Theorem leid 11269

Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)

Assertion

Ref	Expression
leid	⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)

Proof of Theorem leid

Step	Hyp	Ref	Expression
1		eqid 2756	. . . 4 ⊢ 𝐴 = 𝐴
2	1	olci 875	. . 3 ⊢ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)
3		leloe 11259	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴 ≤ 𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴 ∨ 𝐴 = 𝐴)))
4	2, 3	mpbiri 260	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴 ≤ 𝐴)
5	4	anidms 573	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 ≤ 𝐴)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 398   ∨ wo 856   = wceq 1554   ∈ wcel 2136   class class class wbr 5094  ℝcr 11062   < clt 11206   ≤ cle 11207

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1809  ax-4 1823  ax-5 1924  ax-6 1981  ax-7 2022  ax-8 2138  ax-9 2146  ax-10 2169  ax-11 2185  ax-12 2206  ax-ext 2728  ax-sep 5240  ax-nul 5250  ax-pow 5316  ax-pr 5384  ax-un 7707  ax-resscn 11120  ax-pre-lttri 11137

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 857  df-3an 1097  df-tru 1557  df-fal 1567  df-ex 1794  df-nf 1798  df-sb 2085  df-mo 2560  df-eu 2590  df-clab 2735  df-cleq 2748  df-clel 2831  df-nfc 2905  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3071  df-rex 3081  df-rab 3409  df-v 3450  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4281  df-if 4475  df-pw 4551  df-sn 4577  df-pr 4579  df-op 4583  df-uni 4860  df-br 5095  df-opab 5157  df-mpt 5176  df-id 5535  df-xp 5646  df-rel 5647  df-cnv 5648  df-co 5649  df-dm 5650  df-rn 5651  df-res 5652  df-ima 5653  df-iota 6466  df-fun 6512  df-fn 6513  df-f 6514  df-f1 6515  df-fo 6516  df-f1o 6517  df-fv 6518  df-er 8666  df-en 8917  df-dom 8918  df-sdom 8919  df-pnf 11208  df-mnf 11209  df-xr 11210  df-ltxr 11211  df-le 11212

This theorem is referenced by:  eqle  11275  mulge0  11695  msqge0  11698  leidi  11711  leidd  11743  lemulge11  12044  lediv2a  12076  nn2ge  12230  max1ALT  13179  lo1const  15624  isumless  15851  retos  21643  itg2itg1  25771  itg20  25772  nmobndi  30917  breprexp  34884  relowlpssretop  37806  iuneqfzuzlem  45858  fmuldfeq  46107  volioc  46494  caratheodorylem1  47048