Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatspn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatspn0 36016
Description: The span of a vector is an atom iff the vector is nonzero. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatspn0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatspn0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatspn0.o 0 = (0g𝑊)
lsatspn0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
isateln0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
isateln0.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsatspn0 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴𝑋0 ))

Proof of Theorem lsatspn0
StepHypRef Expression
1 lsatspn0.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
2 lsatspn0.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3 isateln0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
43adantr 481 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
5 simpr 485 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
61, 2, 4, 5lsatn0 36015 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 })
7 sneq 4567 . . . . . . . 8 (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
87fveq2d 6667 . . . . . . 7 (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
98adantl 482 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
104adantr 481 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
11 lsatspn0.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
121, 11lspsn0 19709 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
149, 13eqtrd 2853 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
1514ex 413 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
1615necon3d 3034 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 } → 𝑋0 ))
176, 16mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑋0 )
18 lsatspn0.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
193adantr 481 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
20 isateln0.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
2120adantr 481 . . . 4 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋𝑉)
22 simpr 485 . . . 4 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋0 )
23 eldifsn 4711 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
2421, 22, 23sylanbrc 583 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2518, 11, 1, 2, 19, 24lsatlspsn 36009 . 2 ((𝜑𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
2617, 25impbida 797 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴𝑋0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 207  wa 396   = wceq 1528  wcel 2105  wne 3013  cdif 3930  {csn 4557  cfv 6348  Basecbs 16471  0gc0g 16701  LModclmod 19563  LSpanclspn 19672  LSAtomsclsa 35990
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1787  ax-4 1801  ax-5 1902  ax-6 1961  ax-7 2006  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2151  ax-12 2167  ax-ext 2790  ax-rep 5181  ax-sep 5194  ax-nul 5201  ax-pow 5257  ax-pr 5320  ax-un 7450  ax-cnex 10581  ax-resscn 10582  ax-1cn 10583  ax-icn 10584  ax-addcl 10585  ax-addrcl 10586  ax-mulcl 10587  ax-mulrcl 10588  ax-mulcom 10589  ax-addass 10590  ax-mulass 10591  ax-distr 10592  ax-i2m1 10593  ax-1ne0 10594  ax-1rid 10595  ax-rnegex 10596  ax-rrecex 10597  ax-cnre 10598  ax-pre-lttri 10599  ax-pre-lttrn 10600  ax-pre-ltadd 10601  ax-pre-mulgt0 10602
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 842  df-3or 1080  df-3an 1081  df-tru 1531  df-ex 1772  df-nf 1776  df-sb 2061  df-mo 2615  df-eu 2647  df-clab 2797  df-cleq 2811  df-clel 2890  df-nfc 2960  df-ne 3014  df-nel 3121  df-ral 3140  df-rex 3141  df-reu 3142  df-rmo 3143  df-rab 3144  df-v 3494  df-sbc 3770  df-csb 3881  df-dif 3936  df-un 3938  df-in 3940  df-ss 3949  df-pss 3951  df-nul 4289  df-if 4464  df-pw 4537  df-sn 4558  df-pr 4560  df-tp 4562  df-op 4564  df-uni 4831  df-int 4868  df-iun 4912  df-br 5058  df-opab 5120  df-mpt 5138  df-tr 5164  df-id 5453  df-eprel 5458  df-po 5467  df-so 5468  df-fr 5507  df-we 5509  df-xp 5554  df-rel 5555  df-cnv 5556  df-co 5557  df-dm 5558  df-rn 5559  df-res 5560  df-ima 5561  df-pred 6141  df-ord 6187  df-on 6188  df-lim 6189  df-suc 6190  df-iota 6307  df-fun 6350  df-fn 6351  df-f 6352  df-f1 6353  df-fo 6354  df-f1o 6355  df-fv 6356  df-riota 7103  df-ov 7148  df-oprab 7149  df-mpo 7150  df-om 7570  df-wrecs 7936  df-recs 7997  df-rdg 8035  df-er 8278  df-en 8498  df-dom 8499  df-sdom 8500  df-pnf 10665  df-mnf 10666  df-xr 10667  df-ltxr 10668  df-le 10669  df-sub 10860  df-neg 10861  df-nn 11627  df-2 11688  df-ndx 16474  df-slot 16475  df-base 16477  df-sets 16478  df-plusg 16566  df-0g 16703  df-mgm 17840  df-sgrp 17889  df-mnd 17900  df-grp 18044  df-mgp 19169  df-ring 19228  df-lmod 19565  df-lss 19633  df-lsp 19673  df-lsatoms 35992
This theorem is referenced by:  lsator0sp  36017  lcfl8b  38520  mapdpglem5N  38693  mapdpglem30a  38711  mapdpglem30b  38712
  Copyright terms: Public domain W3C validator