Theorem ltso 11294

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttri 11285	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		lttr 11290	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5624	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:   Or wor 5588  ℝcr 11109   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  gtso  11295  lttri2  11296  lttri3  11297  lttri4  11298  ltnr  11309  ltnsym2  11313  fimaxre  12158  fiminre  12161  lbinf  12167  suprcl  12174  suprub  12175  suprlub  12178  infrecl  12196  infregelb  12198  infrelb  12199  supfirege  12201  suprfinzcl  12676  uzinfi  12912  suprzcl2  12922  suprzub  12923  2resupmax  13167  infmrp1  13323  fseqsupcl  13942  ssnn0fi  13950  fsuppmapnn0fiublem  13955  isercolllem1  15611  isercolllem2  15612  summolem2  15662  zsum  15664  fsumcvg3  15675  mertenslem2  15831  prodmolem2  15879  zprod  15881  cnso  16190  gcdval  16437  dfgcd2  16488  lcmval  16529  lcmgcdlem  16543  odzval  16724  pczpre  16780  prmreclem1  16849  ramz  16958  odval  19402  odf  19405  gexval  19446  gsumval3  19775  retos  21171  mbfsup  25181  mbfinf  25182  itg2monolem1  25268  itg2mono  25271  dvgt0lem2  25520  dvgt0  25521  plyeq0lem  25724  dgrval  25742  dgrcl  25747  dgrub  25748  dgrlb  25750  elqaalem1  25832  elqaalem3  25834  aalioulem2  25846  logccv  26171  ex-po  29688  ssnnssfz  31998  lmdvg  32933  oddpwdc  33353  ballotlemi  33499  ballotlemiex  33500  ballotlemsup  33503  ballotlemimin  33504  ballotlemfrcn0  33528  ballotlemirc  33530  erdszelem3  34184  erdszelem4  34185  erdszelem5  34186  erdszelem6  34187  erdszelem8  34189  erdszelem9  34190  erdszelem11  34192  erdsze2lem1  34194  erdsze2lem2  34195  supfz  34698  inffz  34699  gtinf  35204  ptrecube  36488  poimirlem31  36519  poimirlem32  36520  heicant  36523  mblfinlem3  36527  mblfinlem4  36528  ismblfin  36529  incsequz2  36617  totbndbnd  36657  prdsbnd  36661  aks4d1p4  40944  aks4d1p7  40948  sticksstones1  40962  sticksstones3  40964  pellfundval  41618  dgraaval  41886  dgraaf  41889  fzisoeu  44010  uzublem  44140  infrglb  44306  limsupubuzlem  44428  fourierdlem25  44848  fourierdlem31  44854  fourierdlem36  44859  fourierdlem37  44860  fourierdlem42  44865  fourierdlem79  44901  ioorrnopnlem  45020  hoicvr  45264  hoidmvlelem2  45312  iunhoiioolem  45391  vonioolem1  45396  fsupdm2  45559  finfdm2  45563  prmdvdsfmtnof1lem1  46252  prmdvdsfmtnof  46254  prmdvdsfmtnof1  46255  ssnn0ssfz  47025  rrx2plordso  47410