Theorem ltne 11280

Description: 'Less than' implies not equal. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.) (Revised by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Assertion

Ref	Expression
ltne	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)

Proof of Theorem ltne

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltnr 11278	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
2		breq2 5104	. . . . 5 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (𝐴 < 𝐵 ↔ 𝐴 < 𝐴))
3	2	notbid 320	. . . 4 ⊢ (𝐵 = 𝐴 → (¬ 𝐴 < 𝐵 ↔ ¬ 𝐴 < 𝐴))
4	1, 3	syl5ibrcom 249	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐵 = 𝐴 → ¬ 𝐴 < 𝐵))
5	4	necon2ad 2972	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐵 → 𝐵 ≠ 𝐴))
6	5	imp 410	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 < 𝐵) → 𝐵 ≠ 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∧ wa 399   = wceq 1560   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ℝcr 11072   < clt 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221

This theorem is referenced by:  ltlen  11284  gtneii  11295  ltnei  11307  gtned  11318  gt0ne0  11652  lt0ne0  11653  coprm  16746  phibndlem  16805  cshwshashlem1  17131  chfacffsupp  22916  chfacfscmul0  22918  chfacfscmulgsum  22920  chfacfpmmul0  22922  chfacfpmmulgsum  22924  sineq0  26589  logbgt0b  26858  axlowdimlem16  29158  frgrogt3nreg  30599  staddi  32449  stadd3i  32451  knoppndvlem12  36961  knoppndvlem14  36963  tan2h  38111  poimirlem24  38143  ftc1cnnc  38191  fdc  38244  60gcd7e1  42622  sineq0ALT  45512  nthrucw  47462  sqrtnegnre  47901  requad01  48243  rrx2plord2  49344  eenglngeehlnmlem1  49359