Theorem ltso 11196

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttri 11187	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		lttr 11192	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5564	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:   Or wor 5526  ℝcr 11008   < clt 11149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154

This theorem is referenced by:  gtso  11197  lttri2  11198  lttri3  11199  lttri4  11200  ltnr  11211  ltnsym2  11215  fimaxre  12069  fiminre  12072  lbinf  12078  suprcl  12085  suprub  12086  suprlub  12089  infrecl  12107  infregelb  12109  infrelb  12110  supfirege  12112  suprfinzcl  12590  uzinfi  12829  suprzcl2  12839  suprzub  12840  2resupmax  13090  infmrp1  13247  fseqsupcl  13884  ssnn0fi  13892  fsuppmapnn0fiublem  13897  isercolllem1  15572  isercolllem2  15573  summolem2  15623  zsum  15625  fsumcvg3  15636  mertenslem2  15792  prodmolem2  15842  zprod  15844  cnso  16156  gcdval  16407  dfgcd2  16457  lcmval  16503  lcmgcdlem  16517  odzval  16703  pczpre  16759  prmreclem1  16828  ramz  16937  odval  19413  odf  19416  gexval  19457  gsumval3  19786  retos  21525  mbfsup  25563  mbfinf  25564  itg2monolem1  25649  itg2mono  25652  dvgt0lem2  25906  dvgt0  25907  plyeq0lem  26113  dgrval  26131  dgrcl  26136  dgrub  26137  dgrlb  26139  elqaalem1  26225  elqaalem3  26227  aalioulem2  26239  logccv  26570  ex-po  30383  ssnnssfz  32739  lmdvg  33936  oddpwdc  34338  ballotlemi  34485  ballotlemiex  34486  ballotlemsup  34489  ballotlemimin  34490  ballotlemfrcn0  34514  ballotlemirc  34516  erdszelem3  35186  erdszelem4  35187  erdszelem5  35188  erdszelem6  35189  erdszelem8  35191  erdszelem9  35192  erdszelem11  35194  erdsze2lem1  35196  erdsze2lem2  35197  supfz  35722  inffz  35723  gtinf  36313  ptrecube  37620  poimirlem31  37651  poimirlem32  37652  heicant  37655  mblfinlem3  37659  mblfinlem4  37660  ismblfin  37661  incsequz2  37749  totbndbnd  37789  prdsbnd  37793  aks4d1p4  42072  aks4d1p7  42076  sticksstones1  42139  sticksstones3  42141  sn-suprcld  42486  sn-suprubd  42487  pellfundval  42873  dgraaval  43137  dgraaf  43140  fzisoeu  45302  uzublem  45429  infrglb  45591  limsupubuzlem  45713  fourierdlem25  46133  fourierdlem31  46139  fourierdlem36  46144  fourierdlem37  46145  fourierdlem42  46150  fourierdlem79  46186  ioorrnopnlem  46305  hoicvr  46549  hoidmvlelem2  46597  iunhoiioolem  46676  vonioolem1  46681  fsupdm2  46844  finfdm2  46848  prmdvdsfmtnof1lem1  47588  prmdvdsfmtnof  47590  prmdvdsfmtnof1  47591  ssnn0ssfz  48353  rrx2plordso  48729