MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltne Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltne 10729
Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Assertion
Ref Expression
ltne ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)

Proof of Theorem ltne
StepHypRef Expression
1 ltnr 10727 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2 breq2 5066 . . . . 5 (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 < 𝐵𝐴 < 𝐴))
32notbid 319 . . . 4 (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
41, 3syl5ibrcom 248 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
54necon2ad 3035 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵𝐵𝐴))
65imp 407 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wa 396   = wceq 1530  wcel 2107  wne 3020   class class class wbr 5062  cr 10528   < clt 10667
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1904  ax-6 1963  ax-7 2008  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2153  ax-12 2169  ax-ext 2797  ax-sep 5199  ax-nul 5206  ax-pow 5262  ax-pr 5325  ax-un 7454  ax-resscn 10586  ax-pre-lttri 10603  ax-pre-lttrn 10604
This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 844  df-3or 1082  df-3an 1083  df-tru 1533  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2063  df-mo 2619  df-eu 2651  df-clab 2804  df-cleq 2818  df-clel 2897  df-nfc 2967  df-ne 3021  df-nel 3128  df-ral 3147  df-rex 3148  df-rab 3151  df-v 3501  df-sbc 3776  df-csb 3887  df-dif 3942  df-un 3944  df-in 3946  df-ss 3955  df-nul 4295  df-if 4470  df-pw 4543  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4837  df-br 5063  df-opab 5125  df-mpt 5143  df-id 5458  df-po 5472  df-so 5473  df-xp 5559  df-rel 5560  df-cnv 5561  df-co 5562  df-dm 5563  df-rn 5564  df-res 5565  df-ima 5566  df-iota 6311  df-fun 6353  df-fn 6354  df-f 6355  df-f1 6356  df-fo 6357  df-f1o 6358  df-fv 6359  df-er 8282  df-en 8502  df-dom 8503  df-sdom 8504  df-pnf 10669  df-mnf 10670  df-ltxr 10672
This theorem is referenced by:  ltlen  10733  gtneii  10744  ltnei  10756  gtned  10767  gt0ne0  11097  lt0ne0  11098  gt0ne0d  11196  coprm  16047  phibndlem  16099  cshwshashlem1  16421  chfacffsupp  21380  chfacfscmul0  21382  chfacfscmulgsum  21384  chfacfpmmul0  21386  chfacfpmmulgsum  21388  sineq0  25024  logbgt0b  25284  axlowdimlem16  26657  frgrogt3nreg  28090  staddi  29937  stadd3i  29939  knoppndvlem12  33746  knoppndvlem14  33748  tan2h  34751  poimirlem24  34783  ftc1cnnc  34833  fdc  34888  sineq0ALT  41132  sqrtnegnre  43369  requad01  43614  rrx2plord2  44537  eenglngeehlnmlem1  44552
  Copyright terms: Public domain W3C validator