MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltso Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltso 11169
Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Assertion
Ref Expression
ltso < Or ℝ

Proof of Theorem ltso
Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 axlttri 11160 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦𝑦 < 𝑥)))
2 lttr 11165 . 2 ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
31, 2isso2i 5578 1 < Or ℝ
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   Or wor 5542  cr 10984   < clt 11123
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2709  ax-sep 5255  ax-nul 5262  ax-pow 5319  ax-pr 5383  ax-un 7663  ax-resscn 11042  ax-pre-lttri 11059  ax-pre-lttrn 11060
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3064  df-rex 3073  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3739  df-csb 3855  df-dif 3912  df-un 3914  df-in 3916  df-ss 3926  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4865  df-br 5105  df-opab 5167  df-mpt 5188  df-id 5529  df-po 5543  df-so 5544  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6444  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8582  df-en 8818  df-dom 8819  df-sdom 8820  df-pnf 11125  df-mnf 11126  df-ltxr 11128
This theorem is referenced by:  gtso  11170  lttri2  11171  lttri3  11172  lttri4  11173  ltnr  11184  ltnsym2  11188  fimaxre  12033  fiminre  12036  lbinf  12042  suprcl  12049  suprub  12050  suprlub  12053  infrecl  12071  infregelb  12073  infrelb  12074  supfirege  12076  suprfinzcl  12550  uzinfi  12782  suprzcl2  12792  suprzub  12793  2resupmax  13036  infmrp1  13192  fseqsupcl  13811  ssnn0fi  13819  fsuppmapnn0fiublem  13824  isercolllem1  15484  isercolllem2  15485  summolem2  15536  zsum  15538  fsumcvg3  15549  mertenslem2  15705  prodmolem2  15753  zprod  15755  cnso  16064  gcdval  16311  dfgcd2  16362  lcmval  16403  lcmgcdlem  16417  odzval  16598  pczpre  16654  prmreclem1  16723  ramz  16832  odval  19249  odf  19252  gexval  19290  gsumval3  19614  retos  20946  mbfsup  24951  mbfinf  24952  itg2monolem1  25038  itg2mono  25041  dvgt0lem2  25290  dvgt0  25291  plyeq0lem  25494  dgrval  25512  dgrcl  25517  dgrub  25518  dgrlb  25520  elqaalem1  25602  elqaalem3  25604  aalioulem2  25616  logccv  25941  ex-po  29178  ssnnssfz  31485  lmdvg  32308  oddpwdc  32728  ballotlemi  32874  ballotlemiex  32875  ballotlemsup  32878  ballotlemimin  32879  ballotlemfrcn0  32903  ballotlemirc  32905  erdszelem3  33561  erdszelem4  33562  erdszelem5  33563  erdszelem6  33564  erdszelem8  33566  erdszelem9  33567  erdszelem11  33569  erdsze2lem1  33571  erdsze2lem2  33572  supfz  34092  inffz  34093  gtinf  34687  ptrecube  35974  poimirlem31  36005  poimirlem32  36006  heicant  36009  mblfinlem3  36013  mblfinlem4  36014  ismblfin  36015  incsequz2  36104  totbndbnd  36144  prdsbnd  36148  aks4d1p4  40432  aks4d1p7  40436  sticksstones1  40450  sticksstones3  40452  pellfundval  41069  dgraaval  41337  dgraaf  41340  fzisoeu  43293  uzublem  43424  infrglb  43586  limsupubuzlem  43708  fourierdlem25  44128  fourierdlem31  44134  fourierdlem36  44139  fourierdlem37  44140  fourierdlem42  44145  fourierdlem79  44181  ioorrnopnlem  44300  hoicvr  44544  hoidmvlelem2  44592  iunhoiioolem  44671  vonioolem1  44676  fsupdm2  44839  finfdm2  44843  prmdvdsfmtnof1lem1  45531  prmdvdsfmtnof  45533  prmdvdsfmtnof1  45534  ssnn0ssfz  46180  rrx2plordso  46565
  Copyright terms: Public domain W3C validator