Theorem lclkrlem2e 41683

Description: Lemma for lclkr 41705. The kernel of the sum is closed when the kernels of the summands are equal and closed. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2e.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2e.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2e.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2e.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2e.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lclkrlem2e.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2e.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2e.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2e.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2e.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2e.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2e.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2e.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2e.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2e.ne	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2e	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2e.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	adantr 480	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		lclkrlem2e.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4	3	eldifad 3910	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5	4	snssd 4762	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
6	5	adantr 480	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
7		lclkrlem2e.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		eqid 2733	. . . . . . 7 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
9		lclkrlem2e.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		lclkrlem2e.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		lclkrlem2e.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
12	7, 8, 9, 10, 11	dochcl 41525	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
13	2, 6, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
14	7, 8, 11	dochoc 41539	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋}))) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
15	2, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋}))) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
16		lclkrlem2e.le	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
17	16	adantr 480	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
18		inidm 4176	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐸)) = (𝐿‘𝐸)
19		lclkrlem2e.ne	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘𝐺))
20	19	ineq2d 4169	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐸)) = ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)))
21	18, 20	eqtr3id 2782	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)))
22		lclkrlem2e.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
23		lclkrlem2e.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
24		lclkrlem2e.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
25		lclkrlem2e.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝐷)
26	7, 9, 1	dvhlmod 41282	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
27		lclkrlem2e.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
28		lclkrlem2e.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
29	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	lkrin 39336	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
30	21, 29	eqsstrd 3965	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
31	30	adantr 480	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿‘𝐸) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
32		eqid 2733	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
33	7, 9, 1	dvhlvec 41281	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
34	33	adantr 480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)
35		eqid 2733	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
36	7, 9, 11, 10, 35, 1, 5	dochocsp 41551	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
37	36	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
38	17, 37	eqtr4d 2771	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})))
39		eqid 2733	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
40		lclkrlem2e.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
41	10, 35, 40, 39, 26, 3	lsatlspsn 39165	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
42	41	adantr 480	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
43	7, 9, 11, 39, 32, 2, 42	dochsatshp 41623	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) ∈ (LSHyp‘𝑈))
44	38, 43	eqeltrd 2833	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿‘𝐸) ∈ (LSHyp‘𝑈))
45		simpr 484	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈))
46	32, 34, 44, 45	lshpcmp 39160	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ((𝐿‘𝐸) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
47	31, 46	mpbid 232	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
48	17, 47	eqtr3d 2770	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘{𝑋}) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
49	48	fveq2d 6835	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
50	49	fveq2d 6835	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋}))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
51	15, 50, 48	3eqtr3d 2776	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
52	51	ex 412	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
53	7, 9, 11, 10, 1	dochoc1 41533	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)) = 𝑉)
54		2fveq3 6836	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)))
55		id 22	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉)
56	54, 55	eqeq12d 2749	. . 3 ⊢ ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)) = 𝑉))
57	53, 56	syl5ibrcom 247	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
58	22, 24, 25, 26, 27, 28	ldualvaddcl 39302	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
59	10, 32, 22, 23, 33, 58	lkrshpor 39279	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈) ∨ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉))
60	52, 57, 59	mpjaod 860	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ∖ cdif 3895   ∩ cin 3897   ⊆ wss 3898  {csn 4577  ran crn 5622  ‘cfv 6489  (class class class)co 7355  Basecbs 17127  +_gcplusg 17168  0_gc0g 17350  LSpanclspn 20913  LVecclvec 21045  LSAtomsclsa 39146  LSHypclsh 39147  LFnlclfn 39229  LKerclk 39257  LDualcld 39295  HLchlt 39522  LHypclh 40156  DVecHcdvh 41250  DIsoHcdih 41400  ocHcoch 41519

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2705  ax-rep 5221  ax-sep 5238  ax-nul 5248  ax-pow 5307  ax-pr 5374  ax-un 7677  ax-cnex 11073  ax-resscn 11074  ax-1cn 11075  ax-icn 11076  ax-addcl 11077  ax-addrcl 11078  ax-mulcl 11079  ax-mulrcl 11080  ax-mulcom 11081  ax-addass 11082  ax-mulass 11083  ax-distr 11084  ax-i2m1 11085  ax-1ne0 11086  ax-1rid 11087  ax-rnegex 11088  ax-rrecex 11089  ax-cnre 11090  ax-pre-lttri 11091  ax-pre-lttrn 11092  ax-pre-ltadd 11093  ax-pre-mulgt0 11094  ax-riotaBAD 39125

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2566  df-clab 2712  df-cleq 2725  df-clel 2808  df-nfc 2882  df-ne 2930  df-nel 3034  df-ral 3049  df-rex 3058  df-rmo 3347  df-reu 3348  df-rab 3397  df-v 3439  df-sbc 3738  df-csb 3847  df-dif 3901  df-un 3903  df-in 3905  df-ss 3915  df-pss 3918  df-nul 4283  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-tp 4582  df-op 4584  df-uni 4861  df-int 4900  df-iun 4945  df-iin 4946  df-br 5096  df-opab 5158  df-mpt 5177  df-tr 5203  df-id 5516  df-eprel 5521  df-po 5529  df-so 5530  df-fr 5574  df-we 5576  df-xp 5627  df-rel 5628  df-cnv 5629  df-co 5630  df-dm 5631  df-rn 5632  df-res 5633  df-ima 5634  df-pred 6256  df-ord 6317  df-on 6318  df-lim 6319  df-suc 6320  df-iota 6445  df-fun 6491  df-fn 6492  df-f 6493  df-f1 6494  df-fo 6495  df-f1o 6496  df-fv 6497  df-riota 7312  df-ov 7358  df-oprab 7359  df-mpo 7360  df-of 7619  df-om 7806  df-1st 7930  df-2nd 7931  df-tpos 8165  df-undef 8212  df-frecs 8220  df-wrecs 8251  df-recs 8300  df-rdg 8338  df-1o 8394  df-er 8631  df-map 8761  df-en 8880  df-dom 8881  df-sdom 8882  df-fin 8883  df-pnf 11159  df-mnf 11160  df-xr 11161  df-ltxr 11162  df-le 11163  df-sub 11357  df-neg 11358  df-nn 12137  df-2 12199  df-3 12200  df-4 12201  df-5 12202  df-6 12203  df-n0 12393  df-z 12480  df-uz 12743  df-fz 13415  df-struct 17065  df-sets 17082  df-slot 17100  df-ndx 17112  df-base 17128  df-ress 17149  df-plusg 17181  df-mulr 17182  df-sca 17184  df-vsca 17185  df-0g 17352  df-proset 18208  df-poset 18227  df-plt 18242  df-lub 18258  df-glb 18259  df-join 18260  df-meet 18261  df-p0 18337  df-p1 18338  df-lat 18346  df-clat 18413  df-mgm 18556  df-sgrp 18635  df-mnd 18651  df-submnd 18700  df-grp 18857  df-minusg 18858  df-sbg 18859  df-subg 19044  df-cntz 19237  df-lsm 19556  df-cmn 19702  df-abl 19703  df-mgp 20067  df-rng 20079  df-ur 20108  df-ring 20161  df-oppr 20264  df-dvdsr 20284  df-unit 20285  df-invr 20315  df-dvr 20328  df-drng 20655  df-lmod 20804  df-lss 20874  df-lsp 20914  df-lvec 21046  df-lsatoms 39148  df-lshyp 39149  df-lfl 39230  df-lkr 39258  df-ldual 39296  df-oposet 39348  df-ol 39350  df-oml 39351  df-covers 39438  df-ats 39439  df-atl 39470  df-cvlat 39494  df-hlat 39523  df-llines 39670  df-lplanes 39671  df-lvols 39672  df-lines 39673  df-psubsp 39675  df-pmap 39676  df-padd 39968  df-lhyp 40160  df-laut 40161  df-ldil 40276  df-ltrn 40277  df-trl 40331  df-tgrp 40915  df-tendo 40927  df-edring 40929  df-dveca 41175  df-disoa 41201  df-dvech 41251  df-dib 41311  df-dic 41345  df-dih 41401  df-doch 41520  df-djh 41567

This theorem is referenced by:  lclkrlem2i  41687