Theorem ltso 11289

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttri 11280	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		lttr 11285	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5607	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:   Or wor 5569  ℝcr 11098   < clt 11242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247

This theorem is referenced by:  gtso  11290  lttri2  11291  lttri3  11292  lttri4  11293  ltnr  11304  ltnsym2  11308  fimaxre  12158  fiminre  12161  lbinf  12167  suprcl  12174  suprub  12175  suprlub  12178  infrecl  12196  infregelb  12198  infrelb  12199  supfirege  12201  suprfinzcl  12709  uzinfi  12951  suprzcl2  12961  suprzub  12962  2resupmax  13213  infmrp1  13370  fseqsupcl  14012  ssnn0fi  14020  fsuppmapnn0fiublem  14025  isercolllem1  15715  isercolllem2  15716  summolem2  15766  zsum  15768  fsumcvg3  15779  mertenslem2  15938  prodmolem2  15988  zprod  15990  cnso  16302  gcdval  16553  dfgcd2  16603  lcmval  16649  lcmgcdlem  16663  odzval  16850  pczpre  16906  prmreclem1  16975  ramz  17084  odval  19603  odf  19606  gexval  19647  gsumval3  19976  retos  21736  mbfsup  25791  mbfinf  25792  itg2monolem1  25877  itg2mono  25880  dvgt0lem2  26130  dvgt0  26131  plyeq0lem  26335  dgrval  26353  dgrcl  26358  dgrub  26359  dgrlb  26361  elqaalem1  26448  elqaalem3  26450  aalioulem2  26462  logccv  26793  ex-po  30726  ssnnssfz  33072  lmdvg  34287  oddpwdc  34688  ballotlemi  34835  ballotlemiex  34836  ballotlemsup  34839  ballotlemimin  34840  ballotlemfrcn0  34864  ballotlemirc  34866  erdszelem3  35583  erdszelem4  35584  erdszelem5  35585  erdszelem6  35586  erdszelem8  35588  erdszelem9  35589  erdszelem11  35591  erdsze2lem1  35593  erdsze2lem2  35594  supfz  36119  inffz  36120  gtinf  36718  ptrecube  38158  poimirlem31  38189  poimirlem32  38190  heicant  38193  mblfinlem3  38197  mblfinlem4  38198  ismblfin  38199  incsequz2  38287  totbndbnd  38327  prdsbnd  38331  aks4d1p4  42735  aks4d1p7  42739  sticksstones1  42802  sticksstones3  42804  sn-suprcld  43156  sn-suprubd  43157  pellfundval  43498  dgraaval  43762  dgraaf  43765  fzisoeu  45910  uzublem  46035  infrglb  46197  limsupubuzlem  46317  fourierdlem25  46737  fourierdlem31  46743  fourierdlem36  46748  fourierdlem37  46749  fourierdlem42  46754  fourierdlem79  46790  ioorrnopnlem  46909  hoicvr  47153  hoidmvlelem2  47201  iunhoiioolem  47280  vonioolem1  47285  fsupdm2  47448  finfdm2  47452  chnsuslle  47488  prmdvdsfmtnof1lem1  48224  prmdvdsfmtnof  48226  prmdvdsfmtnof1  48227  ssnn0ssfz  49013  rrx2plordso  49388