Theorem ltso 11211

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttri 11202	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		lttr 11207	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5567	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:   Or wor 5529  ℝcr 11023   < clt 11164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169

This theorem is referenced by:  gtso  11212  lttri2  11213  lttri3  11214  lttri4  11215  ltnr  11226  ltnsym2  11230  fimaxre  12084  fiminre  12087  lbinf  12093  suprcl  12100  suprub  12101  suprlub  12104  infrecl  12122  infregelb  12124  infrelb  12125  supfirege  12127  suprfinzcl  12604  uzinfi  12839  suprzcl2  12849  suprzub  12850  2resupmax  13101  infmrp1  13258  fseqsupcl  13898  ssnn0fi  13906  fsuppmapnn0fiublem  13911  isercolllem1  15586  isercolllem2  15587  summolem2  15637  zsum  15639  fsumcvg3  15650  mertenslem2  15806  prodmolem2  15856  zprod  15858  cnso  16170  gcdval  16421  dfgcd2  16471  lcmval  16517  lcmgcdlem  16531  odzval  16717  pczpre  16773  prmreclem1  16842  ramz  16951  odval  19461  odf  19464  gexval  19505  gsumval3  19834  retos  21571  mbfsup  25619  mbfinf  25620  itg2monolem1  25705  itg2mono  25708  dvgt0lem2  25962  dvgt0  25963  plyeq0lem  26169  dgrval  26187  dgrcl  26192  dgrub  26193  dgrlb  26195  elqaalem1  26281  elqaalem3  26283  aalioulem2  26295  logccv  26626  ex-po  30459  ssnnssfz  32816  lmdvg  34059  oddpwdc  34460  ballotlemi  34607  ballotlemiex  34608  ballotlemsup  34611  ballotlemimin  34612  ballotlemfrcn0  34636  ballotlemirc  34638  erdszelem3  35336  erdszelem4  35337  erdszelem5  35338  erdszelem6  35339  erdszelem8  35341  erdszelem9  35342  erdszelem11  35344  erdsze2lem1  35346  erdsze2lem2  35347  supfz  35872  inffz  35873  gtinf  36462  ptrecube  37760  poimirlem31  37791  poimirlem32  37792  heicant  37795  mblfinlem3  37799  mblfinlem4  37800  ismblfin  37801  incsequz2  37889  totbndbnd  37929  prdsbnd  37933  aks4d1p4  42272  aks4d1p7  42276  sticksstones1  42339  sticksstones3  42341  sn-suprcld  42690  sn-suprubd  42691  pellfundval  43064  dgraaval  43328  dgraaf  43331  fzisoeu  45490  uzublem  45616  infrglb  45778  limsupubuzlem  45898  fourierdlem25  46318  fourierdlem31  46324  fourierdlem36  46329  fourierdlem37  46330  fourierdlem42  46335  fourierdlem79  46371  ioorrnopnlem  46490  hoicvr  46734  hoidmvlelem2  46782  iunhoiioolem  46861  vonioolem1  46866  fsupdm2  47029  finfdm2  47033  chnsuslle  47067  prmdvdsfmtnof1lem1  47772  prmdvdsfmtnof  47774  prmdvdsfmtnof1  47775  ssnn0ssfz  48537  rrx2plordso  48912