Step | Hyp | Ref
| Expression |
1 | | eleq1 2820 |
. . 3
⊢ (𝑓 = 𝑌 → (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ 𝑌 ∈ 𝑅)) |
2 | | mapdrval.h |
. . . . 5
⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾) |
3 | | mapdrval.o |
. . . . 5
⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊) |
4 | | mapdrval.u |
. . . . 5
⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊) |
5 | | mapdrval.v |
. . . . 5
⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈) |
6 | | mapdrvallem2.n |
. . . . 5
⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈) |
7 | | mapdrvallem2.z |
. . . . 5
⊢ 0 =
(0g‘𝑈) |
8 | | mapdrval.f |
. . . . 5
⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈) |
9 | | mapdrval.l |
. . . . 5
⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈) |
10 | | mapdrval.d |
. . . . 5
⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈) |
11 | | mapdrvallem2.y |
. . . . 5
⊢ 𝑌 = (0g‘𝐷) |
12 | | mapdrval.c |
. . . . 5
⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)} |
13 | | mapdrval.k |
. . . . . . 7
⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) |
14 | 13 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . 6
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) |
15 | 14 | adantr 484 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) |
16 | | simpl2 1193 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ∈ 𝐶) |
17 | | simpr 488 |
. . . . . 6
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ≠ 𝑌) |
18 | | eldifsn 4675 |
. . . . . 6
⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌}) ↔ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓 ≠ 𝑌)) |
19 | 16, 17, 18 | sylanbrc 586 |
. . . . 5
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌})) |
20 | 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 19 | lcfl8b 39141 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) |
21 | | simp1l3 1269 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) |
22 | | eqimss2 3934 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) |
23 | 22 | 3ad2ant3 1136 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) |
24 | | mapdrval.s |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈) |
25 | 2, 4, 13 | dvhlmod 38747 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod) |
26 | 25 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑈 ∈ LMod) |
27 | 26 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑈 ∈ LMod) |
28 | 27 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ LMod) |
29 | 15 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) |
30 | 12 | lcfl1lem 39128 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓))) |
31 | 30 | simplbi 501 |
. . . . . . . . . . . . . . . . . 18
⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 → 𝑓 ∈ 𝐹) |
32 | 31 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑓 ∈ 𝐹) |
33 | 32 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ∈ 𝐹) |
34 | 33 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓 ∈ 𝐹) |
35 | 5, 8, 9, 28, 34 | lkrssv 36733 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝐿‘𝑓) ⊆ 𝑉) |
36 | 2, 4, 5, 24, 3 | dochlss 38991 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑓) ⊆ 𝑉) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆) |
37 | 29, 35, 36 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆) |
38 | | eldifi 4017 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝑉) |
39 | 38 | 3ad2ant2 1135 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑉) |
40 | 5, 24, 6, 28, 37, 39 | lspsnel5 19886 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))) |
41 | 23, 40 | mpbird 260 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) |
42 | 21, 41 | sseldd 3878 |
. . . . . . . . . 10
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑄) |
43 | | mapdrval.q |
. . . . . . . . . 10
⊢ 𝑄 = ∪ ℎ
∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) |
44 | 42, 43 | eleqtrdi 2843 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ ∪
ℎ ∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) |
45 | | eliun 4885 |
. . . . . . . . 9
⊢ (𝑥 ∈ ∪ ℎ
∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ↔ ∃ℎ ∈ 𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) |
46 | 44, 45 | sylib 221 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃ℎ ∈ 𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) |
47 | | eqid 2738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(Scalar‘𝑈) =
(Scalar‘𝑈) |
48 | | eqid 2738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈)) |
49 | | eqid 2738 |
. . . . . . . . . . 11
⊢ (
·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠
‘𝐷) |
50 | 2, 4, 13 | dvhlvec 38746 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec) |
51 | 50 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑈 ∈ LVec) |
52 | 51 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑈 ∈ LVec) |
53 | 52 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ LVec) |
54 | 53 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑈 ∈ LVec) |
55 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ℎ ∈ 𝑅) |
56 | | simp1l1 1267 |
. . . . . . . . . . . . . . . . 17
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝜑) |
57 | 56 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → 𝜑) |
58 | | mapdrval.e |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶) |
59 | 57, 58 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → 𝑅 ⊆ 𝐶) |
60 | 59 | sseld 3876 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (ℎ ∈ 𝑅 → ℎ ∈ 𝐶)) |
61 | 12 | lcfl1lem 39128 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (ℎ ∈ 𝐶 ↔ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘ℎ))) = (𝐿‘ℎ))) |
62 | 61 | simplbi 501 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ (ℎ ∈ 𝐶 → ℎ ∈ 𝐹) |
63 | 60, 62 | syl6 35 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (ℎ ∈ 𝑅 → ℎ ∈ 𝐹)) |
64 | 55, 63 | mpd 15 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ℎ ∈ 𝐹) |
65 | 64 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ℎ ∈ 𝐹) |
66 | 34 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑓 ∈ 𝐹) |
67 | | simpll3 1215 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) |
68 | 28 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑈 ∈ LMod) |
69 | 29 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻)) |
70 | 5, 8, 9, 68, 65 | lkrssv 36733 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐿‘ℎ) ⊆ 𝑉) |
71 | 2, 4, 5, 24, 3 | dochlss 38991 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘ℎ) ⊆ 𝑉) → (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ∈ 𝑆) |
72 | 69, 70, 71 | syl2anc 587 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ∈ 𝑆) |
73 | | simpr 488 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) |
74 | 24, 6, 68, 72, 73 | lspsnel5a 19887 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) |
75 | | mapdrvallem2.a |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈) |
76 | | simpll2 1214 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })) |
77 | 5, 6, 7, 75, 68, 76 | lsatlspsn 36630 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ 𝐴) |
78 | 2, 3, 4, 7, 75, 8,
9, 69, 65 | dochsat0 39094 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ((𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ∈ 𝐴 ∨ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) = { 0 })) |
79 | 7, 75, 54, 77, 78 | lsatcmp2 36641 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ↔ (𝑁‘{𝑥}) = (𝑂‘(𝐿‘ℎ)))) |
80 | 74, 79 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) |
81 | 67, 80 | eqtr2d 2774 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓))) |
82 | | eqid 2738 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) |
83 | 56, 58 | syl 17 |
. . . . . . . . . . . . . . . 16
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑅 ⊆ 𝐶) |
84 | 83 | sselda 3877 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ℎ ∈ 𝐶) |
85 | 84 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ℎ ∈ 𝐶) |
86 | 2, 82, 3, 4, 8, 9, 12, 69, 65 | lcfl5 39133 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (ℎ ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘ℎ) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))) |
87 | 85, 86 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐿‘ℎ) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) |
88 | | simp1l2 1268 |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓 ∈ 𝐶) |
89 | 88 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑓 ∈ 𝐶) |
90 | 2, 82, 3, 4, 8, 9, 12, 69, 66 | lcfl5 39133 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝑓) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))) |
91 | 89, 90 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐿‘𝑓) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)) |
92 | 2, 82, 3, 69, 87, 91 | doch11 39010 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ((𝑂‘(𝐿‘ℎ)) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ↔ (𝐿‘ℎ) = (𝐿‘𝑓))) |
93 | 81, 92 | mpbid 235 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐿‘ℎ) = (𝐿‘𝑓)) |
94 | 47, 48, 8, 9, 10, 49, 54, 65, 66, 93 | eqlkr4 36802 |
. . . . . . . . . 10
⊢
((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ)) |
95 | 94 | ex 416 |
. . . . . . . . 9
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ))) |
96 | 95 | reximdva 3184 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (∃ℎ ∈ 𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) → ∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ))) |
97 | 46, 96 | mpd 15 |
. . . . . . 7
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ)) |
98 | | eleq1 2820 |
. . . . . . . . . 10
⊢ (𝑓 = (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) → (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) |
99 | 98 | reximi 3157 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑟 ∈
(Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) |
100 | 99 | reximi 3157 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃ℎ ∈
𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) → ∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) |
101 | | rexcom 3259 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃ℎ ∈
𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ ∈ 𝑅 (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) |
102 | | df-rex 3059 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(∃ℎ ∈
𝑅 (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) ↔ ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) |
103 | 102 | rexbii 3161 |
. . . . . . . . 9
⊢
(∃𝑟 ∈
(Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ ∈ 𝑅 (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) |
104 | 101, 103 | bitri 278 |
. . . . . . . 8
⊢
(∃ℎ ∈
𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) |
105 | 100, 104 | sylib 221 |
. . . . . . 7
⊢
(∃ℎ ∈
𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) |
106 | 97, 105 | syl 17 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) |
107 | | mapdrval.t |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷) |
108 | 27 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → 𝑈 ∈ LMod) |
109 | | mapdrval.r |
. . . . . . . . . . . . . . 15
⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇) |
110 | 109 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . . . . . . . . . 14
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑅 ∈ 𝑇) |
111 | 110 | adantr 484 |
. . . . . . . . . . . . 13
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑅 ∈ 𝑇) |
112 | 111 | ad2antrr 726 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝑇) |
113 | | simplr 769 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) |
114 | | simprl 771 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → ℎ ∈ 𝑅) |
115 | 47, 48, 10, 49, 107, 108, 112, 113, 114 | ldualssvscl 36795 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) |
116 | | biimpr 223 |
. . . . . . . . . . . 12
⊢ ((𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) → ((𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅 → 𝑓 ∈ 𝑅)) |
117 | 116 | ad2antll 729 |
. . . . . . . . . . 11
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → ((𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅 → 𝑓 ∈ 𝑅)) |
118 | 115, 117 | mpd 15 |
. . . . . . . . . 10
⊢
(((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → 𝑓 ∈ 𝑅) |
119 | 118 | ex 416 |
. . . . . . . . 9
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → ((ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ 𝑅)) |
120 | 119 | exlimdv 1940 |
. . . . . . . 8
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → (∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ 𝑅)) |
121 | 120 | rexlimdva 3194 |
. . . . . . 7
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ 𝑅)) |
122 | 121 | 3ad2ant1 1134 |
. . . . . 6
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠
‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ 𝑅)) |
123 | 106, 122 | mpd 15 |
. . . . 5
⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓 ∈ 𝑅) |
124 | 123 | rexlimdv3a 3196 |
. . . 4
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}) → 𝑓 ∈ 𝑅)) |
125 | 20, 124 | mpd 15 |
. . 3
⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ∈ 𝑅) |
126 | 10, 25 | lduallmod 36790 |
. . . . 5
⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod) |
127 | 126 | 3ad2ant1 1134 |
. . . 4
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝐷 ∈ LMod) |
128 | 11, 107 | lss0cl 19837 |
. . . 4
⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑇) → 𝑌 ∈ 𝑅) |
129 | 127, 110,
128 | syl2anc 587 |
. . 3
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑌 ∈ 𝑅) |
130 | 1, 125, 129 | pm2.61ne 3019 |
. 2
⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑓 ∈ 𝑅) |
131 | 130 | rabssdv 3964 |
1
⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄} ⊆ 𝑅) |