MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltnrd Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltnrd 11296
Description: 'Less than' is irreflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
ltd.1 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
Assertion
Ref Expression
ltnrd (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem ltnrd
StepHypRef Expression
1 ltd.1 . 2 (𝜑𝐴 ∈ ℝ)
2 ltnr 11257 . 2 (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
31, 2syl 17 1 (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wcel 2107   class class class wbr 5110  cr 11057   < clt 11196
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2708  ax-sep 5261  ax-nul 5268  ax-pow 5325  ax-pr 5389  ax-un 7677  ax-resscn 11115  ax-pre-lttri 11132  ax-pre-lttrn 11133
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2815  df-nfc 2890  df-ne 2945  df-nel 3051  df-ral 3066  df-rex 3075  df-rab 3411  df-v 3450  df-sbc 3745  df-csb 3861  df-dif 3918  df-un 3920  df-in 3922  df-ss 3932  df-nul 4288  df-if 4492  df-pw 4567  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4871  df-br 5111  df-opab 5173  df-mpt 5194  df-id 5536  df-po 5550  df-so 5551  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6453  df-fun 6503  df-fn 6504  df-f 6505  df-f1 6506  df-fo 6507  df-f1o 6508  df-fv 6509  df-er 8655  df-en 8891  df-dom 8892  df-sdom 8893  df-pnf 11198  df-mnf 11199  df-ltxr 11201
This theorem is referenced by:  zbtwnre  12878  fzonel  13593  rlimuni  15439  climuni  15441  prmreclem6  16800  ivthlem2  24832  ivthlem3  24833  iundisj  24928  ovolioo  24948  itgsplitioo  25218  iundisjf  31549  ubico  31720  iundisjfi  31741  erdszelem4  33828  poimirlem1  36108  poimirlem27  36134  aks4d1p5  40566  sqrtcval  41987  limclner  43966
  Copyright terms: Public domain W3C validator