MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltso 11169
Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
ltso < Or ℝ

Proof of Theorem ltso
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlttri 11160 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥)))
2 lttr 11165 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
31, 2isso2i 5578 1 < Or ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   Or wor 5542  cr 10984   < clt 11123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-ltxr 11128
This theorem is referenced by:  gtso  11170  lttri2  11171  lttri3  11172  lttri4  11173  ltnr  11184  ltnsym2  11188  fimaxre  12033  fiminre  12036  lbinf  12042  suprcl  12049  suprub  12050  suprlub  12053  infrecl  12071  infregelb  12073  infrelb  12074  supfirege  12076  suprfinzcl  12551  uzinfi  12783  suprzcl2  12793  suprzub  12794  2resupmax  13037  infmrp1  13193  fseqsupcl  13812  ssnn0fi  13820  fsuppmapnn0fiublem  13825  isercolllem1  15485  isercolllem2  15486  summolem2  15537  zsum  15539  fsumcvg3  15550  mertenslem2  15706  prodmolem2  15754  zprod  15756  cnso  16065  gcdval  16312  dfgcd2  16363  lcmval  16404  lcmgcdlem  16418  odzval  16599  pczpre  16655  prmreclem1  16724  ramz  16833  odval  19251  odf  19254  gexval  19295  gsumval3  19619  retos  20951  mbfsup  24956  mbfinf  24957  itg2monolem1  25043  itg2mono  25046  dvgt0lem2  25295  dvgt0  25296  plyeq0lem  25499  dgrval  25517  dgrcl  25522  dgrub  25523  dgrlb  25525  elqaalem1  25607  elqaalem3  25609  aalioulem2  25621  logccv  25946  ex-po  29184  ssnnssfz  31491  lmdvg  32314  oddpwdc  32734  ballotlemi  32880  ballotlemiex  32881  ballotlemsup  32884  ballotlemimin  32885  ballotlemfrcn0  32909  ballotlemirc  32911  erdszelem3  33567  erdszelem4  33568  erdszelem5  33569  erdszelem6  33570  erdszelem8  33572  erdszelem9  33573  erdszelem11  33575  erdsze2lem1  33577  erdsze2lem2  33578  supfz  34095  inffz  34096  gtinf  34722  ptrecube  36009  poimirlem31  36040  poimirlem32  36041  heicant  36044  mblfinlem3  36048  mblfinlem4  36049  ismblfin  36050  incsequz2  36139  totbndbnd  36179  prdsbnd  36183  aks4d1p4  40467  aks4d1p7  40471  sticksstones1  40485  sticksstones3  40487  pellfundval  41105  dgraaval  41373  dgraaf  41376  fzisoeu  43329  uzublem  43460  infrglb  43622  limsupubuzlem  43744  fourierdlem25  44164  fourierdlem31  44170  fourierdlem36  44175  fourierdlem37  44176  fourierdlem42  44181  fourierdlem79  44217  ioorrnopnlem  44336  hoicvr  44580  hoidmvlelem2  44628  iunhoiioolem  44707  vonioolem1  44712  fsupdm2  44875  finfdm2  44879  prmdvdsfmtnof1lem1  45567  prmdvdsfmtnof  45569  prmdvdsfmtnof1  45570  ssnn0ssfz  46216  rrx2plordso  46601
  Copyright terms: Public domain W3C validator