Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatspn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatspn0 38383
Description: The span of a vector is an atom iff the vector is nonzero. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatspn0.v 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
lsatspn0.n 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
lsatspn0.o 0 = (0gβ€˜π‘Š)
lsatspn0.a 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
isateln0.w (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
isateln0.x (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsatspn0 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 β‰  0 ))

Proof of Theorem lsatspn0
StepHypRef Expression
1 lsatspn0.o . . . 4 0 = (0gβ€˜π‘Š)
2 lsatspn0.a . . . 4 𝐴 = (LSAtomsβ€˜π‘Š)
3 isateln0.w . . . . 5 (πœ‘ β†’ π‘Š ∈ LMod)
43adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) β†’ π‘Š ∈ LMod)
5 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴)
61, 2, 4, 5lsatn0 38382 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) β‰  { 0 })
7 sneq 4633 . . . . . . . 8 (𝑋 = 0 β†’ {𝑋} = { 0 })
87fveq2d 6889 . . . . . . 7 (𝑋 = 0 β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{ 0 }))
98adantl 481 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = (π‘β€˜{ 0 }))
104adantr 480 . . . . . . 7 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
11 lsatspn0.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpanβ€˜π‘Š)
121, 11lspsn0 20855 . . . . . . 7 (π‘Š ∈ LMod β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{ 0 }) = { 0 })
149, 13eqtrd 2766 . . . . 5 (((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = { 0 })
1514ex 412 . . . 4 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) β†’ (𝑋 = 0 β†’ (π‘β€˜{𝑋}) = { 0 }))
1615necon3d 2955 . . 3 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) β‰  { 0 } β†’ 𝑋 β‰  0 ))
176, 16mpd 15 . 2 ((πœ‘ ∧ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴) β†’ 𝑋 β‰  0 )
18 lsatspn0.v . . 3 𝑉 = (Baseβ€˜π‘Š)
193adantr 480 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ π‘Š ∈ LMod)
20 isateln0.x . . . . 5 (πœ‘ β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
2120adantr 480 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ 𝑉)
22 simpr 484 . . . 4 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 β‰  0 )
23 eldifsn 4785 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 β‰  0 ))
2421, 22, 23sylanbrc 582 . . 3 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ 𝑋 ∈ (𝑉 βˆ– { 0 }))
2518, 11, 1, 2, 19, 24lsatlspsn 38376 . 2 ((πœ‘ ∧ 𝑋 β‰  0 ) β†’ (π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴)
2617, 25impbida 798 1 (πœ‘ β†’ ((π‘β€˜{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 β‰  0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 395   = wceq 1533   ∈ wcel 2098   β‰  wne 2934   βˆ– cdif 3940  {csn 4623  β€˜cfv 6537  Basecbs 17153  0gc0g 17394  LModclmod 20706  LSpanclspn 20818  LSAtomsclsa 38357
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-rep 5278  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7722  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169  ax-1cn 11170  ax-icn 11171  ax-addcl 11172  ax-addrcl 11173  ax-mulcl 11174  ax-mulrcl 11175  ax-mulcom 11176  ax-addass 11177  ax-mulass 11178  ax-distr 11179  ax-i2m1 11180  ax-1ne0 11181  ax-1rid 11182  ax-rnegex 11183  ax-rrecex 11184  ax-cnre 11185  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187  ax-pre-ltadd 11188  ax-pre-mulgt0 11189
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rmo 3370  df-reu 3371  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-pss 3962  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-int 4944  df-iun 4992  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-tr 5259  df-id 5567  df-eprel 5573  df-po 5581  df-so 5582  df-fr 5624  df-we 5626  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-pred 6294  df-ord 6361  df-on 6362  df-lim 6363  df-suc 6364  df-iota 6489  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7853  df-2nd 7975  df-frecs 8267  df-wrecs 8298  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-xr 11256  df-ltxr 11257  df-le 11258  df-sub 11450  df-neg 11451  df-nn 12217  df-2 12279  df-sets 17106  df-slot 17124  df-ndx 17136  df-base 17154  df-plusg 17219  df-0g 17396  df-mgm 18573  df-sgrp 18652  df-mnd 18668  df-grp 18866  df-minusg 18867  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20040  df-rng 20058  df-ur 20087  df-ring 20140  df-lmod 20708  df-lss 20779  df-lsp 20819  df-lsatoms 38359
This theorem is referenced by:  lsator0sp  38384  lcfl8b  40888  mapdpglem5N  41061  mapdpglem30a  41079  mapdpglem30b  41080
  Copyright terms: Public domain W3C validator