Theorem lttri2 11320

Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.)

Assertion

Ref	Expression
lttri2	⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem lttri2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ltso 11318	. . . 4 ⊢ < Or ℝ
2		sotrieq 5598	. . . 4 ⊢ (( < Or ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
3	1, 2	mpan 703	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))
4	3	bicomd 226	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴) ↔ 𝐴 = 𝐵))
5	4	necon1abid 2995	1 ⊢ ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 ≠ 𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵 ∨ 𝐵 < 𝐴)))

This proof depends on syntax axioms:  ¬ wn 3   → wi 4   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107   Or wor 5566  ℝcr 11127   < clt 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276

This theorem is used by:  ne0gt0  11343  lttri2i  11352  lttri2d  11377  cshwshashlem3  17195  gsummoncoe1  22539  mp2pm2mplem4  23040  chfacfscmulgsum  23091  chfacfpmmulgsum  23095  dvne0  26245  relogbf  27036  atanlogsub  27161  nn0prpw  36950  itg2addnclem2  38429  12gcd5e1  42877  hashscontpow  42996  sticksstones1  43020  sticksstones2  43021  nerabdioph  43658  rpnnen3  43881  fmul01lt1lem1  46422