Theorem ltnrd 11379

Description: 'Less than' is irreflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltnrd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem ltnrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnr 11340	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2099   class class class wbr 5148  ℝcr 11138   < clt 11279

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1790  ax-4 1804  ax-5 1906  ax-6 1964  ax-7 2004  ax-8 2101  ax-9 2109  ax-10 2130  ax-11 2147  ax-12 2167  ax-ext 2699  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5429  ax-un 7740  ax-resscn 11196  ax-pre-lttri 11213  ax-pre-lttrn 11214

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 847  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1537  df-fal 1547  df-ex 1775  df-nf 1779  df-sb 2061  df-mo 2530  df-eu 2559  df-clab 2706  df-cleq 2720  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2938  df-nel 3044  df-ral 3059  df-rex 3068  df-rab 3430  df-v 3473  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5576  df-po 5590  df-so 5591  df-xp 5684  df-rel 5685  df-cnv 5686  df-co 5687  df-dm 5688  df-rn 5689  df-res 5690  df-ima 5691  df-iota 6500  df-fun 6550  df-fn 6551  df-f 6552  df-f1 6553  df-fo 6554  df-f1o 6555  df-fv 6556  df-er 8725  df-en 8965  df-dom 8966  df-sdom 8967  df-pnf 11281  df-mnf 11282  df-ltxr 11284

This theorem is referenced by:  zbtwnre  12961  fzonel  13679  rlimuni  15527  climuni  15529  prmreclem6  16890  ivthlem2  25394  ivthlem3  25395  iundisj  25490  ovolioo  25510  itgsplitioo  25780  iundisjf  32392  ubico  32556  iundisjfi  32577  erdszelem4  34804  poimirlem1  37094  poimirlem27  37120  aks4d1p5  41551  sqrtcval  43071  limclner  45039