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Theorem mapdrvallem2 37420
Description: Lemma for mapdrval 37422. TODO: very long antecedents are dragged through proof in some places - see if it shortens proof to remove unused conjuncts. (Contributed by NM, 2-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdrval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdrval.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdrval.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdrval.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdrval.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapdrval.t 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapdrval.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
mapdrval.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdrval.r (𝜑𝑅𝑇)
mapdrval.e (𝜑𝑅𝐶)
mapdrval.q 𝑄 = 𝑅 (𝑂‘(𝐿))
mapdrval.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdrvallem2.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdrvallem2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdrvallem2.z 0 = (0g𝑈)
mapdrvallem2.y 𝑌 = (0g𝐷)
Assertion
Ref Expression
mapdrvallem2 (𝜑 → {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄} ⊆ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐾   𝑔,,𝐿   𝑔,𝑂,   𝑄,𝑓,   𝑅,𝑓,   𝑈,𝑔   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓   𝐶,   ,𝑁   𝑄,   𝑈,   ,𝑉   ,𝑌   0 ,   𝜑,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔,)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑓,𝑔,)   𝑄(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔,)   𝑇(𝑓,𝑔,)   𝑈(𝑓)   𝐹()   𝐻(𝑓,𝑔,)   𝐾(𝑔,)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑓,𝑔,)   𝑁(𝑓,𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑔,)   𝑌(𝑓,𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mapdrvallem2
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2869 . . 3 (𝑓 = 𝑌 → (𝑓𝑅𝑌𝑅))
2 mapdrval.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdrval.o . . . . 5 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdrval.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdrval.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 mapdrvallem2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdrvallem2.z . . . . 5 0 = (0g𝑈)
8 mapdrval.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9 mapdrval.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10 mapdrval.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑈)
11 mapdrvallem2.y . . . . 5 𝑌 = (0g𝐷)
12 mapdrval.c . . . . 5 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
13 mapdrval.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
14133ad2ant1 1156 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1514adantr 468 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simpl2 1237 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓𝐶)
17 simpr 473 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓𝑌)
18 eldifsn 4502 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌}) ↔ (𝑓𝐶𝑓𝑌))
1916, 17, 18sylanbrc 574 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌}))
202, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 19lcfl8b 37279 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}))
21 simp1l3 1360 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄)
22 eqimss2 3849 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿𝑓)))
23223ad2ant3 1158 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿𝑓)))
24 mapdrval.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
252, 4, 13dvhlmod 36885 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
26253ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑈 ∈ LMod)
2726adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
28273ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ LMod)
29153ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3012lcfl1lem 37266 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓𝐶 ↔ (𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)))
3130simplbi 487 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓𝐶𝑓𝐹)
32313ad2ant2 1157 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑓𝐹)
3332adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓𝐹)
34333ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓𝐹)
355, 8, 9, 28, 34lkrssv 34870 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝐿𝑓) ⊆ 𝑉)
362, 4, 5, 24, 3dochlss 37129 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝑓) ⊆ 𝑉) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ 𝑆)
3729, 35, 36syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ 𝑆)
38 eldifi 3925 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥𝑉)
39383ad2ant2 1157 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥𝑉)
405, 24, 6, 28, 37, 39lspsnel5 19196 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿𝑓))))
4123, 40mpbird 248 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿𝑓)))
4221, 41sseldd 3793 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥𝑄)
43 mapdrval.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = 𝑅 (𝑂‘(𝐿))
4442, 43syl6eleq 2891 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 𝑅 (𝑂‘(𝐿)))
45 eliun 4709 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑅 (𝑂‘(𝐿)) ↔ ∃𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)))
4644, 45sylib 209 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)))
47 eqid 2802 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
48 eqid 2802 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
49 eqid 2802 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
502, 4, 13dvhlvec 36884 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
51503ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑈 ∈ LVec)
5251adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑈 ∈ LVec)
53523ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ LVec)
5453ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑈 ∈ LVec)
55 simpr 473 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝑅)
56 simp1l1 1358 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝜑)
5756adantr 468 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝜑)
58 mapdrval.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅𝐶)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝑅𝐶)
6059sseld 3791 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → (𝑅𝐶))
6112lcfl1lem 37266 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ↔ (𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿))) = (𝐿)))
6261simplbi 487 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶𝐹)
6360, 62syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → (𝑅𝐹))
6455, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝐹)
6564adantr 468 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝐹)
6634ad2antrr 708 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑓𝐹)
67 simpll3 1266 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}))
6828ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑈 ∈ LMod)
6929ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
705, 8, 9, 68, 65lkrssv 34870 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐿) ⊆ 𝑉)
712, 4, 5, 24, 3dochlss 37129 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿) ⊆ 𝑉) → (𝑂‘(𝐿)) ∈ 𝑆)
7269, 70, 71syl2anc 575 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑂‘(𝐿)) ∈ 𝑆)
73 simpr 473 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)))
7424, 6, 68, 72, 73lspsnel5a 19197 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿)))
75 mapdrvallem2.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
76 simpll2 1264 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
775, 6, 7, 75, 68, 76lsatlspsn 34767 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
782, 3, 4, 7, 75, 8, 9, 69, 65dochsat0 37232 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → ((𝑂‘(𝐿)) ∈ 𝐴 ∨ (𝑂‘(𝐿)) = { 0 }))
797, 75, 54, 77, 78lsatcmp2 34778 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿)) ↔ (𝑁‘{𝑥}) = (𝑂‘(𝐿))))
8074, 79mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑂‘(𝐿)))
8167, 80eqtr2d 2837 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑂‘(𝐿)) = (𝑂‘(𝐿𝑓)))
82 eqid 2802 . . . . . . . . . . . . 13 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8356, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑅𝐶)
8483sselda 3792 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝐶)
8584adantr 468 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝐶)
862, 82, 3, 4, 8, 9, 12, 69, 65lcfl5 37271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐶 ↔ (𝐿) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
8785, 86mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐿) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
88 simp1l2 1359 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓𝐶)
8988ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑓𝐶)
902, 82, 3, 4, 8, 9, 12, 69, 66lcfl5 37271 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑓𝐶 ↔ (𝐿𝑓) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
9189, 90mpbid 223 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐿𝑓) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
922, 82, 3, 69, 87, 91doch11 37148 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → ((𝑂‘(𝐿)) = (𝑂‘(𝐿𝑓)) ↔ (𝐿) = (𝐿𝑓)))
9381, 92mpbid 223 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐿) = (𝐿𝑓))
9447, 48, 8, 9, 10, 49, 54, 65, 66, 93eqlkr4 34939 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)))
9594ex 399 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷))))
9695reximdva 3200 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (∃𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)) → ∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷))))
9746, 96mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)))
98 eleq1 2869 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)) → (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))
9998reximi 3194 . . . . . . . . 9 (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))
10099reximi 3194 . . . . . . . 8 (∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)) → ∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))
101 rexcom 3283 . . . . . . . . 9 (∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑅 (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))
102 df-rex 3098 . . . . . . . . . 10 (∃𝑅 (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) ↔ ∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
103102rexbii 3225 . . . . . . . . 9 (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑅 (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
104101, 103bitri 266 . . . . . . . 8 (∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
105100, 104sylib 209 . . . . . . 7 (∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
10697, 105syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
107 mapdrval.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
10827ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑈 ∈ LMod)
109 mapdrval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅𝑇)
1101093ad2ant1 1156 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑅𝑇)
111110adantr 468 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑅𝑇)
112111ad2antrr 708 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑅𝑇)
113 simplr 776 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
114 simprl 778 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑅)
11547, 48, 10, 49, 107, 108, 112, 113, 114ldualssvscl 34932 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)
116 biimpr 211 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) → ((𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅𝑓𝑅))
117116ad2antll 711 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → ((𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅𝑓𝑅))
118115, 117mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑓𝑅)
119118ex 399 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → ((𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)) → 𝑓𝑅))
120119exlimdv 2023 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → (∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)) → 𝑓𝑅))
121120rexlimdva 3215 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)) → 𝑓𝑅))
1221213ad2ant1 1156 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)) → 𝑓𝑅))
123106, 122mpd 15 . . . . 5 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓𝑅)
124123rexlimdv3a 3217 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}) → 𝑓𝑅))
12520, 124mpd 15 . . 3 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓𝑅)
12610, 25lduallmod 34927 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
1271263ad2ant1 1156 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝐷 ∈ LMod)
12811, 107lss0cl 19145 . . . 4 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑅𝑇) → 𝑌𝑅)
129127, 110, 128syl2anc 575 . . 3 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑌𝑅)
1301, 125, 129pm2.61ne 3059 . 2 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑓𝑅)
131130rabssdv 3873 1 (𝜑 → {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄} ⊆ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 197  wa 384  w3a 1100   = wceq 1637  wex 1859  wcel 2155  wne 2974  wrex 3093  {crab 3096  cdif 3760  wss 3763  {csn 4364   ciun 4705  ran crn 5306  cfv 6095  (class class class)co 6868  Basecbs 16062  Scalarcsca 16150   ·𝑠 cvsca 16151  0gc0g 16299  LModclmod 19061  LSubSpclss 19130  LSpanclspn 19172  LVecclvec 19303  LSAtomsclsa 34748  LFnlclfn 34831  LKerclk 34859  LDualcld 34897  HLchlt 35124  LHypclh 35758  DVecHcdvh 36853  DIsoHcdih 37003  ocHcoch 37122  mapdcmpd 37399
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1877  ax-4 1894  ax-5 2001  ax-6 2067  ax-7 2103  ax-8 2157  ax-9 2164  ax-10 2184  ax-11 2200  ax-12 2213  ax-13 2419  ax-ext 2781  ax-rep 4957  ax-sep 4968  ax-nul 4977  ax-pow 5029  ax-pr 5090  ax-un 7173  ax-cnex 10271  ax-resscn 10272  ax-1cn 10273  ax-icn 10274  ax-addcl 10275  ax-addrcl 10276  ax-mulcl 10277  ax-mulrcl 10278  ax-mulcom 10279  ax-addass 10280  ax-mulass 10281  ax-distr 10282  ax-i2m1 10283  ax-1ne0 10284  ax-1rid 10285  ax-rnegex 10286  ax-rrecex 10287  ax-cnre 10288  ax-pre-lttri 10289  ax-pre-lttrn 10290  ax-pre-ltadd 10291  ax-pre-mulgt0 10292  ax-riotaBAD 34726
This theorem depends on definitions:  df-bi 198  df-an 385  df-or 866  df-3or 1101  df-3an 1102  df-tru 1641  df-fal 1651  df-ex 1860  df-nf 1864  df-sb 2060  df-eu 2633  df-mo 2634  df-clab 2789  df-cleq 2795  df-clel 2798  df-nfc 2933  df-ne 2975  df-nel 3078  df-ral 3097  df-rex 3098  df-reu 3099  df-rmo 3100  df-rab 3101  df-v 3389  df-sbc 3628  df-csb 3723  df-dif 3766  df-un 3768  df-in 3770  df-ss 3777  df-pss 3779  df-nul 4111  df-if 4274  df-pw 4347  df-sn 4365  df-pr 4367  df-tp 4369  df-op 4371  df-uni 4624  df-int 4663  df-iun 4707  df-iin 4708  df-br 4838  df-opab 4900  df-mpt 4917  df-tr 4940  df-id 5213  df-eprel 5218  df-po 5226  df-so 5227  df-fr 5264  df-we 5266  df-xp 5311  df-rel 5312  df-cnv 5313  df-co 5314  df-dm 5315  df-rn 5316  df-res 5317  df-ima 5318  df-pred 5887  df-ord 5933  df-on 5934  df-lim 5935  df-suc 5936  df-iota 6058  df-fun 6097  df-fn 6098  df-f 6099  df-f1 6100  df-fo 6101  df-f1o 6102  df-fv 6103  df-riota 6829  df-ov 6871  df-oprab 6872  df-mpt2 6873  df-of 7121  df-om 7290  df-1st 7392  df-2nd 7393  df-tpos 7581  df-undef 7628  df-wrecs 7636  df-recs 7698  df-rdg 7736  df-1o 7790  df-oadd 7794  df-er 7973  df-map 8088  df-en 8187  df-dom 8188  df-sdom 8189  df-fin 8190  df-pnf 10355  df-mnf 10356  df-xr 10357  df-ltxr 10358  df-le 10359  df-sub 10547  df-neg 10548  df-nn 11300  df-2 11358  df-3 11359  df-4 11360  df-5 11361  df-6 11362  df-n0 11554  df-z 11638  df-uz 11899  df-fz 12544  df-struct 16064  df-ndx 16065  df-slot 16066  df-base 16068  df-sets 16069  df-ress 16070  df-plusg 16160  df-mulr 16161  df-sca 16163  df-vsca 16164  df-0g 16301  df-proset 17127  df-poset 17145  df-plt 17157  df-lub 17173  df-glb 17174  df-join 17175  df-meet 17176  df-p0 17238  df-p1 17239  df-lat 17245  df-clat 17307  df-mgm 17441  df-sgrp 17483  df-mnd 17494  df-submnd 17535  df-grp 17624  df-minusg 17625  df-sbg 17626  df-subg 17787  df-cntz 17945  df-lsm 18246  df-cmn 18390  df-abl 18391  df-mgp 18686  df-ur 18698  df-ring 18745  df-oppr 18819  df-dvdsr 18837  df-unit 18838  df-invr 18868  df-dvr 18879  df-drng 18947  df-lmod 19063  df-lss 19131  df-lsp 19173  df-lvec 19304  df-lsatoms 34750  df-lshyp 34751  df-lfl 34832  df-lkr 34860  df-ldual 34898  df-oposet 34950  df-ol 34952  df-oml 34953  df-covers 35040  df-ats 35041  df-atl 35072  df-cvlat 35096  df-hlat 35125  df-llines 35272  df-lplanes 35273  df-lvols 35274  df-lines 35275  df-psubsp 35277  df-pmap 35278  df-padd 35570  df-lhyp 35762  df-laut 35763  df-ldil 35878  df-ltrn 35879  df-trl 35934  df-tgrp 36518  df-tendo 36530  df-edring 36532  df-dveca 36778  df-disoa 36804  df-dvech 36854  df-dib 36914  df-dic 36948  df-dih 37004  df-doch 37123  df-djh 37170
This theorem is referenced by:  mapdrvallem3  37421
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