Theorem ltne 11243

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltne	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem ltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 11241	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		breq2 5089	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐴))
3	2	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
4	1, 3	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
5	4	necon2ad 2947	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
6	5	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   < clt 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  ltlen  11247  gtneii  11258  ltnei  11270  gtned  11281  gt0ne0  11615  lt0ne0  11616  coprm  16681  phibndlem  16740  cshwshashlem1  17066  chfacffsupp  22821  chfacfscmul0  22823  chfacfscmulgsum  22825  chfacfpmmul0  22827  chfacfpmmulgsum  22829  sineq0  26488  logbgt0b  26757  axlowdimlem16  29026  frgrogt3nreg  30467  staddi  32317  stadd3i  32319  knoppndvlem12  36783  knoppndvlem14  36785  tan2h  37933  poimirlem24  37965  ftc1cnnc  38013  fdc  38066  60gcd7e1  42444  sineq0ALT  45363  nthrucw  47316  sqrtnegnre  47755  requad01  48097  rrx2plord2  49198  eenglngeehlnmlem1  49213