Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatspn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatspn0 37491
Description: The span of a vector is an atom iff the vector is nonzero. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatspn0.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsatspn0.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsatspn0.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatspn0.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
isateln0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
isateln0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsatspn0 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 β‰  0 ))

Proof of Theorem lsatspn0
StepHypRef Expression
1 lsatspn0.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 lsatspn0.a . . . 4 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
3 isateln0.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
43adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴)
61, 2, 4, 5lsatn0 37490 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  { 0 })
7 sneq 4601 . . . . . . . 8 (𝑋 = 0 β†’ {𝑋} = { 0 })
87fveq2d 6851 . . . . . . 7 (𝑋 = 0 β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{ 0 }))
98adantl 483 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{ 0 }))
104adantr 482 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
11 lsatspn0.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
121, 11lspsn0 20485 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
149, 13eqtrd 2777 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = { 0 })
1514ex 414 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = 0 β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = { 0 }))
1615necon3d 2965 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  { 0 } β†’ 𝑋 β‰  0 ))
176, 16mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 β‰  0 )
18 lsatspn0.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
193adantr 482 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
20 isateln0.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2120adantr 482 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
22 simpr 486 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 β‰  0 )
23 eldifsn 4752 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ))
2421, 22, 23sylanbrc 584 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2518, 11, 1, 2, 19, 24lsatlspsn 37484 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴)
2617, 25impbida 800 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 β‰  0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   β‰  wne 2944   βˆ– cdif 3912  {csn 4591  β€˜cfv 6501  Basecbs 17090  0gc0g 17328  LModclmod 20338  LSpanclspn 20448  LSAtomsclsa 37465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-rep 5247  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-cnex 11114  ax-resscn 11115  ax-1cn 11116  ax-icn 11117  ax-addcl 11118  ax-addrcl 11119  ax-mulcl 11120  ax-mulrcl 11121  ax-mulcom 11122  ax-addass 11123  ax-mulass 11124  ax-distr 11125  ax-i2m1 11126  ax-1ne0 11127  ax-1rid 11128  ax-rnegex 11129  ax-rrecex 11130  ax-cnre 11131  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133  ax-pre-ltadd 11134  ax-pre-mulgt0 11135
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rmo 3356  df-reu 3357  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-pss 3934  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-int 4913  df-iun 4961  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-tr 5228  df-id 5536  df-eprel 5542  df-po 5550  df-so 5551  df-fr 5593  df-we 5595  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6258  df-ord 6325  df-on 6326  df-lim 6327  df-suc 6328  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-riota 7318  df-ov 7365  df-oprab 7366  df-mpo 7367  df-om 7808  df-2nd 7927  df-frecs 8217  df-wrecs 8248  df-recs 8322  df-rdg 8361  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-xr 11200  df-ltxr 11201  df-le 11202  df-sub 11394  df-neg 11395  df-nn 12161  df-2 12223  df-sets 17043  df-slot 17061  df-ndx 17073  df-base 17091  df-plusg 17153  df-0g 17330  df-mgm 18504  df-sgrp 18553  df-mnd 18564  df-grp 18758  df-mgp 19904  df-ring 19973  df-lmod 20340  df-lss 20409  df-lsp 20449  df-lsatoms 37467
This theorem is referenced by:  lsator0sp  37492  lcfl8b  39996  mapdpglem5N  40169  mapdpglem30a  40187  mapdpglem30b  40188
  Copyright terms: Public domain W3C validator