Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  lsatspn0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lsatspn0 36296
Description: The span of a vector is an atom iff the vector is nonzero. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lsatspn0.v 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatspn0.n 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatspn0.o 0 = (0g𝑊)
lsatspn0.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
isateln0.w (𝜑𝑊 ∈ LMod)
isateln0.x (𝜑𝑋𝑉)
Assertion
Ref Expression
lsatspn0 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴𝑋0 ))

Proof of Theorem lsatspn0
StepHypRef Expression
1 lsatspn0.o . . . 4 0 = (0g𝑊)
2 lsatspn0.a . . . 4 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3 isateln0.w . . . . 5 (𝜑𝑊 ∈ LMod)
43adantr 484 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
5 simpr 488 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
61, 2, 4, 5lsatn0 36295 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 })
7 sneq 4535 . . . . . . . 8 (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
87fveq2d 6649 . . . . . . 7 (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
98adantl 485 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
104adantr 484 . . . . . . 7 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
11 lsatspn0.n . . . . . . . 8 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
121, 11lspsn0 19773 . . . . . . 7 (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
1310, 12syl 17 . . . . . 6 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
149, 13eqtrd 2833 . . . . 5 (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
1514ex 416 . . . 4 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
1615necon3d 3008 . . 3 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 } → 𝑋0 ))
176, 16mpd 15 . 2 ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑋0 )
18 lsatspn0.v . . 3 𝑉 = (Base‘𝑊)
193adantr 484 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
20 isateln0.x . . . . 5 (𝜑𝑋𝑉)
2120adantr 484 . . . 4 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋𝑉)
22 simpr 488 . . . 4 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋0 )
23 eldifsn 4680 . . . 4 (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋𝑉𝑋0 ))
2421, 22, 23sylanbrc 586 . . 3 ((𝜑𝑋0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
2518, 11, 1, 2, 19, 24lsatlspsn 36289 . 2 ((𝜑𝑋0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
2617, 25impbida 800 1 (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴𝑋0 ))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 209  wa 399   = wceq 1538  wcel 2111  wne 2987  cdif 3878  {csn 4525  cfv 6324  Basecbs 16475  0gc0g 16705  LModclmod 19627  LSpanclspn 19736  LSAtomsclsa 36270
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-rep 5154  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-cnex 10582  ax-resscn 10583  ax-1cn 10584  ax-icn 10585  ax-addcl 10586  ax-addrcl 10587  ax-mulcl 10588  ax-mulrcl 10589  ax-mulcom 10590  ax-addass 10591  ax-mulass 10592  ax-distr 10593  ax-i2m1 10594  ax-1ne0 10595  ax-1rid 10596  ax-rnegex 10597  ax-rrecex 10598  ax-cnre 10599  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601  ax-pre-ltadd 10602  ax-pre-mulgt0 10603
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-reu 3113  df-rmo 3114  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-pss 3900  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-tp 4530  df-op 4532  df-uni 4801  df-int 4839  df-iun 4883  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-tr 5137  df-id 5425  df-eprel 5430  df-po 5438  df-so 5439  df-fr 5478  df-we 5480  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-pred 6116  df-ord 6162  df-on 6163  df-lim 6164  df-suc 6165  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-riota 7093  df-ov 7138  df-oprab 7139  df-mpo 7140  df-om 7561  df-wrecs 7930  df-recs 7991  df-rdg 8029  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670  df-sub 10861  df-neg 10862  df-nn 11626  df-2 11688  df-ndx 16478  df-slot 16479  df-base 16481  df-sets 16482  df-plusg 16570  df-0g 16707  df-mgm 17844  df-sgrp 17893  df-mnd 17904  df-grp 18098  df-mgp 19233  df-ring 19292  df-lmod 19629  df-lss 19697  df-lsp 19737  df-lsatoms 36272
This theorem is referenced by:  lsator0sp  36297  lcfl8b  38800  mapdpglem5N  38973  mapdpglem30a  38991  mapdpglem30b  38992
  Copyright terms: Public domain W3C validator