Theorem squeeze0 11867

Description: If a nonnegative number is less than any positive number, it is zero. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
squeeze0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem squeeze0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 10966	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leloe 11050	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
3	1, 2	mpan 687	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4		breq2 5079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
5		breq2 5079	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐴))
6	4, 5	imbi12d 345	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) ↔ (0 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴)))
7	6	rspcv 3556	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → (0 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴)))
8		ltnr 11059	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
9	8	pm2.21d 121	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐴 → 𝐴 = 0))
10	9	com12 32	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = 0))
11	10	imim2i 16	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴) → (0 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = 0)))
12	11	com13 88	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((0 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴) → 𝐴 = 0)))
13	7, 12	syl5d 73	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
14		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0))
15	14	eqcoms 2746	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0))
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
17	13, 16	jaod 856	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
18	3, 17	sylbid 239	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
19	18	3imp 1110	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)

Syntax hints:   → wi 4   ↔ wb 205   ∨ wo 844   ∧ w3a 1086   = wceq 1539   ∈ wcel 2106  ∀wral 3064   class class class wbr 5075  ℝcr 10859  0cc0 10860   < clt 10998   ≤ cle 10999

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7580  ax-resscn 10917  ax-1cn 10918  ax-addrcl 10921  ax-rnegex 10931  ax-cnre 10933  ax-pre-lttri 10934  ax-pre-lttrn 10935

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3433  df-sbc 3718  df-csb 3834  df-dif 3891  df-un 3893  df-in 3895  df-ss 3905  df-nul 4259  df-if 4462  df-pw 4537  df-sn 4564  df-pr 4566  df-op 4570  df-uni 4842  df-br 5076  df-opab 5138  df-mpt 5159  df-id 5486  df-po 5500  df-so 5501  df-xp 5592  df-rel 5593  df-cnv 5594  df-co 5595  df-dm 5596  df-rn 5597  df-res 5598  df-ima 5599  df-iota 6386  df-fun 6430  df-fn 6431  df-f 6432  df-f1 6433  df-fo 6434  df-f1o 6435  df-fv 6436  df-er 8487  df-en 8723  df-dom 8724  df-sdom 8725  df-pnf 11000  df-mnf 11001  df-xr 11002  df-ltxr 11003  df-le 11004

This theorem is referenced by: (None)