn0 39039

Description: The span of a vector is an atom iff the vector is nonzero. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatspn0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatspn0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatspn0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatspn0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
isateln0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
isateln0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsatspn0	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Proof of Theorem lsatspn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatspn0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsatspn0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		isateln0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4	3	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
5		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
6	1, 2, 4, 5	lsatn0 39038	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 })
7		sneq 4581	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
8	7	fveq2d 6821	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
9	8	adantl 481	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
10	4	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
11		lsatspn0.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	1, 11	lspsn0 20936	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
14	9, 13	eqtrd 2766	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
15	14	ex 412	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
16	15	necon3d 2949	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 } → 𝑋 ≠ 0 ))
17	6, 16	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑋 ≠ 0 )
18		lsatspn0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
19	3	adantr 480	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
20		isateln0.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21	20	adantr 480	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
22		simpr 484	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
23		eldifsn 4733	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
24	21, 22, 23	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
25	18, 11, 1, 2, 19, 24	lsatlspsn 39032	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
26	17, 25	impbida 800	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   ∖ cdif 3894  {csn 4571  ‘cfv 6476  Basecbs 17115  0_gc0g 17338  LModclmod 20788  LSpanclspn 20899  LSAtomsclsa 39013

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-rep 5212  ax-sep 5229  ax-nul 5239  ax-pow 5298  ax-pr 5365  ax-un 7663  ax-cnex 11057  ax-resscn 11058  ax-1cn 11059  ax-icn 11060  ax-addcl 11061  ax-addrcl 11062  ax-mulcl 11063  ax-mulrcl 11064  ax-mulcom 11065  ax-addass 11066  ax-mulass 11067  ax-distr 11068  ax-i2m1 11069  ax-1ne0 11070  ax-1rid 11071  ax-rnegex 11072  ax-rrecex 11073  ax-cnre 11074  ax-pre-lttri 11075  ax-pre-lttrn 11076  ax-pre-ltadd 11077  ax-pre-mulgt0 11078

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rmo 3346  df-reu 3347  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3917  df-nul 4279  df-if 4471  df-pw 4547  df-sn 4572  df-pr 4574  df-op 4578  df-uni 4855  df-int 4893  df-iun 4938  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-tr 5194  df-id 5506  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5564  df-we 5566  df-xp 5617  df-rel 5618  df-cnv 5619  df-co 5620  df-dm 5621  df-rn 5622  df-res 5623  df-ima 5624  df-pred 6243  df-ord 6304  df-on 6305  df-lim 6306  df-suc 6307  df-iota 6432  df-fun 6478  df-fn 6479  df-f 6480  df-f1 6481  df-fo 6482  df-f1o 6483  df-fv 6484  df-riota 7298  df-ov 7344  df-oprab 7345  df-mpo 7346  df-om 7792  df-2nd 7917  df-frecs 8206  df-wrecs 8237  df-recs 8286  df-rdg 8324  df-er 8617  df-en 8865  df-dom 8866  df-sdom 8867  df-pnf 11143  df-mnf 11144  df-xr 11145  df-ltxr 11146  df-le 11147  df-sub 11341  df-neg 11342  df-nn 12121  df-2 12183  df-sets 17070  df-slot 17088  df-ndx 17100  df-base 17116  df-plusg 17169  df-0g 17340  df-mgm 18543  df-sgrp 18622  df-mnd 18638  df-grp 18844  df-minusg 18845  df-cmn 19689  df-abl 19690  df-mgp 20054  df-rng 20066  df-ur 20095  df-ring 20148  df-lmod 20790  df-lss 20860  df-lsp 20900  df-lsatoms 39015

This theorem is referenced by:  lsator0sp  39040  lcfl8b  41543  mapdpglem5N  41716  mapdpglem30a  41734  mapdpglem30b  41735