Theorem lclkrlem2e 39772

Description: Lemma for lclkr 39794. The kernel of the sum is closed when the kernels of the summands are equal and closed. (Contributed by NM, 17-Jan-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lclkrlem2e.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
lclkrlem2e.o	⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2e.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
lclkrlem2e.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
lclkrlem2e.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
lclkrlem2e.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
lclkrlem2e.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
lclkrlem2e.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
lclkrlem2e.p	⊢ + = (+g‘𝐷)
lclkrlem2e.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
lclkrlem2e.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
lclkrlem2e.e	⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
lclkrlem2e.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
lclkrlem2e.le	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
lclkrlem2e.ne	⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘𝐺))

Assertion

Ref	Expression
lclkrlem2e	⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Proof of Theorem lclkrlem2e

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lclkrlem2e.k	. . . . . 6 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
2	1	adantr 481	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
3		lclkrlem2e.x	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
4	3	eldifad 3909	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ 𝑉)
5	4	snssd 4755	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → {𝑋} ⊆ 𝑉)
6	5	adantr 481	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → {𝑋} ⊆ 𝑉)
7		lclkrlem2e.h	. . . . . . 7 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
8		eqid 2736	. . . . . . 7 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
9		lclkrlem2e.u	. . . . . . 7 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
10		lclkrlem2e.v	. . . . . . 7 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
11		lclkrlem2e.o	. . . . . . 7 ⊢ ⊥ = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
12	7, 8, 9, 10, 11	dochcl 39614	. . . . . 6 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ {𝑋} ⊆ 𝑉) → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
13	2, 6, 12	syl2anc 584	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
14	7, 8, 11	dochoc 39628	. . . . 5 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ ( ⊥ ‘{𝑋}) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋}))) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
15	2, 13, 14	syl2anc 584	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋}))) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
16		lclkrlem2e.le	. . . . . . . 8 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
17	16	adantr 481	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
18		inidm 4164	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐸)) = (𝐿‘𝐸)
19		lclkrlem2e.ne	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘𝐺))
20	19	ineq2d 4158	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐸)) = ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)))
21	18, 20	eqtr3id 2790	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) = ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)))
22		lclkrlem2e.f	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
23		lclkrlem2e.l	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
24		lclkrlem2e.d	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
25		lclkrlem2e.p	. . . . . . . . . . 11 ⊢ + = (+g‘𝐷)
26	7, 9, 1	dvhlmod 39371	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
27		lclkrlem2e.e	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐸 ∈ 𝐹)
28		lclkrlem2e.g	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
29	22, 23, 24, 25, 26, 27, 28	lkrin 37424	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘𝐸) ∩ (𝐿‘𝐺)) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
30	21, 29	eqsstrd 3969	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝜑 → (𝐿‘𝐸) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
31	30	adantr 481	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿‘𝐸) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
32		eqid 2736	. . . . . . . . 9 ⊢ (LSHyp‘𝑈) = (LSHyp‘𝑈)
33	7, 9, 1	dvhlvec 39370	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
34	33	adantr 481	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → 𝑈 ∈ LVec)
35		eqid 2736	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (LSpan‘𝑈) = (LSpan‘𝑈)
36	7, 9, 11, 10, 35, 1, 5	dochocsp 39640	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
37	36	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘{𝑋}))
38	17, 37	eqtr4d 2779	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿‘𝐸) = ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})))
39		eqid 2736	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
40		lclkrlem2e.z	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
41	10, 35, 40, 39, 26, 3	lsatlspsn 37253	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (𝜑 → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
42	41	adantr 481	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ((LSpan‘𝑈)‘{𝑋}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
43	7, 9, 11, 39, 32, 2, 42	dochsatshp 39712	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘((LSpan‘𝑈)‘{𝑋})) ∈ (LSHyp‘𝑈))
44	38, 43	eqeltrd 2837	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿‘𝐸) ∈ (LSHyp‘𝑈))
45		simpr 485	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈))
46	32, 34, 44, 45	lshpcmp 37248	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ((𝐿‘𝐸) ⊆ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
47	31, 46	mpbid 231	. . . . . . 7 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → (𝐿‘𝐸) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
48	17, 47	eqtr3d 2778	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘{𝑋}) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
49	48	fveq2d 6823	. . . . 5 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋})) = ( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
50	49	fveq2d 6823	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘( ⊥ ‘{𝑋}))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))))
51	15, 50, 48	3eqtr3d 2784	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈)) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))
52	51	ex 413	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈) → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
53	7, 9, 11, 10, 1	dochoc1 39622	. . 3 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)) = 𝑉)
54		2fveq3 6824	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)))
55		id 22	. . . 4 ⊢ ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉 → (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉)
56	54, 55	eqeq12d 2752	. . 3 ⊢ ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉 → (( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ↔ ( ⊥ ‘( ⊥ ‘𝑉)) = 𝑉))
57	53, 56	syl5ibrcom 246	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺))))
58	22, 24, 25, 26, 27, 28	ldualvaddcl 37390	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝐸 + 𝐺) ∈ 𝐹)
59	10, 32, 22, 23, 33, 58	lkrshpor 37367	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) ∈ (LSHyp‘𝑈) ∨ (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)) = 𝑉))
60	52, 57, 59	mpjaod 857	1 ⊢ (𝜑 → ( ⊥ ‘( ⊥ ‘(𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))) = (𝐿‘(𝐸 + 𝐺)))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 396   = wceq 1540   ∈ wcel 2105   ∖ cdif 3894   ∩ cin 3896   ⊆ wss 3897  {csn 4572  ran crn 5615  ‘cfv 6473  (class class class)co 7329  Basecbs 17001  +_gcplusg 17051  0_gc0g 17239  LSpanclspn 20331  LVecclvec 20462  LSAtomsclsa 37234  LSHypclsh 37235  LFnlclfn 37317  LKerclk 37345  LDualcld 37383  HLchlt 37610  LHypclh 38245  DVecHcdvh 39339  DIsoHcdih 39489  ocHcoch 39608

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2707  ax-rep 5226  ax-sep 5240  ax-nul 5247  ax-pow 5305  ax-pr 5369  ax-un 7642  ax-cnex 11020  ax-resscn 11021  ax-1cn 11022  ax-icn 11023  ax-addcl 11024  ax-addrcl 11025  ax-mulcl 11026  ax-mulrcl 11027  ax-mulcom 11028  ax-addass 11029  ax-mulass 11030  ax-distr 11031  ax-i2m1 11032  ax-1ne0 11033  ax-1rid 11034  ax-rnegex 11035  ax-rrecex 11036  ax-cnre 11037  ax-pre-lttri 11038  ax-pre-lttrn 11039  ax-pre-ltadd 11040  ax-pre-mulgt0 11041  ax-riotaBAD 37213

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3349  df-reu 3350  df-rab 3404  df-v 3443  df-sbc 3727  df-csb 3843  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-pss 3916  df-nul 4269  df-if 4473  df-pw 4548  df-sn 4573  df-pr 4575  df-tp 4577  df-op 4579  df-uni 4852  df-int 4894  df-iun 4940  df-iin 4941  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5173  df-tr 5207  df-id 5512  df-eprel 5518  df-po 5526  df-so 5527  df-fr 5569  df-we 5571  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-pred 6232  df-ord 6299  df-on 6300  df-lim 6301  df-suc 6302  df-iota 6425  df-fun 6475  df-fn 6476  df-f 6477  df-f1 6478  df-fo 6479  df-f1o 6480  df-fv 6481  df-riota 7286  df-ov 7332  df-oprab 7333  df-mpo 7334  df-of 7587  df-om 7773  df-1st 7891  df-2nd 7892  df-tpos 8104  df-undef 8151  df-frecs 8159  df-wrecs 8190  df-recs 8264  df-rdg 8303  df-1o 8359  df-er 8561  df-map 8680  df-en 8797  df-dom 8798  df-sdom 8799  df-fin 8800  df-pnf 11104  df-mnf 11105  df-xr 11106  df-ltxr 11107  df-le 11108  df-sub 11300  df-neg 11301  df-nn 12067  df-2 12129  df-3 12130  df-4 12131  df-5 12132  df-6 12133  df-n0 12327  df-z 12413  df-uz 12676  df-fz 13333  df-struct 16937  df-sets 16954  df-slot 16972  df-ndx 16984  df-base 17002  df-ress 17031  df-plusg 17064  df-mulr 17065  df-sca 17067  df-vsca 17068  df-0g 17241  df-proset 18102  df-poset 18120  df-plt 18137  df-lub 18153  df-glb 18154  df-join 18155  df-meet 18156  df-p0 18232  df-p1 18233  df-lat 18239  df-clat 18306  df-mgm 18415  df-sgrp 18464  df-mnd 18475  df-submnd 18520  df-grp 18668  df-minusg 18669  df-sbg 18670  df-subg 18840  df-cntz 19011  df-lsm 19329  df-cmn 19475  df-abl 19476  df-mgp 19808  df-ur 19825  df-ring 19872  df-oppr 19949  df-dvdsr 19970  df-unit 19971  df-invr 20001  df-dvr 20012  df-drng 20087  df-lmod 20223  df-lss 20292  df-lsp 20332  df-lvec 20463  df-lsatoms 37236  df-lshyp 37237  df-lfl 37318  df-lkr 37346  df-ldual 37384  df-oposet 37436  df-ol 37438  df-oml 37439  df-covers 37526  df-ats 37527  df-atl 37558  df-cvlat 37582  df-hlat 37611  df-llines 37759  df-lplanes 37760  df-lvols 37761  df-lines 37762  df-psubsp 37764  df-pmap 37765  df-padd 38057  df-lhyp 38249  df-laut 38250  df-ldil 38365  df-ltrn 38366  df-trl 38420  df-tgrp 39004  df-tendo 39016  df-edring 39018  df-dveca 39264  df-disoa 39290  df-dvech 39340  df-dib 39400  df-dic 39434  df-dih 39490  df-doch 39609  df-djh 39656

This theorem is referenced by:  lclkrlem2i  39776