Theorem lsatspn0 37858

Description: The span of a vector is an atom iff the vector is nonzero. (Contributed by NM, 4-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lsatspn0.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
lsatspn0.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
lsatspn0.o	⊢ 0 = (0g‘𝑊)
lsatspn0.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
isateln0.w	⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
isateln0.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)

Assertion

Ref	Expression
lsatspn0	⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Proof of Theorem lsatspn0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lsatspn0.o	. . . 4 ⊢ 0 = (0g‘𝑊)
2		lsatspn0.a	. . . 4 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑊)
3		isateln0.w	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑊 ∈ LMod)
4	3	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑊 ∈ LMod)
5		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
6	1, 2, 4, 5	lsatn0 37857	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 })
7		sneq 4637	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑋 = 0 → {𝑋} = { 0 })
8	7	fveq2d 6892	. . . . . . 7 ⊢ (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
9	8	adantl 482	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = (𝑁‘{ 0 }))
10	4	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
11		lsatspn0.n	. . . . . . . 8 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑊)
12	1, 11	lspsn0 20611	. . . . . . 7 ⊢ (𝑊 ∈ LMod → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
13	10, 12	syl 17	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{ 0 }) = { 0 })
14	9, 13	eqtrd 2772	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) ∧ 𝑋 = 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 })
15	14	ex 413	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → (𝑋 = 0 → (𝑁‘{𝑋}) = { 0 }))
16	15	necon3d 2961	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → ((𝑁‘{𝑋}) ≠ { 0 } → 𝑋 ≠ 0 ))
17	6, 16	mpd 15	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴) → 𝑋 ≠ 0 )
18		lsatspn0.v	. . 3 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑊)
19	3	adantr 481	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑊 ∈ LMod)
20		isateln0.x	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
21	20	adantr 481	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ 𝑉)
22		simpr 485	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ≠ 0 )
23		eldifsn 4789	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ↔ (𝑋 ∈ 𝑉 ∧ 𝑋 ≠ 0 ))
24	21, 22, 23	sylanbrc 583	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
25	18, 11, 1, 2, 19, 24	lsatlspsn 37851	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑋 ≠ 0 ) → (𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴)
26	17, 25	impbida 799	1 ⊢ (𝜑 → ((𝑁‘{𝑋}) ∈ 𝐴 ↔ 𝑋 ≠ 0 ))

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   ∖ cdif 3944  {csn 4627  ‘cfv 6540  Basecbs 17140  0_gc0g 17381  LModclmod 20463  LSpanclspn 20574  LSAtomsclsa 37832

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5284  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-cnex 11162  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-mulcom 11170  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182  ax-pre-mulgt0 11183

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-int 4950  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11442  df-neg 11443  df-nn 12209  df-2 12271  df-sets 17093  df-slot 17111  df-ndx 17123  df-base 17141  df-plusg 17206  df-0g 17383  df-mgm 18557  df-sgrp 18606  df-mnd 18622  df-grp 18818  df-mgp 19982  df-ring 20051  df-lmod 20465  df-lss 20535  df-lsp 20575  df-lsatoms 37834

This theorem is referenced by:  lsator0sp  37859  lcfl8b  40363  mapdpglem5N  40536  mapdpglem30a  40554  mapdpglem30b  40555