MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  squeeze0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem squeeze0 12169
Description: If a nonnegative number is less than any positive number, it is zero. (Contributed by NM, 11-Feb-2006.)
Assertion
Ref Expression
squeeze0 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)
Distinct variable group:   𝑥,𝐴

Proof of Theorem squeeze0
StepHypRef Expression
1 0re 11261 . . . 4 0 ∈ ℝ
2 leloe 11345 . . . 4 ((0 ∈ ℝ ∧ 𝐴 ∈ ℝ) → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
31, 2mpan 690 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 ↔ (0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴)))
4 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
5 breq2 5152 . . . . . . 7 (𝑥 = 𝐴 → (𝐴 < 𝑥𝐴 < 𝐴))
64, 5imbi12d 344 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) ↔ (0 < 𝐴𝐴 < 𝐴)))
76rspcv 3618 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → (0 < 𝐴𝐴 < 𝐴)))
8 ltnr 11354 . . . . . . . . 9 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
98pm2.21d 121 . . . . . . . 8 (𝐴 ∈ ℝ → (𝐴 < 𝐴𝐴 = 0))
109com12 32 . . . . . . 7 (𝐴 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = 0))
1110imim2i 16 . . . . . 6 ((0 < 𝐴𝐴 < 𝐴) → (0 < 𝐴 → (𝐴 ∈ ℝ → 𝐴 = 0)))
1211com13 88 . . . . 5 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → ((0 < 𝐴𝐴 < 𝐴) → 𝐴 = 0)))
137, 12syl5d 73 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 < 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
14 ax-1 6 . . . . . 6 (𝐴 = 0 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0))
1514eqcoms 2743 . . . . 5 (0 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0))
1615a1i 11 . . . 4 (𝐴 ∈ ℝ → (0 = 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
1713, 16jaod 859 . . 3 (𝐴 ∈ ℝ → ((0 < 𝐴 ∨ 0 = 𝐴) → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
183, 17sylbid 240 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → (0 ≤ 𝐴 → (∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥) → 𝐴 = 0)))
19183imp 1110 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 0 ≤ 𝐴 ∧ ∀𝑥 ∈ ℝ (0 < 𝑥𝐴 < 𝑥)) → 𝐴 = 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wb 206  wo 847  w3a 1086   = wceq 1537  wcel 2106  wral 3059   class class class wbr 5148  cr 11152  0cc0 11153   < clt 11293  cle 11294
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-addrcl 11214  ax-rnegex 11224  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228
This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-xr 11297  df-ltxr 11298  df-le 11299
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator