MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri2i Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lttri2i 11329
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by NM, 19-Jan-1997.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
lt.2 𝐵 ∈ ℝ
Assertion
Ref Expression
lttri2i (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴))

Proof of Theorem lttri2i
StepHypRef Expression
1 lt.1 . 2 𝐴 ∈ ℝ
2 lt.2 . 2 𝐵 ∈ ℝ
3 lttri2 11297 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
41, 2, 3mp2an 689 1 (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wb 205  wo 844  wcel 2098  wne 2934   class class class wbr 5141  cr 11108   < clt 11249
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1789  ax-4 1803  ax-5 1905  ax-6 1963  ax-7 2003  ax-8 2100  ax-9 2108  ax-10 2129  ax-11 2146  ax-12 2163  ax-ext 2697  ax-sep 5292  ax-nul 5299  ax-pow 5356  ax-pr 5420  ax-un 7721  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1536  df-fal 1546  df-ex 1774  df-nf 1778  df-sb 2060  df-mo 2528  df-eu 2557  df-clab 2704  df-cleq 2718  df-clel 2804  df-nfc 2879  df-ne 2935  df-nel 3041  df-ral 3056  df-rex 3065  df-rab 3427  df-v 3470  df-sbc 3773  df-csb 3889  df-dif 3946  df-un 3948  df-in 3950  df-ss 3960  df-nul 4318  df-if 4524  df-pw 4599  df-sn 4624  df-pr 4626  df-op 4630  df-uni 4903  df-br 5142  df-opab 5204  df-mpt 5225  df-id 5567  df-po 5581  df-so 5582  df-xp 5675  df-rel 5676  df-cnv 5677  df-co 5678  df-dm 5679  df-rn 5680  df-res 5681  df-ima 5682  df-iota 6488  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11251  df-mnf 11252  df-ltxr 11254
This theorem is referenced by:  nnne0  12247  nn0opthi  14233  dvdslelem  16257  divalglem6  16346  sn-0ne2  41838  sn-nnne0  41880  sn-0lt1  41894
  Copyright terms: Public domain W3C validator