Theorem squeeze0 12250

Description: If a nonnegative number is less than any positive number, it is zero. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.)

Assertion

Ref	Expression
squeeze0	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)

Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem squeeze0

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0re 11340	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
2		leloe 11426	. . . 4 ⊢ ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
3	1, 2	mpan 703	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4		breq2 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
5		breq2 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 < 𝑥 ↔ 𝐴 < 𝐴))
6	4, 5	imbi12d 347	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) ↔ (0 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴)))
7	6	rspcv 3576	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → (0 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴)))
8		ltnr 11435	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
9	8	pm2.21d 122	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐴 → 𝐴 = 0))
10	9	com12 33	. . . . . . 7 ⊢ (𝐴 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = 0))
11	10	imim2i 17	. . . . . 6 ⊢ ((0 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴) → (0 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = 0)))
12	11	com13 89	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((0 < 𝐴 → 𝐴 < 𝐴) → 𝐴 = 0)))
13	7, 12	syl5d 74	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
14		ax-1 6	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0))
15	14	eqcoms 2771	. . . . 5 ⊢ (0 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0))
16	15	a1i 11	. . . 4 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
17	13, 16	jaod 873	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
18	3, 17	sylbid 243	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
19	18	3imp 1128	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥 → 𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ↔ wb 209   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147  ∀wral 3080   class class class wbr 5106  ℝcr 11229  0cc0 11230   < clt 11373   ≤ cle 11374

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-addrcl 11291  ax-rnegex 11301  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5551  df-po 5564  df-so 5565  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379

This theorem is used by: (None)