Theorem mapdpglem30b 42069

Description: Lemma for mapdpg 42079. (Contributed by NM, 22-Mar-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
mapdpg.h	⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
mapdpg.m	⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.u	⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.v	⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
mapdpg.s	⊢ − = (-g‘𝑈)
mapdpg.z	⊢ 0 = (0g‘𝑈)
mapdpg.n	⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
mapdpg.c	⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
mapdpg.f	⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
mapdpg.r	⊢ 𝑅 = (-g‘𝐶)
mapdpg.j	⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
mapdpg.k	⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
mapdpg.x	⊢ (𝜑 → 𝑋 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.y	⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
mapdpg.g	⊢ (𝜑 → 𝐺 ∈ 𝐹)
mapdpg.ne	⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑋}) ≠ (𝑁‘{𝑌}))
mapdpg.e	⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑋})) = (𝐽‘{𝐺}))
mapdpgem25.h1	⊢ (𝜑 → (ℎ ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{ℎ}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅ℎ)}))))
mapdpgem25.i1	⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))

Assertion

Ref	Expression
mapdpglem30b	⊢ (𝜑 → 𝑖 ≠ (0g‘𝐶))

Proof of Theorem mapdpglem30b

Step	Hyp	Ref	Expression
1		mapdpgem25.i1	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → (𝑖 ∈ 𝐹 ∧ ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)}))))
2	1	simprd 495	. . . 4 ⊢ (𝜑 → ((𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}) ∧ (𝑀‘(𝑁‘{(𝑋 − 𝑌)})) = (𝐽‘{(𝐺𝑅𝑖)})))
3	2	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) = (𝐽‘{𝑖}))
4		mapdpg.h	. . . 4 ⊢ 𝐻 = (LHyp‘𝐾)
5		mapdpg.m	. . . 4 ⊢ 𝑀 = ((mapd‘𝐾)‘𝑊)
6		mapdpg.u	. . . 4 ⊢ 𝑈 = ((DVecH‘𝐾)‘𝑊)
7		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝑈) = (LSAtoms‘𝑈)
8		mapdpg.c	. . . 4 ⊢ 𝐶 = ((LCDual‘𝐾)‘𝑊)
9		eqid 2737	. . . 4 ⊢ (LSAtoms‘𝐶) = (LSAtoms‘𝐶)
10		mapdpg.k	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝐾 ∈ HL ∧ 𝑊 ∈ 𝐻))
11		mapdpg.v	. . . . 5 ⊢ 𝑉 = (Base‘𝑈)
12		mapdpg.n	. . . . 5 ⊢ 𝑁 = (LSpan‘𝑈)
13		mapdpg.z	. . . . 5 ⊢ 0 = (0g‘𝑈)
14	4, 6, 10	dvhlmod 41483	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑈 ∈ LMod)
15		mapdpg.y	. . . . 5 ⊢ (𝜑 → 𝑌 ∈ (𝑉 ∖ { 0 }))
16	11, 12, 13, 7, 14, 15	lsatlspsn 39366	. . . 4 ⊢ (𝜑 → (𝑁‘{𝑌}) ∈ (LSAtoms‘𝑈))
17	4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 16	mapdat 42040	. . 3 ⊢ (𝜑 → (𝑀‘(𝑁‘{𝑌})) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
18	3, 17	eqeltrrd 2838	. 2 ⊢ (𝜑 → (𝐽‘{𝑖}) ∈ (LSAtoms‘𝐶))
19		mapdpg.f	. . 3 ⊢ 𝐹 = (Base‘𝐶)
20		mapdpg.j	. . 3 ⊢ 𝐽 = (LSpan‘𝐶)
21		eqid 2737	. . 3 ⊢ (0g‘𝐶) = (0g‘𝐶)
22	4, 8, 10	lcdlmod 41965	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝐶 ∈ LMod)
23	1	simpld 494	. . 3 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ∈ 𝐹)
24	19, 20, 21, 9, 22, 23	lsatspn0 39373	. 2 ⊢ (𝜑 → ((𝐽‘{𝑖}) ∈ (LSAtoms‘𝐶) ↔ 𝑖 ≠ (0g‘𝐶)))
25	18, 24	mpbid 232	1 ⊢ (𝜑 → 𝑖 ≠ (0g‘𝐶))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   ∖ cdif 3900  {csn 4582  ‘cfv 6500  (class class class)co 7368  Basecbs 17148  0_gc0g 17371  -_gcsg 18877  LSpanclspn 20934  LSAtomsclsa 39347  HLchlt 39723  LHypclh 40357  DVecHcdvh 41451  LCDualclcd 41959  mapdcmpd 41997

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-rep 5226  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-cnex 11094  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115  ax-riotaBAD 39326

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-tp 4587  df-op 4589  df-uni 4866  df-int 4905  df-iun 4950  df-iin 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-of 7632  df-om 7819  df-1st 7943  df-2nd 7944  df-tpos 8178  df-undef 8225  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-1o 8407  df-2o 8408  df-er 8645  df-map 8777  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-fin 8899  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-sub 11378  df-neg 11379  df-nn 12158  df-2 12220  df-3 12221  df-4 12222  df-5 12223  df-6 12224  df-n0 12414  df-z 12501  df-uz 12764  df-fz 13436  df-struct 17086  df-sets 17103  df-slot 17121  df-ndx 17133  df-base 17149  df-ress 17170  df-plusg 17202  df-mulr 17203  df-sca 17205  df-vsca 17206  df-0g 17373  df-mre 17517  df-mrc 17518  df-acs 17520  df-proset 18229  df-poset 18248  df-plt 18263  df-lub 18279  df-glb 18280  df-join 18281  df-meet 18282  df-p0 18358  df-p1 18359  df-lat 18367  df-clat 18434  df-mgm 18577  df-sgrp 18656  df-mnd 18672  df-submnd 18721  df-grp 18878  df-minusg 18879  df-sbg 18880  df-subg 19065  df-cntz 19258  df-oppg 19287  df-lsm 19577  df-cmn 19723  df-abl 19724  df-mgp 20088  df-rng 20100  df-ur 20129  df-ring 20182  df-oppr 20285  df-dvdsr 20305  df-unit 20306  df-invr 20336  df-dvr 20349  df-nzr 20458  df-rlreg 20639  df-domn 20640  df-drng 20676  df-lmod 20825  df-lss 20895  df-lsp 20935  df-lvec 21067  df-lsatoms 39349  df-lshyp 39350  df-lcv 39392  df-lfl 39431  df-lkr 39459  df-ldual 39497  df-oposet 39549  df-ol 39551  df-oml 39552  df-covers 39639  df-ats 39640  df-atl 39671  df-cvlat 39695  df-hlat 39724  df-llines 39871  df-lplanes 39872  df-lvols 39873  df-lines 39874  df-psubsp 39876  df-pmap 39877  df-padd 40169  df-lhyp 40361  df-laut 40362  df-ldil 40477  df-ltrn 40478  df-trl 40532  df-tgrp 41116  df-tendo 41128  df-edring 41130  df-dveca 41376  df-disoa 41402  df-dvech 41452  df-dib 41512  df-dic 41546  df-dih 41602  df-doch 41721  df-djh 41768  df-lcdual 41960  df-mapd 41998

This theorem is referenced by:  mapdpglem30  42075