Theorem ltso 11383

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttri 11374	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		lttr 11379	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5596	1 ⊢ < Or ℝ

This proof depends on syntax axioms:   Or wor 5558  ℝcr 11192   < clt 11336

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-ltxr 11341

This theorem is used by:  gtso  11384  lttri2  11385  lttri3  11386  lttri4  11387  ltnr  11398  ltnsym2  11402  fimaxre  12254  fiminre  12257  lbinf  12263  suprcl  12270  suprub  12271  suprlub  12274  infrecl  12292  infregelb  12294  infrelb  12295  supfirege  12297  suprfinzcl  12806  uzinfi  13048  suprzcl2  13058  suprzub  13059  2resupmax  13311  infmrp1  13468  fseqsupcl  14113  ssnn0fi  14121  fsuppmapnn0fiublem  14126  isercolllem1  15825  isercolllem2  15826  summolem2  15875  zsum  15877  fsumcvg3  15888  mertenslem2  16047  prodmolem2  16095  zprod  16097  cnso  16408  gcdval  16659  dfgcd2  16712  lcmval  16760  lcmgcdlem  16774  odzval  16962  pczpre  17018  prmreclem1  17087  ramz  17196  odval  19741  odf  19744  gexval  19785  gsumval3  20114  retos  21917  mbfsup  25978  mbfinf  25979  itg2monolem1  26064  itg2mono  26067  dvgt0lem2  26316  dvgt0  26317  plyeq0lem  26522  dgrval  26540  dgrcl  26545  dgrub  26546  dgrlb  26548  elqaalem1  26635  elqaalem3  26637  aalioulem2  26653  logccv  26984  ex-po  31029  ssnnssfz  33372  lmdvg  34578  oddpwdc  34979  ballotlemi  35126  ballotlemiex  35127  ballotlemsup  35130  ballotlemimin  35131  ballotlemfrcn0  35155  ballotlemirc  35157  erdszelem3  35937  erdszelem4  35938  erdszelem5  35939  erdszelem6  35940  erdszelem8  35942  erdszelem9  35943  erdszelem11  35945  erdsze2lem1  35947  erdsze2lem2  35948  supfz  36473  inffz  36474  gtinf  37087  ptrecube  38518  poimirlem31  38549  poimirlem32  38550  heicant  38553  mblfinlem3  38557  mblfinlem4  38558  ismblfin  38559  incsequz2  38663  totbndbnd  38703  prdsbnd  38707  aks4d1p4  43109  aks4d1p7  43113  sticksstones1  43176  sticksstones3  43178  sn-suprcld  43537  sn-suprubd  43538  frlmnzcoordval  43633  frlmnzcoordcl  43635  frlmnzcoordn0  43637  pellfundval  43866  dgraaval  44130  dgraaf  44133  fzisoeu  46285  uzublem  46409  infrglb  46571  limsupubuzlem  46691  fourierdlem25  47111  fourierdlem31  47117  fourierdlem36  47122  fourierdlem37  47123  fourierdlem42  47128  fourierdlem79  47164  ioorrnopnlem  47283  hoicvr  47527  hoidmvlelem2  47575  iunhoiioolem  47654  vonioolem1  47659  fsupdm2  47822  finfdm2  47826  chnsuslle  47860  prmdvdsfmtnof1lem1  48638  prmdvdsfmtnof  48640  prmdvdsfmtnof1  48641  ssnn0ssfz  49430  rrx2plordso  49805