Theorem mapdrvallem2 42400

Description: Lemma for mapdrval 42402. TODO: very long antecedents are dragged through proof in some places - see if it shortens proof to remove unused conjuncts. (Contributed by NM, 2-Feb-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdrval.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdrval.o	⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.s	⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdrval.f	⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdrval.l	⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdrval.d	⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapdrval.t	⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapdrval.c	⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
mapdrval.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdrval.r	⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
mapdrval.e	⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)
mapdrval.q	⊢ 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘ℎ))
mapdrval.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdrvallem2.a	⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdrvallem2.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdrvallem2.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdrvallem2.y	⊢ 𝑌 = (0g‘𝐷)

Assertion

Ref	Expression
mapdrvallem2	⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄} ⊆ 𝑅)

Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐾   𝑔,ℎ,𝐿   𝑔,𝑂,ℎ   𝑄,𝑓,ℎ   𝑅,𝑓,ℎ   𝑈,𝑔   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓   𝐶,ℎ   ℎ,𝑁   𝑄,ℎ   𝑈,ℎ   ℎ,𝑉   ℎ,𝑌   0 ,ℎ   𝜑,ℎ

Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔,ℎ)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑓,𝑔,ℎ)   𝑄(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔,ℎ)   𝑇(𝑓,𝑔,ℎ)   𝑈(𝑓)   𝐹(ℎ)   𝐻(𝑓,𝑔,ℎ)   𝐾(𝑔,ℎ)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑓,𝑔,ℎ)   𝑁(𝑓,𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑔,ℎ)   𝑌(𝑓,𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mapdrvallem2

Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eleq1 2851	. . 3 ⊢ (𝑓 = 𝑌 → (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ 𝑌 ∈ 𝑅))
2		mapdrval.h	. . . . 5 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3		mapdrval.o	. . . . 5 ⊢ 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4		mapdrval.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5		mapdrval.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
6		mapdrvallem2.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7		mapdrvallem2.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
8		mapdrval.f	. . . . 5 ⊢ 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9		mapdrval.l	. . . . 5 ⊢ 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10		mapdrval.d	. . . . 5 ⊢ 𝐷 = (LDual‘𝑈)
11		mapdrvallem2.y	. . . . 5 ⊢ 𝑌 = (0g‘𝐷)
12		mapdrval.c	. . . . 5 ⊢ 𝐶 = {𝑔 ∈ 𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑔))) = (𝐿‘𝑔)}
13		mapdrval.k	. . . . . . 7 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
14	13	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
15	14	adantr 485	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
16		simpl2 1211	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ∈ 𝐶)
17		simpr 489	. . . . . 6 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ≠ 𝑌)
18		eldifsn 4754	. . . . . 6 ⊢ (𝑓 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌}) ↔ (𝑓 ∈ 𝐶 ∧ 𝑓 ≠ 𝑌))
19	16, 17, 18	sylanbrc 594	. . . . 5 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌}))
20	2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 19	lcfl8b 42259	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}))
21		simp1l3 1287	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄)
22		eqimss2 3997	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
23	22	3ad2ant3 1153	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
24		mapdrval.s	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
25	2, 4, 13	dvhlmod 41865	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
26	25	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑈 ∈ LMod)
27	26	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
28	27	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ LMod)
29	15	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
30	12	lcfl1lem 42246	. . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ (𝑓 ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘𝑓))) = (𝐿‘𝑓)))
31	30	simplbi 501	. . . . . . . . . . . . . . . . . 18 ⊢ (𝑓 ∈ 𝐶 → 𝑓 ∈ 𝐹)
32	31	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑓 ∈ 𝐹)
33	32	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ∈ 𝐹)
34	33	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓 ∈ 𝐹)
35	5, 8, 9, 28, 34	lkrssv 39851	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝐿‘𝑓) ⊆ 𝑉)
36	2, 4, 5, 24, 3	dochlss 42109	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘𝑓) ⊆ 𝑉) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆)
37	29, 35, 36	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ∈ 𝑆)
38		eldifi 4086	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥 ∈ 𝑉)
39	38	3ad2ant2 1152	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑉)
40	5, 24, 6, 28, 37, 39	ellspsn5b 21097	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘𝑓))))
41	23, 40	mpbird 260	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
42	21, 41	sseldd 3939	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ 𝑄)
43		mapdrval.q	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝑄 = ∪ ℎ ∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘ℎ))
44	42, 43	eleqtrdi 2873	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ ∪ ℎ ∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘ℎ)))
45		eliun 4961	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝑥 ∈ ∪ ℎ ∈ 𝑅 (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ↔ ∃ℎ ∈ 𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)))
46	44, 45	sylib 221	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃ℎ ∈ 𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)))
47		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
48		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
49		eqid 2763	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ( ·𝑠 ‘𝐷) = ( ·𝑠 ‘𝐷)
50	2, 4, 13	dvhlvec 41864	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LVec)
51	50	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑈 ∈ LVec)
52	51	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑈 ∈ LVec)
53	52	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ LVec)
54	53	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑈 ∈ LVec)
55		simpr 489	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ℎ ∈ 𝑅)
56		simp1l1 1285	. . . . . . . . . . . . . . . . 17 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝜑)
57	56	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → 𝜑)
58		mapdrval.e	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ⊆ 𝐶)
59	57, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → 𝑅 ⊆ 𝐶)
60	59	sseld 3937	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (ℎ ∈ 𝑅 → ℎ ∈ 𝐶))
61	12	lcfl1lem 42246	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (ℎ ∈ 𝐶 ↔ (ℎ ∈ 𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿‘ℎ))) = (𝐿‘ℎ)))
62	61	simplbi 501	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ (ℎ ∈ 𝐶 → ℎ ∈ 𝐹)
63	60, 62	syl6 36	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (ℎ ∈ 𝑅 → ℎ ∈ 𝐹))
64	55, 63	mpd 16	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ℎ ∈ 𝐹)
65	64	adantr 485	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ℎ ∈ 𝐹)
66	34	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑓 ∈ 𝐹)
67		simpll3 1233	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}))
68	28	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑈 ∈ LMod)
69	29	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
70	5, 8, 9, 68, 65	lkrssv 39851	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐿‘ℎ) ⊆ 𝑉)
71	2, 4, 5, 24, 3	dochlss 42109	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻) ∧ (𝐿‘ℎ) ⊆ 𝑉) → (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ∈ 𝑆)
72	69, 70, 71	syl2anc 595	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ∈ 𝑆)
73		simpr 489	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)))
74	24, 6, 68, 72, 73	ellspsn5 21098	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)))
75		mapdrvallem2.a	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
76		simpll2 1232	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
77	5, 6, 7, 75, 68, 76	lsatlspsn 39748	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
78	2, 3, 4, 7, 75, 8, 9, 69, 65	dochsat0 42212	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ((𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ∈ 𝐴 ∨ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) = { 0 }))
79	7, 75, 54, 77, 78	lsatcmp2 39759	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) ↔ (𝑁‘{𝑥}) = (𝑂‘(𝐿‘ℎ))))
80	74, 79	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑂‘(𝐿‘ℎ)))
81	67, 80	eqtr2d 2799	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)))
82		eqid 2763	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
83	56, 58	syl 18	. . . . . . . . . . . . . . . 16 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑅 ⊆ 𝐶)
84	83	sselda 3938	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → ℎ ∈ 𝐶)
85	84	adantr 485	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ℎ ∈ 𝐶)
86	2, 82, 3, 4, 8, 9, 12, 69, 65	lcfl5 42251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (ℎ ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘ℎ) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
87	85, 86	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐿‘ℎ) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
88		simp1l2 1286	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓 ∈ 𝐶)
89	88	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → 𝑓 ∈ 𝐶)
90	2, 82, 3, 4, 8, 9, 12, 69, 66	lcfl5 42251	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝑓 ∈ 𝐶 ↔ (𝐿‘𝑓) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
91	89, 90	mpbid 235	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐿‘𝑓) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
92	2, 82, 3, 69, 87, 91	doch11 42128	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ((𝑂‘(𝐿‘ℎ)) = (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ↔ (𝐿‘ℎ) = (𝐿‘𝑓)))
93	81, 92	mpbid 235	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → (𝐿‘ℎ) = (𝐿‘𝑓))
94	47, 48, 8, 9, 10, 49, 54, 65, 66, 93	eqlkr4 39920	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ))) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ))
95	94	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ ℎ ∈ 𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ)))
96	95	reximdva 3178	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (∃ℎ ∈ 𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿‘ℎ)) → ∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ)))
97	46, 96	mpd 16	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ))
98		eleq1 2851	. . . . . . . . . 10 ⊢ (𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) → (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))
99	98	reximi 3103	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))
100	99	reximi 3103	. . . . . . . 8 ⊢ (∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) → ∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))
101		rexcom 3294	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ ∈ 𝑅 (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))
102		df-rex 3090	. . . . . . . . . 10 ⊢ (∃ℎ ∈ 𝑅 (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) ↔ ∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)))
103	102	rexbii 3112	. . . . . . . . 9 ⊢ (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ ∈ 𝑅 (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)))
104	101, 103	bitri 278	. . . . . . . 8 ⊢ (∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)))
105	100, 104	sylib 221	. . . . . . 7 ⊢ (∃ℎ ∈ 𝑅 ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)))
106	97, 105	syl 18	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)))
107		mapdrval.t	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
108	27	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → 𝑈 ∈ LMod)
109		mapdrval.r	. . . . . . . . . . . . . . 15 ⊢ (𝜑 → 𝑅 ∈ 𝑇)
110	109	3ad2ant1 1151	. . . . . . . . . . . . . 14 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑅 ∈ 𝑇)
111	110	adantr 485	. . . . . . . . . . . . 13 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑅 ∈ 𝑇)
112	111	ad2antrr 738	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → 𝑅 ∈ 𝑇)
113		simplr 780	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
114		simprl 782	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → ℎ ∈ 𝑅)
115	47, 48, 10, 49, 107, 108, 112, 113, 114	ldualssvscl 39913	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)
116		biimpr 223	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅 → 𝑓 ∈ 𝑅))
117	116	ad2antll 741	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → ((𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅 → 𝑓 ∈ 𝑅))
118	115, 117	mpd 16	. . . . . . . . . 10 ⊢ (((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅))) → 𝑓 ∈ 𝑅)
119	118	ex 417	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → ((ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ 𝑅))
120	119	exlimdv 1963	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → (∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ 𝑅))
121	120	rexlimdva 3166	. . . . . . 7 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ 𝑅))
122	121	3ad2ant1 1151	. . . . . 6 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃ℎ(ℎ ∈ 𝑅 ∧ (𝑓 ∈ 𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠 ‘𝐷)ℎ) ∈ 𝑅)) → 𝑓 ∈ 𝑅))
123	106, 122	mpd 16	. . . . 5 ⊢ ((((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓 ∈ 𝑅)
124	123	rexlimdv3a 3170	. . . 4 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑂‘(𝐿‘𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}) → 𝑓 ∈ 𝑅))
125	20, 124	mpd 16	. . 3 ⊢ (((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓 ≠ 𝑌) → 𝑓 ∈ 𝑅)
126	10, 25	lduallmod 39908	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝐷 ∈ LMod)
127	126	3ad2ant1 1151	. . . 4 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝐷 ∈ LMod)
128	11, 107	lss0cl 21049	. . . 4 ⊢ ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑅 ∈ 𝑇) → 𝑌 ∈ 𝑅)
129	127, 110, 128	syl2anc 595	. . 3 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑌 ∈ 𝑅)
130	1, 125, 129	pm2.61ne 3043	. 2 ⊢ ((𝜑 ∧ 𝑓 ∈ 𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑓 ∈ 𝑅)
131	130	rabssdv 4029	1 ⊢ (𝜑 → {𝑓 ∈ 𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿‘𝑓)) ⊆ 𝑄} ⊆ 𝑅)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 400   ∧ w3a 1103   = wceq 1570  ∃wex 1809   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958  ∃wrex 3089  {crab 3416   ∖ cdif 3903   ⊆ wss 3906  {csn 4590  ∪ ciun 4957  ran crn 5664  ‘cfv 6538  (class class class)co 7412  Basecbs 17270  Scalarcsca 17314   ·_𝑠 cvsca 17315  0_gc0g 17493  LModclmod 20962  LSubSpclss 21033  LSpanclspn 21073  LVecclvec 21204  LSAtomsclsa 39729  LFnlclfn 39812  LKerclk 39840  LDualcld 39878  HLchlt 40105  LHypclh 40739  DVecHcdvh 41833  DIsoHcdih 41983  ocHcoch 42102  mapdcmpd 42379

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-rep 5239  ax-sep 5258  ax-nul 5270  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7734  ax-cnex 11157  ax-resscn 11158  ax-1cn 11159  ax-icn 11160  ax-addcl 11161  ax-addrcl 11162  ax-mulcl 11163  ax-mulrcl 11164  ax-mulcom 11165  ax-addass 11166  ax-mulass 11167  ax-distr 11168  ax-i2m1 11169  ax-1ne0 11170  ax-1rid 11171  ax-rnegex 11172  ax-rrecex 11173  ax-cnre 11174  ax-pre-lttri 11175  ax-pre-lttrn 11176  ax-pre-ltadd 11177  ax-pre-mulgt0 11178  ax-riotaBAD 39708

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rmo 3369  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3746  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-pss 3926  df-nul 4288  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4591  df-pr 4593  df-tp 4595  df-op 4597  df-uni 4874  df-int 4914  df-iun 4959  df-iin 4960  df-br 5111  df-opab 5175  df-mpt 5194  df-tr 5220  df-id 5558  df-eprel 5563  df-po 5571  df-so 5572  df-fr 5616  df-we 5618  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7369  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-of 7676  df-om 7864  df-1st 7987  df-2nd 7988  df-tpos 8223  df-undef 8270  df-frecs 8279  df-wrecs 8310  df-recs 8359  df-rdg 8398  df-1o 8454  df-er 8695  df-map 8827  df-en 8945  df-dom 8946  df-sdom 8947  df-fin 8948  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-xr 11248  df-ltxr 11249  df-le 11250  df-sub 11444  df-neg 11445  df-nn 12235  df-2 12304  df-3 12305  df-4 12306  df-5 12307  df-6 12308  df-n0 12506  df-z 12593  df-uz 12864  df-fz 13537  df-struct 17208  df-sets 17225  df-slot 17243  df-ndx 17255  df-base 17271  df-ress 17292  df-plusg 17324  df-mulr 17325  df-sca 17327  df-vsca 17328  df-0g 17495  df-proset 18351  df-poset 18370  df-plt 18385  df-lub 18401  df-glb 18402  df-join 18403  df-meet 18404  df-p0 18480  df-p1 18481  df-lat 18489  df-clat 18556  df-mgm 18699  df-sgrp 18778  df-mnd 18794  df-submnd 18843  df-grp 19004  df-minusg 19005  df-sbg 19006  df-subg 19190  df-cntz 19388  df-lsm 19707  df-cmn 19853  df-abl 19854  df-mgp 20218  df-rng 20232  df-ur 20265  df-ring 20318  df-oppr 20420  df-dvdsr 20440  df-unit 20441  df-invr 20471  df-dvr 20484  df-drng 20816  df-lmod 20964  df-lss 21034  df-lsp 21074  df-lvec 21205  df-lsatoms 39731  df-lshyp 39732  df-lfl 39813  df-lkr 39841  df-ldual 39879  df-oposet 39931  df-ol 39933  df-oml 39934  df-covers 40021  df-ats 40022  df-atl 40053  df-cvlat 40077  df-hlat 40106  df-llines 40253  df-lplanes 40254  df-lvols 40255  df-lines 40256  df-psubsp 40258  df-pmap 40259  df-padd 40551  df-lhyp 40743  df-laut 40744  df-ldil 40859  df-ltrn 40860  df-trl 40914  df-tgrp 41498  df-tendo 41510  df-edring 41512  df-dveca 41758  df-disoa 41784  df-dvech 41834  df-dib 41894  df-dic 41928  df-dih 41984  df-doch 42103  df-djh 42150

This theorem is referenced by:  mapdrvallem3  42401