MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  squeeze0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem squeeze0 12171
Description: If a nonnegative number is less than any positive number, it is zero. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
squeeze0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem squeeze0
StepHypRef Expression
1 0re 11263 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 leloe 11347 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
31, 2mpan 690 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4 breq2 5147 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
5 breq2 5147 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 < 𝑥𝐴 < 𝐴))
64, 5imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) ↔ (0 < 𝐴𝐴 < 𝐴)))
76rspcv 3618 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → (0 < 𝐴𝐴 < 𝐴)))
8 ltnr 11356 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
98pm2.21d 121 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐴𝐴 = 0))
109com12 32 . . . . . . 7 (𝐴 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = 0))
1110imim2i 16 . . . . . 6 ((0 < 𝐴𝐴 < 𝐴) → (0 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = 0)))
1211com13 88 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((0 < 𝐴𝐴 < 𝐴) → 𝐴 = 0)))
137, 12syl5d 73 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
14 ax-1 6 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0))
1514eqcoms 2745 . . . . 5 (0 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0))
1615a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
1713, 16jaod 860 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
183, 17sylbid 240 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
19183imp 1111 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wo 848  w3a 1087   = wceq 1540  wcel 2108  wral 3061   class class class wbr 5143  cr 11154  0cc0 11155   < clt 11295  cle 11296
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-addrcl 11216  ax-rnegex 11226  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-xr 11299  df-ltxr 11300  df-le 11301
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator