Theorem ltso 11196

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttri 11187	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		lttr 11192	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5564	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:   Or wor 5526  ℝcr 11008   < clt 11149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154

This theorem is referenced by:  gtso  11197  lttri2  11198  lttri3  11199  lttri4  11200  ltnr  11211  ltnsym2  11215  fimaxre  12069  fiminre  12072  lbinf  12078  suprcl  12085  suprub  12086  suprlub  12089  infrecl  12107  infregelb  12109  infrelb  12110  supfirege  12112  suprfinzcl  12590  uzinfi  12829  suprzcl2  12839  suprzub  12840  2resupmax  13090  infmrp1  13247  fseqsupcl  13884  ssnn0fi  13892  fsuppmapnn0fiublem  13897  isercolllem1  15572  isercolllem2  15573  summolem2  15623  zsum  15625  fsumcvg3  15636  mertenslem2  15792  prodmolem2  15842  zprod  15844  cnso  16156  gcdval  16407  dfgcd2  16457  lcmval  16503  lcmgcdlem  16517  odzval  16703  pczpre  16759  prmreclem1  16828  ramz  16937  odval  19413  odf  19416  gexval  19457  gsumval3  19786  retos  21525  mbfsup  25563  mbfinf  25564  itg2monolem1  25649  itg2mono  25652  dvgt0lem2  25906  dvgt0  25907  plyeq0lem  26113  dgrval  26131  dgrcl  26136  dgrub  26137  dgrlb  26139  elqaalem1  26225  elqaalem3  26227  aalioulem2  26239  logccv  26570  ex-po  30379  ssnnssfz  32730  lmdvg  33920  oddpwdc  34322  ballotlemi  34469  ballotlemiex  34470  ballotlemsup  34473  ballotlemimin  34474  ballotlemfrcn0  34498  ballotlemirc  34500  erdszelem3  35166  erdszelem4  35167  erdszelem5  35168  erdszelem6  35169  erdszelem8  35171  erdszelem9  35172  erdszelem11  35174  erdsze2lem1  35176  erdsze2lem2  35177  supfz  35702  inffz  35703  gtinf  36293  ptrecube  37600  poimirlem31  37631  poimirlem32  37632  heicant  37635  mblfinlem3  37639  mblfinlem4  37640  ismblfin  37641  incsequz2  37729  totbndbnd  37769  prdsbnd  37773  aks4d1p4  42052  aks4d1p7  42056  sticksstones1  42119  sticksstones3  42121  sn-suprcld  42466  sn-suprubd  42467  pellfundval  42853  dgraaval  43117  dgraaf  43120  fzisoeu  45282  uzublem  45409  infrglb  45571  limsupubuzlem  45693  fourierdlem25  46113  fourierdlem31  46119  fourierdlem36  46124  fourierdlem37  46125  fourierdlem42  46130  fourierdlem79  46166  ioorrnopnlem  46285  hoicvr  46529  hoidmvlelem2  46577  iunhoiioolem  46656  vonioolem1  46661  fsupdm2  46824  finfdm2  46828  prmdvdsfmtnof1lem1  47568  prmdvdsfmtnof  47570  prmdvdsfmtnof1  47571  ssnn0ssfz  48333  rrx2plordso  48709