Theorem ltne 11247

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltne	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem ltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 11245	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		breq2 5106	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐴))
3	2	notbid 318	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
4	1, 3	syl5ibrcom 247	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
5	4	necon2ad 2940	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
6	5	imp 406	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 395   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ℝcr 11043   < clt 11184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189

This theorem is referenced by:  ltlen  11251  gtneii  11262  ltnei  11274  gtned  11285  gt0ne0  11619  lt0ne0  11620  coprm  16657  phibndlem  16716  cshwshashlem1  17042  chfacffsupp  22719  chfacfscmul0  22721  chfacfscmulgsum  22723  chfacfpmmul0  22725  chfacfpmmulgsum  22727  sineq0  26409  logbgt0b  26679  axlowdimlem16  28860  frgrogt3nreg  30299  staddi  32148  stadd3i  32150  knoppndvlem12  36484  knoppndvlem14  36486  tan2h  37579  poimirlem24  37611  ftc1cnnc  37659  fdc  37712  60gcd7e1  41966  sineq0ALT  44899  sqrtnegnre  47281  requad01  47595  rrx2plord2  48684  eenglngeehlnmlem1  48699