Theorem mapdrvallem2 42670

Description: Lemma for mapdrval 42672. TODO: very long antecedents are dragged through proof in some places - see if it shortens proof to remove unused conjuncts. (Contributed by NM, 2-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdrval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdrval.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdrval.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdrval.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdrval.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapdrval.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapdrval.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
mapdrval.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdrval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
mapdrval.e	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)
mapdrval.q	⊢ 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘ℎ))
mapdrval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdrvallem2.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdrvallem2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdrvallem2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdrvallem2.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mapdrvallem2	⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄} ⊆ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐾   𝑔,ℎ,𝐿   𝑔,𝑂,ℎ   𝑄,𝑓,ℎ   𝑅,𝑓,ℎ   𝑈,𝑔   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓   𝐶,ℎ   ℎ,𝑁   𝑄,ℎ   𝑈,ℎ   ℎ,𝑉   ℎ,𝑌   0 ,ℎ   𝜑,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝑄(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝑆(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝑇(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝑈(𝑓)   𝐹(ℎ)   𝐻(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝐾(𝑔, ℎ)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑓, 𝑔, ℎ)   𝑁(𝑓, 𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓, 𝑔)   𝑊(𝑔, ℎ)   𝑌(𝑓, 𝑔)   0 (𝑓, 𝑔)

Proof of Theorem mapdrvallem2

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2849	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝑌 → (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ 𝑌 ∈ 𝑅))
2		mapdrval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdrval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdrval.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdrval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		mapdrvallem2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdrvallem2.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		mapdrval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		mapdrval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		mapdrval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
11		mapdrvallem2.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝐷)
12		mapdrval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
13		mapdrval.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14	13	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15	14	adantr 486	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ∈ 𝐶)
17		simpr 490	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ≠ 𝑌)
18		eldifsn 4748	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌}) ↔ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓 ≠ 𝑌))
19	16, 17, 18	sylanbrc 595	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌}))
20	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 19	lcfl8b 42529	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}))
21		simp1l3 1287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄)
22		eqimss2 3990	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
23	22	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
24		mapdrval.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
25	2, 4, 13	dvhlmod 42135	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
26	25	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑈 ∈ LMod)
27	26	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
28	27	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ LMod)
29	15	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30	12	lcfl1lem 42516	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)))
31	30	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 → 𝑓 ∈ 𝐹)
32	31	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑓 ∈ 𝐹)
33	32	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ∈ 𝐹)
34	33	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓 ∈ 𝐹)
35	5, 8, 9, 28, 34	lkrssv 40121	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝐿‘𝑓) ⊆ 𝑉)
36	2, 4, 5, 24, 3	dochlss 42379	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑓) ⊆ 𝑉) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆)
37	29, 35, 36	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆)
38		eldifi 4078	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝑉)
39	38	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
40	5, 24, 6, 28, 37, 39	ellspsn5b 21250	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘𝑓))))
41	23, 40	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
42	21, 41	sseldd 3932	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑄)
43		mapdrval.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘ℎ))
44	42, 43	eleqtrdi 2871	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ ∪ ℎ ∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘ℎ)))
45		eliun 4955	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ ℎ ∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ↔ ∃ℎ ∈ 𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)))
46	44, 45	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃ℎ ∈ 𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)))
47		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
48		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
49		eqid 2761	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
50	2, 4, 13	dvhlvec 42134	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
51	50	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑈 ∈ LVec)
52	51	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑈 ∈ LVec)
53	52	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ LVec)
54	53	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑈 ∈ LVec)
55		simpr 490	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ℎ ∈ 𝑅)
56		simp1l1 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝜑)
57	56	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → 𝜑)
58		mapdrval.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → 𝑅 ⊆ 𝐶)
60	59	sseld 3930	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (ℎ ∈ 𝑅 → ℎ ∈ 𝐶))
61	12	lcfl1lem 42516	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ 𝐶 ↔ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘ℎ))) = (𝐿‘ℎ)))
62	61	simplbi 502	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ 𝐶 → ℎ ∈ 𝐹)
63	60, 62	syl6 36	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (ℎ ∈ 𝑅 → ℎ ∈ 𝐹))
64	55, 63	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ℎ ∈ 𝐹)
65	64	adantr 486	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ℎ ∈ 𝐹)
66	34	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑓 ∈ 𝐹)
67		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}))
68	28	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑈 ∈ LMod)
69	29	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
70	5, 8, 9, 68, 65	lkrssv 40121	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐿‘ℎ) ⊆ 𝑉)
71	2, 4, 5, 24, 3	dochlss 42379	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘ℎ) ⊆ 𝑉) → (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ∈ 𝑆)
72	69, 70, 71	syl2anc 596	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ∈ 𝑆)
73		simpr 490	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)))
74	24, 6, 68, 72, 73	ellspsn5 21251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)))
75		mapdrvallem2.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
76		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
77	5, 6, 7, 75, 68, 76	lsatlspsn 40018	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
78	2, 3, 4, 7, 75, 8, 9, 69, 65	dochsat0 42482	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ((𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ∈ 𝐴 ∨ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) = { 0 }))
79	7, 75, 54, 77, 78	lsatcmp2 40029	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ↔ (𝑁‘{𝑥}) = (𝑂‘(𝐿‘ℎ))))
80	74, 79	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑂‘(𝐿‘ℎ)))
81	67, 80	eqtr2d 2797	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
82		eqid 2761	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
83	56, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑅 ⊆ 𝐶)
84	83	sselda 3931	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ℎ ∈ 𝐶)
85	84	adantr 486	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ℎ ∈ 𝐶)
86	2, 82, 3, 4, 8, 9, 12, 69, 65	lcfl5 42521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (ℎ ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘ℎ) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
87	85, 86	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐿‘ℎ) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
88		simp1l2 1286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓 ∈ 𝐶)
89	88	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑓 ∈ 𝐶)
90	2, 82, 3, 4, 8, 9, 12, 69, 66	lcfl5 42521	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝑓) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
91	89, 90	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐿‘𝑓) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
92	2, 82, 3, 69, 87, 91	doch11 42398	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ((𝑂‘(𝐿‘ℎ)) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ↔ (𝐿‘ℎ) = (𝐿‘𝑓)))
93	81, 92	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐿‘ℎ) = (𝐿‘𝑓))
94	47, 48, 8, 9, 10, 49, 54, 65, 66, 93	eqlkr4 40190	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ))
95	94	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ)))
96	95	reximdva 3176	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (∃ℎ ∈ 𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) → ∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ)))
97	46, 96	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ))
98		eleq1 2849	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) → (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))
99	98	reximi 3101	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))
100	99	reximi 3101	. . . . . . . 8 ⊢ (∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) → ∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))
101		rexcom 3292	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ ∈ 𝑅 (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))
102		df-rex 3088	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃ℎ ∈ 𝑅 (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) ↔ ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)))
103	102	rexbii 3110	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ ∈ 𝑅 (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)))
104	101, 103	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)))
105	100, 104	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)))
106	97, 105	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)))
107		mapdrval.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
108	27	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → 𝑈 ∈ LMod)
109		mapdrval.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
110	109	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑅 ∈ 𝑇)
111	110	adantr 486	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑅 ∈ 𝑇)
112	111	ad2antrr 739	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝑇)
113		simplr 781	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
114		simprl 783	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → ℎ ∈ 𝑅)
115	47, 48, 10, 49, 107, 108, 112, 113, 114	ldualssvscl 40183	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)
116		biimpr 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅 → 𝑓 ∈ 𝑅))
117	116	ad2antll 742	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅 → 𝑓 ∈ 𝑅))
118	115, 117	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → 𝑓 ∈ 𝑅)
119	118	ex 418	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → ((ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ 𝑅))
120	119	exlimdv 1966	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → (∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ 𝑅))
121	120	rexlimdva 3164	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ 𝑅))
122	121	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ 𝑅))
123	106, 122	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓 ∈ 𝑅)
124	123	rexlimdv3a 3168	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}) → 𝑓 ∈ 𝑅))
125	20, 124	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ∈ 𝑅)
126	10, 25	lduallmod 40178	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
127	126	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝐷 ∈ LMod)
128	11, 107	lss0cl 21202	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑇) → 𝑌 ∈ 𝑅)
129	127, 110, 128	syl2anc 596	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑌 ∈ 𝑅)
130	1, 125, 129	pm2.61ne 3041	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑓 ∈ 𝑅)
131	130	rabssdv 4022	1 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄} ⊆ 𝑅)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1812   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956  ∃wrex 3087  {crab 3413   ∖ cdif 3896   ⊆ wss 3899  {csn 4584  ∪ ciun 4951  ran crn 5652  ‘cfv 6531  (class class class)co 7412  Basecbs 17367  Scalarcsca 17411   ·_𝑠 cvsca 17412  0_gc0g 17590  LModclmod 21115  LSubSpclss 21186  LSpanclspn 21226  LVecclvec 21357  LSAtomsclsa 39999  LFnlclfn 40082  LKerclk 40110  LDualcld 40148  HLchlt 40375  LHypclh 41009  DVecHcdvh 42103  DIsoHcdih 42253  ocHcoch 42372  mapdcmpd 42649

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-rep 5232  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7740  ax-cnex 11237  ax-resscn 11238  ax-1cn 11239  ax-icn 11240  ax-addcl 11241  ax-addrcl 11242  ax-mulcl 11243  ax-mulrcl 11244  ax-mulcom 11245  ax-addass 11246  ax-mulass 11247  ax-distr 11248  ax-i2m1 11249  ax-1ne0 11250  ax-1rid 11251  ax-rnegex 11252  ax-rrecex 11253  ax-cnre 11254  ax-pre-lttri 11255  ax-pre-lttrn 11256  ax-pre-ltadd 11257  ax-pre-mulgt0 11258  ax-riotaBAD 39978

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-tp 4589  df-op 4591  df-uni 4868  df-int 4908  df-iun 4953  df-iin 4954  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6297  df-ord 6358  df-on 6359  df-lim 6360  df-suc 6361  df-iota 6487  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7682  df-om 7867  df-1st 7990  df-2nd 7991  df-tpos 8227  df-undef 8274  df-frecs 8283  df-wrecs 8314  df-recs 8363  df-rdg 8402  df-1o 8460  df-er 8701  df-map 8833  df-en 8958  df-dom 8959  df-sdom 8960  df-fin 8961  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-xr 11328  df-ltxr 11329  df-le 11330  df-sub 11524  df-neg 11525  df-nn 12317  df-2 12386  df-3 12387  df-4 12388  df-5 12389  df-6 12390  df-n0 12588  df-z 12675  df-uz 12947  df-fz 13621  df-struct 17305  df-sets 17322  df-slot 17340  df-ndx 17352  df-base 17368  df-ress 17389  df-plusg 17421  df-mulr 17422  df-sca 17424  df-vsca 17425  df-0g 17592  df-proset 18448  df-poset 18467  df-plt 18482  df-lub 18498  df-glb 18499  df-join 18500  df-meet 18501  df-p0 18577  df-p1 18578  df-lat 18586  df-clat 18653  df-mgm 18796  df-sgrp 18888  df-mnd 18904  df-submnd 18959  df-grp 19127  df-minusg 19128  df-sbg 19129  df-subg 19313  df-cntz 19511  df-lsm 19830  df-cmn 19976  df-abl 19977  df-mgp 20341  df-rng 20355  df-ur 20388  df-ring 20441  df-oppr 20547  df-dvdsr 20567  df-unit 20568  df-invr 20598  df-dvr 20611  df-drng 20962  df-lmod 21117  df-lss 21187  df-lsp 21227  df-lvec 21358  df-lsatoms 40001  df-lshyp 40002  df-lfl 40083  df-lkr 40111  df-ldual 40149  df-oposet 40201  df-ol 40203  df-oml 40204  df-covers 40291  df-ats 40292  df-atl 40323  df-cvlat 40347  df-hlat 40376  df-llines 40523  df-lplanes 40524  df-lvols 40525  df-lines 40526  df-psubsp 40528  df-pmap 40529  df-padd 40821  df-lhyp 41013  df-laut 41014  df-ldil 41129  df-ltrn 41130  df-trl 41184  df-tgrp 41768  df-tendo 41780  df-edring 41782  df-dveca 42028  df-disoa 42054  df-dvech 42104  df-dib 42164  df-dic 42198  df-dih 42254  df-doch 42373  df-djh 42420

This theorem is used by:  mapdrvallem3  42671