Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  mapdrvallem2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem mapdrvallem2 40108
Description: Lemma for mapdrval 40110. TODO: very long antecedents are dragged through proof in some places - see if it shortens proof to remove unused conjuncts. (Contributed by NM, 2-Feb-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
mapdrval.h 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdrval.o 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.m 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.u 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdrval.s 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
mapdrval.f 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
mapdrval.l 𝐿 = (LKer‘𝑈)
mapdrval.d 𝐷 = (LDual‘𝑈)
mapdrval.t 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
mapdrval.c 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
mapdrval.k (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
mapdrval.r (𝜑𝑅𝑇)
mapdrval.e (𝜑𝑅𝐶)
mapdrval.q 𝑄 = 𝑅 (𝑂‘(𝐿))
mapdrval.v 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdrvallem2.a 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
mapdrvallem2.n 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdrvallem2.z 0 = (0g𝑈)
mapdrvallem2.y 𝑌 = (0g𝐷)
Assertion
Ref Expression
mapdrvallem2 (𝜑 → {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄} ⊆ 𝑅)
Distinct variable groups:   𝐶,𝑓   𝑓,𝑔,𝐹   𝑓,𝐾   𝑔,,𝐿   𝑔,𝑂,   𝑄,𝑓,   𝑅,𝑓,   𝑈,𝑔   𝑓,𝑊   𝜑,𝑓   𝐶,   ,𝑁   𝑄,   𝑈,   ,𝑉   ,𝑌   0 ,   𝜑,
Allowed substitution hints:   𝜑(𝑔)   𝐴(𝑓,𝑔,)   𝐶(𝑔)   𝐷(𝑓,𝑔,)   𝑄(𝑔)   𝑅(𝑔)   𝑆(𝑓,𝑔,)   𝑇(𝑓,𝑔,)   𝑈(𝑓)   𝐹()   𝐻(𝑓,𝑔,)   𝐾(𝑔,)   𝐿(𝑓)   𝑀(𝑓,𝑔,)   𝑁(𝑓,𝑔)   𝑂(𝑓)   𝑉(𝑓,𝑔)   𝑊(𝑔,)   𝑌(𝑓,𝑔)   0 (𝑓,𝑔)

Proof of Theorem mapdrvallem2
Dummy variables 𝑟 𝑥 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eleq1 2825 . . 3 (𝑓 = 𝑌 → (𝑓𝑅𝑌𝑅))
2 mapdrval.h . . . . 5 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
3 mapdrval.o . . . . 5 𝑂 = ((ocH‘𝐾)‘𝑊)
4 mapdrval.u . . . . 5 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
5 mapdrval.v . . . . 5 𝑉 = (Base‘𝑈)
6 mapdrvallem2.n . . . . 5 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
7 mapdrvallem2.z . . . . 5 0 = (0g𝑈)
8 mapdrval.f . . . . 5 𝐹 = (LFnl‘𝑈)
9 mapdrval.l . . . . 5 𝐿 = (LKer‘𝑈)
10 mapdrval.d . . . . 5 𝐷 = (LDual‘𝑈)
11 mapdrvallem2.y . . . . 5 𝑌 = (0g𝐷)
12 mapdrval.c . . . . 5 𝐶 = {𝑔𝐹 ∣ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑔))) = (𝐿𝑔)}
13 mapdrval.k . . . . . . 7 (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
14133ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
1514adantr 481 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
16 simpl2 1192 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓𝐶)
17 simpr 485 . . . . . 6 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓𝑌)
18 eldifsn 4747 . . . . . 6 (𝑓 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌}) ↔ (𝑓𝐶𝑓𝑌))
1916, 17, 18sylanbrc 583 . . . . 5 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓 ∈ (𝐶 ∖ {𝑌}))
202, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 15, 19lcfl8b 39967 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → ∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}))
21 simp1l3 1268 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄)
22 eqimss2 4001 . . . . . . . . . . . . 13 ((𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿𝑓)))
23223ad2ant3 1135 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿𝑓)))
24 mapdrval.s . . . . . . . . . . . . 13 𝑆 = (LSubSp‘𝑈)
252, 4, 13dvhlmod 39573 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑈 ∈ LMod)
26253ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑈 ∈ LMod)
2726adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑈 ∈ LMod)
28273ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ LMod)
29153ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
3012lcfl1lem 39954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 (𝑓𝐶 ↔ (𝑓𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿𝑓))) = (𝐿𝑓)))
3130simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18 (𝑓𝐶𝑓𝐹)
32313ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑓𝐹)
3332adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓𝐹)
34333ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓𝐹)
355, 8, 9, 28, 34lkrssv 37558 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝐿𝑓) ⊆ 𝑉)
362, 4, 5, 24, 3dochlss 39817 . . . . . . . . . . . . . 14 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿𝑓) ⊆ 𝑉) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ 𝑆)
3729, 35, 36syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) ∈ 𝑆)
38 eldifi 4086 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) → 𝑥𝑉)
39383ad2ant2 1134 . . . . . . . . . . . . 13 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥𝑉)
405, 24, 6, 28, 37, 39lspsnel5 20456 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ↔ (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿𝑓))))
4123, 40mpbird 256 . . . . . . . . . . 11 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿𝑓)))
4221, 41sseldd 3945 . . . . . . . . . 10 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥𝑄)
43 mapdrval.q . . . . . . . . . 10 𝑄 = 𝑅 (𝑂‘(𝐿))
4442, 43eleqtrdi 2848 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑥 𝑅 (𝑂‘(𝐿)))
45 eliun 4958 . . . . . . . . 9 (𝑥 𝑅 (𝑂‘(𝐿)) ↔ ∃𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)))
4644, 45sylib 217 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)))
47 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Scalar‘𝑈) = (Scalar‘𝑈)
48 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 (Base‘(Scalar‘𝑈)) = (Base‘(Scalar‘𝑈))
49 eqid 2736 . . . . . . . . . . 11 ( ·𝑠𝐷) = ( ·𝑠𝐷)
502, 4, 13dvhlvec 39572 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑈 ∈ LVec)
51503ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑈 ∈ LVec)
5251adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑈 ∈ LVec)
53523ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . 12 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑈 ∈ LVec)
5453ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑈 ∈ LVec)
55 simpr 485 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝑅)
56 simp1l1 1266 . . . . . . . . . . . . . . . . 17 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝜑)
5756adantr 481 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝜑)
58 mapdrval.e . . . . . . . . . . . . . . . 16 (𝜑𝑅𝐶)
5957, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝑅𝐶)
6059sseld 3943 . . . . . . . . . . . . . 14 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → (𝑅𝐶))
6112lcfl1lem 39954 . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝐶 ↔ (𝐹 ∧ (𝑂‘(𝑂‘(𝐿))) = (𝐿)))
6261simplbi 498 . . . . . . . . . . . . . 14 (𝐶𝐹)
6360, 62syl6 35 . . . . . . . . . . . . 13 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → (𝑅𝐹))
6455, 63mpd 15 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝐹)
6564adantr 481 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝐹)
6634ad2antrr 724 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑓𝐹)
67 simpll3 1214 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}))
6828ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑈 ∈ LMod)
6929ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻))
705, 8, 9, 68, 65lkrssv 37558 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐿) ⊆ 𝑉)
712, 4, 5, 24, 3dochlss 39817 . . . . . . . . . . . . . . . 16 (((𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊𝐻) ∧ (𝐿) ⊆ 𝑉) → (𝑂‘(𝐿)) ∈ 𝑆)
7269, 70, 71syl2anc 584 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑂‘(𝐿)) ∈ 𝑆)
73 simpr 485 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)))
7424, 6, 68, 72, 73lspsnel5a 20457 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿)))
75 mapdrvallem2.a . . . . . . . . . . . . . . 15 𝐴 = (LSAtoms‘𝑈)
76 simpll2 1213 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
775, 6, 7, 75, 68, 76lsatlspsn 37455 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑁‘{𝑥}) ∈ 𝐴)
782, 3, 4, 7, 75, 8, 9, 69, 65dochsat0 39920 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → ((𝑂‘(𝐿)) ∈ 𝐴 ∨ (𝑂‘(𝐿)) = { 0 }))
797, 75, 54, 77, 78lsatcmp2 37466 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → ((𝑁‘{𝑥}) ⊆ (𝑂‘(𝐿)) ↔ (𝑁‘{𝑥}) = (𝑂‘(𝐿))))
8074, 79mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑁‘{𝑥}) = (𝑂‘(𝐿)))
8167, 80eqtr2d 2777 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑂‘(𝐿)) = (𝑂‘(𝐿𝑓)))
82 eqid 2736 . . . . . . . . . . . . 13 ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊) = ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)
8356, 58syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . 16 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑅𝐶)
8483sselda 3944 . . . . . . . . . . . . . . 15 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → 𝐶)
8584adantr 481 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝐶)
862, 82, 3, 4, 8, 9, 12, 69, 65lcfl5 39959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐶 ↔ (𝐿) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
8785, 86mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐿) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
88 simp1l2 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓𝐶)
8988ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → 𝑓𝐶)
902, 82, 3, 4, 8, 9, 12, 69, 66lcfl5 39959 . . . . . . . . . . . . . 14 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝑓𝐶 ↔ (𝐿𝑓) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊)))
9189, 90mpbid 231 . . . . . . . . . . . . 13 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐿𝑓) ∈ ran ((DIsoH‘𝐾)‘𝑊))
922, 82, 3, 69, 87, 91doch11 39836 . . . . . . . . . . . 12 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → ((𝑂‘(𝐿)) = (𝑂‘(𝐿𝑓)) ↔ (𝐿) = (𝐿𝑓)))
9381, 92mpbid 231 . . . . . . . . . . 11 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → (𝐿) = (𝐿𝑓))
9447, 48, 8, 9, 10, 49, 54, 65, 66, 93eqlkr4 37627 . . . . . . . . . 10 ((((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) ∧ 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿))) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)))
9594ex 413 . . . . . . . . 9 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) ∧ 𝑅) → (𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷))))
9695reximdva 3165 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (∃𝑅 𝑥 ∈ (𝑂‘(𝐿)) → ∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷))))
9746, 96mpd 15 . . . . . . 7 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)))
98 eleq1 2825 . . . . . . . . . 10 (𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)) → (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))
9998reximi 3087 . . . . . . . . 9 (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))
10099reximi 3087 . . . . . . . 8 (∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)) → ∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))
101 rexcom 3273 . . . . . . . . 9 (∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑅 (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))
102 df-rex 3074 . . . . . . . . . 10 (∃𝑅 (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) ↔ ∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
103102rexbii 3097 . . . . . . . . 9 (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃𝑅 (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
104101, 103bitri 274 . . . . . . . 8 (∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))(𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) ↔ ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
105100, 104sylib 217 . . . . . . 7 (∃𝑅𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))𝑓 = (𝑟( ·𝑠𝐷)) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
10697, 105syl 17 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → ∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)))
107 mapdrval.t . . . . . . . . . . . 12 𝑇 = (LSubSp‘𝐷)
10827ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑈 ∈ LMod)
109 mapdrval.r . . . . . . . . . . . . . . 15 (𝜑𝑅𝑇)
1101093ad2ant1 1133 . . . . . . . . . . . . . 14 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑅𝑇)
111110adantr 481 . . . . . . . . . . . . 13 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑅𝑇)
112111ad2antrr 724 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑅𝑇)
113 simplr 767 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈)))
114 simprl 769 . . . . . . . . . . . 12 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑅)
11547, 48, 10, 49, 107, 108, 112, 113, 114ldualssvscl 37620 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)
116 biimpr 219 . . . . . . . . . . . 12 ((𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅) → ((𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅𝑓𝑅))
117116ad2antll 727 . . . . . . . . . . 11 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → ((𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅𝑓𝑅))
118115, 117mpd 15 . . . . . . . . . 10 (((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) ∧ (𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅))) → 𝑓𝑅)
119118ex 413 . . . . . . . . 9 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → ((𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)) → 𝑓𝑅))
120119exlimdv 1936 . . . . . . . 8 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))) → (∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)) → 𝑓𝑅))
121120rexlimdva 3152 . . . . . . 7 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)) → 𝑓𝑅))
1221213ad2ant1 1133 . . . . . 6 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → (∃𝑟 ∈ (Base‘(Scalar‘𝑈))∃(𝑅 ∧ (𝑓𝑅 ↔ (𝑟( ·𝑠𝐷)) ∈ 𝑅)) → 𝑓𝑅))
123106, 122mpd 15 . . . . 5 ((((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) ∧ 𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }) ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥})) → 𝑓𝑅)
124123rexlimdv3a 3156 . . . 4 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → (∃𝑥 ∈ (𝑉 ∖ { 0 })(𝑂‘(𝐿𝑓)) = (𝑁‘{𝑥}) → 𝑓𝑅))
12520, 124mpd 15 . . 3 (((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) ∧ 𝑓𝑌) → 𝑓𝑅)
12610, 25lduallmod 37615 . . . . 5 (𝜑𝐷 ∈ LMod)
1271263ad2ant1 1133 . . . 4 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝐷 ∈ LMod)
12811, 107lss0cl 20407 . . . 4 ((𝐷 ∈ LMod ∧ 𝑅𝑇) → 𝑌𝑅)
129127, 110, 128syl2anc 584 . . 3 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑌𝑅)
1301, 125, 129pm2.61ne 3030 . 2 ((𝜑𝑓𝐶 ∧ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄) → 𝑓𝑅)
131130rabssdv 4032 1 (𝜑 → {𝑓𝐶 ∣ (𝑂‘(𝐿𝑓)) ⊆ 𝑄} ⊆ 𝑅)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 205  wa 396  w3a 1087   = wceq 1541  wex 1781  wcel 2106  wne 2943  wrex 3073  {crab 3407  cdif 3907  wss 3910  {csn 4586   ciun 4954  ran crn 5634  cfv 6496  (class class class)co 7357  Basecbs 17083  Scalarcsca 17136   ·𝑠 cvsca 17137  0gc0g 17321  LModclmod 20322  LSubSpclss 20392  LSpanclspn 20432  LVecclvec 20563  LSAtomsclsa 37436  LFnlclfn 37519  LKerclk 37547  LDualcld 37585  HLchlt 37812  LHypclh 38447  DVecHcdvh 39541  DIsoHcdih 39691  ocHcoch 39810  mapdcmpd 40087
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2707  ax-rep 5242  ax-sep 5256  ax-nul 5263  ax-pow 5320  ax-pr 5384  ax-un 7672  ax-cnex 11107  ax-resscn 11108  ax-1cn 11109  ax-icn 11110  ax-addcl 11111  ax-addrcl 11112  ax-mulcl 11113  ax-mulrcl 11114  ax-mulcom 11115  ax-addass 11116  ax-mulass 11117  ax-distr 11118  ax-i2m1 11119  ax-1ne0 11120  ax-1rid 11121  ax-rnegex 11122  ax-rrecex 11123  ax-cnre 11124  ax-pre-lttri 11125  ax-pre-lttrn 11126  ax-pre-ltadd 11127  ax-pre-mulgt0 11128  ax-riotaBAD 37415
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2714  df-cleq 2728  df-clel 2814  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3065  df-rex 3074  df-rmo 3353  df-reu 3354  df-rab 3408  df-v 3447  df-sbc 3740  df-csb 3856  df-dif 3913  df-un 3915  df-in 3917  df-ss 3927  df-pss 3929  df-nul 4283  df-if 4487  df-pw 4562  df-sn 4587  df-pr 4589  df-tp 4591  df-op 4593  df-uni 4866  df-int 4908  df-iun 4956  df-iin 4957  df-br 5106  df-opab 5168  df-mpt 5189  df-tr 5223  df-id 5531  df-eprel 5537  df-po 5545  df-so 5546  df-fr 5588  df-we 5590  df-xp 5639  df-rel 5640  df-cnv 5641  df-co 5642  df-dm 5643  df-rn 5644  df-res 5645  df-ima 5646  df-pred 6253  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6498  df-fn 6499  df-f 6500  df-f1 6501  df-fo 6502  df-f1o 6503  df-fv 6504  df-riota 7313  df-ov 7360  df-oprab 7361  df-mpo 7362  df-of 7617  df-om 7803  df-1st 7921  df-2nd 7922  df-tpos 8157  df-undef 8204  df-frecs 8212  df-wrecs 8243  df-recs 8317  df-rdg 8356  df-1o 8412  df-er 8648  df-map 8767  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-fin 8887  df-pnf 11191  df-mnf 11192  df-xr 11193  df-ltxr 11194  df-le 11195  df-sub 11387  df-neg 11388  df-nn 12154  df-2 12216  df-3 12217  df-4 12218  df-5 12219  df-6 12220  df-n0 12414  df-z 12500  df-uz 12764  df-fz 13425  df-struct 17019  df-sets 17036  df-slot 17054  df-ndx 17066  df-base 17084  df-ress 17113  df-plusg 17146  df-mulr 17147  df-sca 17149  df-vsca 17150  df-0g 17323  df-proset 18184  df-poset 18202  df-plt 18219  df-lub 18235  df-glb 18236  df-join 18237  df-meet 18238  df-p0 18314  df-p1 18315  df-lat 18321  df-clat 18388  df-mgm 18497  df-sgrp 18546  df-mnd 18557  df-submnd 18602  df-grp 18751  df-minusg 18752  df-sbg 18753  df-subg 18925  df-cntz 19097  df-lsm 19418  df-cmn 19564  df-abl 19565  df-mgp 19897  df-ur 19914  df-ring 19966  df-oppr 20049  df-dvdsr 20070  df-unit 20071  df-invr 20101  df-dvr 20112  df-drng 20187  df-lmod 20324  df-lss 20393  df-lsp 20433  df-lvec 20564  df-lsatoms 37438  df-lshyp 37439  df-lfl 37520  df-lkr 37548  df-ldual 37586  df-oposet 37638  df-ol 37640  df-oml 37641  df-covers 37728  df-ats 37729  df-atl 37760  df-cvlat 37784  df-hlat 37813  df-llines 37961  df-lplanes 37962  df-lvols 37963  df-lines 37964  df-psubsp 37966  df-pmap 37967  df-padd 38259  df-lhyp 38451  df-laut 38452  df-ldil 38567  df-ltrn 38568  df-trl 38622  df-tgrp 39206  df-tendo 39218  df-edring 39220  df-dveca 39466  df-disoa 39492  df-dvech 39542  df-dib 39602  df-dic 39636  df-dih 39692  df-doch 39811  df-djh 39858
This theorem is referenced by:  mapdrvallem3  40109
  Copyright terms: Public domain W3C validator