Theorem squeeze0 12086

Description: If a nonnegative number is less than any positive number, it is zero. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
squeeze0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem squeeze0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11176	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leloe 11260	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
3	1, 2	mpan 690	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
5		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐴))
6	4, 5	imbi12d 344	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) ↔ (0 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴)))
7	6	rspcv 3584	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → (0 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴)))
8		ltnr 11269	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
9	8	pm2.21d 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐴 → 𝐴 = 0))
10	9	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = 0))
11	10	imim2i 16	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴) → (0 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = 0)))
12	11	com13 88	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((0 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴) → 𝐴 = 0)))
13	7, 12	syl5d 73	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
14		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0))
15	14	eqcoms 2737	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0))
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
17	13, 16	jaod 859	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
18	3, 17	sylbid 240	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
19	18	3imp 1110	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 206   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109  ∀wral 3044   class class class wbr 5107  ℝcr 11067  0cc0 11068   < clt 11208   ≤ cle 11209

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-addrcl 11129  ax-rnegex 11139  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214

This theorem is referenced by: (None)