MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  leid Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem leid 10725
Description: 'Less than or equal to' is reflexive. (Contributed by NM, 18-Aug-1999.)
Assertion
Ref Expression
leid (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴𝐴)

Proof of Theorem leid
StepHypRef Expression
1 eqid 2822 . . . 4 𝐴 = 𝐴
21olci 863 . . 3 (𝐴 < 𝐴𝐴 = 𝐴)
3 leloe 10716 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (𝐴𝐴 ↔ (𝐴 < 𝐴𝐴 = 𝐴)))
42, 3mpbiri 261 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → 𝐴𝐴)
54anidms 570 1 (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  wo 844   = wceq 1538  wcel 2114   class class class wbr 5042  cr 10525   < clt 10664  cle 10665
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2145  ax-11 2161  ax-12 2178  ax-ext 2794  ax-sep 5179  ax-nul 5186  ax-pow 5243  ax-pr 5307  ax-un 7446  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2622  df-eu 2653  df-clab 2801  df-cleq 2815  df-clel 2894  df-nfc 2962  df-ne 3012  df-nel 3116  df-ral 3135  df-rex 3136  df-rab 3139  df-v 3471  df-sbc 3748  df-csb 3856  df-dif 3911  df-un 3913  df-in 3915  df-ss 3925  df-nul 4266  df-if 4440  df-pw 4513  df-sn 4540  df-pr 4542  df-op 4546  df-uni 4814  df-br 5043  df-opab 5105  df-mpt 5123  df-id 5437  df-xp 5538  df-rel 5539  df-cnv 5540  df-co 5541  df-dm 5542  df-rn 5543  df-res 5544  df-ima 5545  df-iota 6293  df-fun 6336  df-fn 6337  df-f 6338  df-f1 6339  df-fo 6340  df-f1o 6341  df-fv 6342  df-er 8276  df-en 8497  df-dom 8498  df-sdom 8499  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-xr 10668  df-ltxr 10669  df-le 10670
This theorem is referenced by:  eqle  10731  mulge0  11147  msqge0  11150  leidi  11163  leidd  11195  lemulge11  11491  lediv2a  11523  nn2ge  11652  max1ALT  12567  lo1const  14968  isumless  15191  retos  20305  itg2itg1  24338  itg20  24339  nmobndi  28556  breprexp  31978  relowlpssretop  34742  iuneqfzuzlem  41906  fmuldfeq  42165  volioc  42554  caratheodorylem1  43105
  Copyright terms: Public domain W3C validator