Theorem ltso 11341

Description: 'Less than' is a strict ordering. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)

Assertion

Ref	Expression
ltso	⊢ < Or ℝ

Proof of Theorem ltso

Dummy variables 𝑥 𝑦 𝑧 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		axlttri 11332	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ) → (𝑥 < 𝑦 ↔ ¬ (𝑥 = 𝑦 ∨ 𝑦 < 𝑥)))
2		lttr 11337	. 2 ⊢ ((𝑥 ∈ ℝ ∧ 𝑦 ∈ ℝ ∧ 𝑧 ∈ ℝ) → ((𝑥 < 𝑦 ∧ 𝑦 < 𝑧) → 𝑥 < 𝑧))
3	1, 2	isso2i 5629	1 ⊢ < Or ℝ

Syntax hints:   Or wor 5591  ℝcr 11154   < clt 11295

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300

This theorem is referenced by:  gtso  11342  lttri2  11343  lttri3  11344  lttri4  11345  ltnr  11356  ltnsym2  11360  fimaxre  12212  fiminre  12215  lbinf  12221  suprcl  12228  suprub  12229  suprlub  12232  infrecl  12250  infregelb  12252  infrelb  12253  supfirege  12255  suprfinzcl  12732  uzinfi  12970  suprzcl2  12980  suprzub  12981  2resupmax  13230  infmrp1  13386  fseqsupcl  14018  ssnn0fi  14026  fsuppmapnn0fiublem  14031  isercolllem1  15701  isercolllem2  15702  summolem2  15752  zsum  15754  fsumcvg3  15765  mertenslem2  15921  prodmolem2  15971  zprod  15973  cnso  16283  gcdval  16533  dfgcd2  16583  lcmval  16629  lcmgcdlem  16643  odzval  16829  pczpre  16885  prmreclem1  16954  ramz  17063  odval  19552  odf  19555  gexval  19596  gsumval3  19925  retos  21636  mbfsup  25699  mbfinf  25700  itg2monolem1  25785  itg2mono  25788  dvgt0lem2  26042  dvgt0  26043  plyeq0lem  26249  dgrval  26267  dgrcl  26272  dgrub  26273  dgrlb  26275  elqaalem1  26361  elqaalem3  26363  aalioulem2  26375  logccv  26705  ex-po  30454  ssnnssfz  32789  lmdvg  33952  oddpwdc  34356  ballotlemi  34503  ballotlemiex  34504  ballotlemsup  34507  ballotlemimin  34508  ballotlemfrcn0  34532  ballotlemirc  34534  erdszelem3  35198  erdszelem4  35199  erdszelem5  35200  erdszelem6  35201  erdszelem8  35203  erdszelem9  35204  erdszelem11  35206  erdsze2lem1  35208  erdsze2lem2  35209  supfz  35729  inffz  35730  gtinf  36320  ptrecube  37627  poimirlem31  37658  poimirlem32  37659  heicant  37662  mblfinlem3  37666  mblfinlem4  37667  ismblfin  37668  incsequz2  37756  totbndbnd  37796  prdsbnd  37800  aks4d1p4  42080  aks4d1p7  42084  sticksstones1  42147  sticksstones3  42149  sn-suprcld  42503  sn-suprubd  42504  pellfundval  42891  dgraaval  43156  dgraaf  43159  fzisoeu  45312  uzublem  45441  infrglb  45605  limsupubuzlem  45727  fourierdlem25  46147  fourierdlem31  46153  fourierdlem36  46158  fourierdlem37  46159  fourierdlem42  46164  fourierdlem79  46200  ioorrnopnlem  46319  hoicvr  46563  hoidmvlelem2  46611  iunhoiioolem  46690  vonioolem1  46695  fsupdm2  46858  finfdm2  46862  prmdvdsfmtnof1lem1  47571  prmdvdsfmtnof  47573  prmdvdsfmtnof1  47574  ssnn0ssfz  48265  rrx2plordso  48645