Theorem lsatspn0 37226

Description: The span of a vector is an atom iff the vector is nonzero. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatspn0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatspn0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatspn0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatspn0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
isateln0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
isateln0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsatspn0	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Proof of Theorem lsatspn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatspn0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsatspn0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		isateln0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
5		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
6	1, 2, 4, 5	lsatn0 37225	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 })
7		sneq 4579	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
8	7	fveq2d 6813	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
9	8	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
10	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
11		lsatspn0.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	1, 11	lspsn0 20341	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
14	9, 13	eqtrd 2777	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
15	14	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
16	15	necon3d 2962	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 } → 𝑋 ≠ 0 ))
17	6, 16	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑋 ≠ 0 )
18		lsatspn0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
19	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
20		isateln0.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21	20	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
22		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
23		eldifsn 4730	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
24	21, 22, 23	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
25	18, 11, 1, 2, 19, 24	lsatlspsn 37219	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
26	17, 25	impbida 798	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2941   ∖ cdif 3893  {csn 4569  ‘cfv 6463  Basecbs 16979  0_gc0g 17217  LModclmod 20194  LSpanclspn 20304  LSAtomsclsa 37200

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2708  ax-rep 5222  ax-sep 5236  ax-nul 5243  ax-pow 5301  ax-pr 5365  ax-un 7626  ax-cnex 10997  ax-resscn 10998  ax-1cn 10999  ax-icn 11000  ax-addcl 11001  ax-addrcl 11002  ax-mulcl 11003  ax-mulrcl 11004  ax-mulcom 11005  ax-addass 11006  ax-mulass 11007  ax-distr 11008  ax-i2m1 11009  ax-1ne0 11010  ax-1rid 11011  ax-rnegex 11012  ax-rrecex 11013  ax-cnre 11014  ax-pre-lttri 11015  ax-pre-lttrn 11016  ax-pre-ltadd 11017  ax-pre-mulgt0 11018

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2887  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3405  df-v 3443  df-sbc 3726  df-csb 3842  df-dif 3899  df-un 3901  df-in 3903  df-ss 3913  df-pss 3915  df-nul 4267  df-if 4470  df-pw 4545  df-sn 4570  df-pr 4572  df-op 4576  df-uni 4849  df-int 4891  df-iun 4937  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5169  df-tr 5203  df-id 5505  df-eprel 5511  df-po 5519  df-so 5520  df-fr 5560  df-we 5562  df-xp 5611  df-rel 5612  df-cnv 5613  df-co 5614  df-dm 5615  df-rn 5616  df-res 5617  df-ima 5618  df-pred 6222  df-ord 6289  df-on 6290  df-lim 6291  df-suc 6292  df-iota 6415  df-fun 6465  df-fn 6466  df-f 6467  df-f1 6468  df-fo 6469  df-f1o 6470  df-fv 6471  df-riota 7270  df-ov 7316  df-oprab 7317  df-mpo 7318  df-om 7756  df-2nd 7875  df-frecs 8142  df-wrecs 8173  df-recs 8247  df-rdg 8286  df-er 8544  df-en 8780  df-dom 8781  df-sdom 8782  df-pnf 11081  df-mnf 11082  df-xr 11083  df-ltxr 11084  df-le 11085  df-sub 11277  df-neg 11278  df-nn 12044  df-2 12106  df-sets 16932  df-slot 16950  df-ndx 16962  df-base 16980  df-plusg 17042  df-0g 17219  df-mgm 18393  df-sgrp 18442  df-mnd 18453  df-grp 18647  df-mgp 19788  df-ring 19852  df-lmod 20196  df-lss 20265  df-lsp 20305  df-lsatoms 37202

This theorem is referenced by:  lsator0sp  37227  lcfl8b  39730  mapdpglem5N  39903  mapdpglem30a  39921  mapdpglem30b  39922