Theorem ltnrd 11275

Description: 'Less than' is irreflexive. (Contributed by Mario Carneiro, 27-May-2016.)

Hypothesis

Ref	Expression
ltd.1	⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)

Assertion

Ref	Expression
ltnrd	⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Proof of Theorem ltnrd

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltd.1	. 2 ⊢ (𝜑 → 𝐴 ∈ ℝ)
2		ltnr 11236	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℝ → ¬ 𝐴 < 𝐴)
3	1, 2	syl 17	1 ⊢ (𝜑 → ¬ 𝐴 < 𝐴)

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ∈ wcel 2114   class class class wbr 5086  ℝcr 11032   < clt 11174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5304  ax-pr 5372  ax-un 7684  ax-resscn 11090  ax-pre-lttri 11107  ax-pre-lttrn 11108

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5521  df-po 5534  df-so 5535  df-xp 5632  df-rel 5633  df-cnv 5634  df-co 5635  df-dm 5636  df-rn 5637  df-res 5638  df-ima 5639  df-iota 6450  df-fun 6496  df-fn 6497  df-f 6498  df-f1 6499  df-fo 6500  df-f1o 6501  df-fv 6502  df-er 8638  df-en 8889  df-dom 8890  df-sdom 8891  df-pnf 11176  df-mnf 11177  df-ltxr 11179

This theorem is referenced by:  zbtwnre  12891  fzonel  13623  rlimuni  15507  climuni  15509  prmreclem6  16887  ivthlem2  25433  ivthlem3  25434  iundisj  25529  ovolioo  25549  itgsplitioo  25819  iundisjf  32678  ubico  32867  iundisjfi  32888  erdszelem4  35396  poimirlem1  37960  poimirlem27  37986  aks4d1p5  42537  unitscyglem4  42655  mullt0b2d  42947  sqrtcval  44090  limclner  46101  nnmul2  47794