Theorem ltso 11230

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttri 11221	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		lttr 11226	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5576	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:   Or wor 5538  ℝcr 11043   < clt 11184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189

This theorem is referenced by:  gtso  11231  lttri2  11232  lttri3  11233  lttri4  11234  ltnr  11245  ltnsym2  11249  fimaxre  12103  fiminre  12106  lbinf  12112  suprcl  12119  suprub  12120  suprlub  12123  infrecl  12141  infregelb  12143  infrelb  12144  supfirege  12146  suprfinzcl  12624  uzinfi  12863  suprzcl2  12873  suprzub  12874  2resupmax  13124  infmrp1  13281  fseqsupcl  13918  ssnn0fi  13926  fsuppmapnn0fiublem  13931  isercolllem1  15607  isercolllem2  15608  summolem2  15658  zsum  15660  fsumcvg3  15671  mertenslem2  15827  prodmolem2  15877  zprod  15879  cnso  16191  gcdval  16442  dfgcd2  16492  lcmval  16538  lcmgcdlem  16552  odzval  16738  pczpre  16794  prmreclem1  16863  ramz  16972  odval  19440  odf  19443  gexval  19484  gsumval3  19813  retos  21503  mbfsup  25541  mbfinf  25542  itg2monolem1  25627  itg2mono  25630  dvgt0lem2  25884  dvgt0  25885  plyeq0lem  26091  dgrval  26109  dgrcl  26114  dgrub  26115  dgrlb  26117  elqaalem1  26203  elqaalem3  26205  aalioulem2  26217  logccv  26548  ex-po  30337  ssnnssfz  32683  lmdvg  33916  oddpwdc  34318  ballotlemi  34465  ballotlemiex  34466  ballotlemsup  34469  ballotlemimin  34470  ballotlemfrcn0  34494  ballotlemirc  34496  erdszelem3  35153  erdszelem4  35154  erdszelem5  35155  erdszelem6  35156  erdszelem8  35158  erdszelem9  35159  erdszelem11  35161  erdsze2lem1  35163  erdsze2lem2  35164  supfz  35689  inffz  35690  gtinf  36280  ptrecube  37587  poimirlem31  37618  poimirlem32  37619  heicant  37622  mblfinlem3  37626  mblfinlem4  37627  ismblfin  37628  incsequz2  37716  totbndbnd  37756  prdsbnd  37760  aks4d1p4  42040  aks4d1p7  42044  sticksstones1  42107  sticksstones3  42109  sn-suprcld  42454  sn-suprubd  42455  pellfundval  42841  dgraaval  43106  dgraaf  43109  fzisoeu  45271  uzublem  45399  infrglb  45561  limsupubuzlem  45683  fourierdlem25  46103  fourierdlem31  46109  fourierdlem36  46114  fourierdlem37  46115  fourierdlem42  46120  fourierdlem79  46156  ioorrnopnlem  46275  hoicvr  46519  hoidmvlelem2  46567  iunhoiioolem  46646  vonioolem1  46651  fsupdm2  46814  finfdm2  46818  prmdvdsfmtnof1lem1  47558  prmdvdsfmtnof  47560  prmdvdsfmtnof1  47561  ssnn0ssfz  48310  rrx2plordso  48686