Theorem ltso 11315

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttri 11306	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		lttr 11311	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5598	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:   Or wor 5560  ℝcr 11128   < clt 11269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274

This theorem is referenced by:  gtso  11316  lttri2  11317  lttri3  11318  lttri4  11319  ltnr  11330  ltnsym2  11334  fimaxre  12186  fiminre  12189  lbinf  12195  suprcl  12202  suprub  12203  suprlub  12206  infrecl  12224  infregelb  12226  infrelb  12227  supfirege  12229  suprfinzcl  12707  uzinfi  12944  suprzcl2  12954  suprzub  12955  2resupmax  13204  infmrp1  13361  fseqsupcl  13995  ssnn0fi  14003  fsuppmapnn0fiublem  14008  isercolllem1  15681  isercolllem2  15682  summolem2  15732  zsum  15734  fsumcvg3  15745  mertenslem2  15901  prodmolem2  15951  zprod  15953  cnso  16265  gcdval  16515  dfgcd2  16565  lcmval  16611  lcmgcdlem  16625  odzval  16811  pczpre  16867  prmreclem1  16936  ramz  17045  odval  19515  odf  19518  gexval  19559  gsumval3  19888  retos  21578  mbfsup  25617  mbfinf  25618  itg2monolem1  25703  itg2mono  25706  dvgt0lem2  25960  dvgt0  25961  plyeq0lem  26167  dgrval  26185  dgrcl  26190  dgrub  26191  dgrlb  26193  elqaalem1  26279  elqaalem3  26281  aalioulem2  26293  logccv  26624  ex-po  30416  ssnnssfz  32764  lmdvg  33984  oddpwdc  34386  ballotlemi  34533  ballotlemiex  34534  ballotlemsup  34537  ballotlemimin  34538  ballotlemfrcn0  34562  ballotlemirc  34564  erdszelem3  35215  erdszelem4  35216  erdszelem5  35217  erdszelem6  35218  erdszelem8  35220  erdszelem9  35221  erdszelem11  35223  erdsze2lem1  35225  erdsze2lem2  35226  supfz  35746  inffz  35747  gtinf  36337  ptrecube  37644  poimirlem31  37675  poimirlem32  37676  heicant  37679  mblfinlem3  37683  mblfinlem4  37684  ismblfin  37685  incsequz2  37773  totbndbnd  37813  prdsbnd  37817  aks4d1p4  42092  aks4d1p7  42096  sticksstones1  42159  sticksstones3  42161  sn-suprcld  42516  sn-suprubd  42517  pellfundval  42903  dgraaval  43168  dgraaf  43171  fzisoeu  45329  uzublem  45457  infrglb  45619  limsupubuzlem  45741  fourierdlem25  46161  fourierdlem31  46167  fourierdlem36  46172  fourierdlem37  46173  fourierdlem42  46178  fourierdlem79  46214  ioorrnopnlem  46333  hoicvr  46577  hoidmvlelem2  46625  iunhoiioolem  46704  vonioolem1  46709  fsupdm2  46872  finfdm2  46876  prmdvdsfmtnof1lem1  47598  prmdvdsfmtnof  47600  prmdvdsfmtnof1  47601  ssnn0ssfz  48324  rrx2plordso  48704