Theorem lttri2 11295

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lttri2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem lttri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11293	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2		sotrieq 5617	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
3	1, 2	mpan 688	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
4	3	bicomd 222	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	4	necon1abid 2979	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))

Syntax hints:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 205   ∧ wa 396   ∨ wo 845   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148   Or wor 5587  ℝcr 11108   < clt 11247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252

This theorem is referenced by:  ne0gt0  11318  lttri2i  11327  lttri2d  11352  cshwshashlem3  17030  gsummoncoe1  21827  mp2pm2mplem4  22310  chfacfscmulgsum  22361  chfacfpmmulgsum  22365  dvne0  25527  relogbf  26293  atanlogsub  26418  nn0prpw  35203  itg2addnclem2  36535  12gcd5e1  40863  sticksstones1  40957  sticksstones2  40958  nerabdioph  41537  rpnnen3  41761  fmul01lt1lem1  44290