Theorem ltso 11213

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttri 11204	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		lttr 11209	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5569	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:   Or wor 5531  ℝcr 11025   < clt 11166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171

This theorem is referenced by:  gtso  11214  lttri2  11215  lttri3  11216  lttri4  11217  ltnr  11228  ltnsym2  11232  fimaxre  12086  fiminre  12089  lbinf  12095  suprcl  12102  suprub  12103  suprlub  12106  infrecl  12124  infregelb  12126  infrelb  12127  supfirege  12129  suprfinzcl  12606  uzinfi  12841  suprzcl2  12851  suprzub  12852  2resupmax  13103  infmrp1  13260  fseqsupcl  13900  ssnn0fi  13908  fsuppmapnn0fiublem  13913  isercolllem1  15588  isercolllem2  15589  summolem2  15639  zsum  15641  fsumcvg3  15652  mertenslem2  15808  prodmolem2  15858  zprod  15860  cnso  16172  gcdval  16423  dfgcd2  16473  lcmval  16519  lcmgcdlem  16533  odzval  16719  pczpre  16775  prmreclem1  16844  ramz  16953  odval  19463  odf  19466  gexval  19507  gsumval3  19836  retos  21573  mbfsup  25621  mbfinf  25622  itg2monolem1  25707  itg2mono  25710  dvgt0lem2  25964  dvgt0  25965  plyeq0lem  26171  dgrval  26189  dgrcl  26194  dgrub  26195  dgrlb  26197  elqaalem1  26283  elqaalem3  26285  aalioulem2  26297  logccv  26628  ex-po  30510  ssnnssfz  32867  lmdvg  34110  oddpwdc  34511  ballotlemi  34658  ballotlemiex  34659  ballotlemsup  34662  ballotlemimin  34663  ballotlemfrcn0  34687  ballotlemirc  34689  erdszelem3  35387  erdszelem4  35388  erdszelem5  35389  erdszelem6  35390  erdszelem8  35392  erdszelem9  35393  erdszelem11  35395  erdsze2lem1  35397  erdsze2lem2  35398  supfz  35923  inffz  35924  gtinf  36513  ptrecube  37821  poimirlem31  37852  poimirlem32  37853  heicant  37856  mblfinlem3  37860  mblfinlem4  37861  ismblfin  37862  incsequz2  37950  totbndbnd  37990  prdsbnd  37994  aks4d1p4  42333  aks4d1p7  42337  sticksstones1  42400  sticksstones3  42402  sn-suprcld  42748  sn-suprubd  42749  pellfundval  43122  dgraaval  43386  dgraaf  43389  fzisoeu  45548  uzublem  45674  infrglb  45836  limsupubuzlem  45956  fourierdlem25  46376  fourierdlem31  46382  fourierdlem36  46387  fourierdlem37  46388  fourierdlem42  46393  fourierdlem79  46429  ioorrnopnlem  46548  hoicvr  46792  hoidmvlelem2  46840  iunhoiioolem  46919  vonioolem1  46924  fsupdm2  47087  finfdm2  47091  chnsuslle  47125  prmdvdsfmtnof1lem1  47830  prmdvdsfmtnof  47832  prmdvdsfmtnof1  47833  ssnn0ssfz  48595  rrx2plordso  48970