MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lttri2 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lttri2 11242
Description: Consequence of trichotomy. (Contributed by NM, 9-Oct-1999.)
Assertion
Ref Expression
lttri2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))

Proof of Theorem lttri2
StepHypRef Expression
1 ltso 11240 . . . 4 < Or ℝ
2 sotrieq 5575 . . . 4 (( < Or ℝ ∧ (𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ)) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
31, 2mpan 689 . . 3 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴 = 𝐵 ↔ ¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
43bicomd 222 . 2 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (¬ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴) ↔ 𝐴 = 𝐵))
54necon1abid 2979 1 ((𝐴 ∈ ℝ ∧ 𝐵 ∈ ℝ) → (𝐴𝐵 ↔ (𝐴 < 𝐵𝐵 < 𝐴)))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  ¬ wn 3  wi 4  wb 205  wa 397  wo 846   = wceq 1542  wcel 2107  wne 2940   class class class wbr 5106   Or wor 5545  cr 11055   < clt 11194
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5257  ax-nul 5264  ax-pow 5321  ax-pr 5385  ax-un 7673  ax-resscn 11113  ax-pre-lttri 11130  ax-pre-lttrn 11131
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3446  df-sbc 3741  df-csb 3857  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4284  df-if 4488  df-pw 4563  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4867  df-br 5107  df-opab 5169  df-mpt 5190  df-id 5532  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5640  df-rel 5641  df-cnv 5642  df-co 5643  df-dm 5644  df-rn 5645  df-res 5646  df-ima 5647  df-iota 6449  df-fun 6499  df-fn 6500  df-f 6501  df-f1 6502  df-fo 6503  df-f1o 6504  df-fv 6505  df-er 8651  df-en 8887  df-dom 8888  df-sdom 8889  df-pnf 11196  df-mnf 11197  df-ltxr 11199
This theorem is referenced by:  ne0gt0  11265  lttri2i  11274  lttri2d  11299  cshwshashlem3  16975  gsummoncoe1  21691  mp2pm2mplem4  22174  chfacfscmulgsum  22225  chfacfpmmulgsum  22229  dvne0  25391  relogbf  26157  atanlogsub  26282  nn0prpw  34841  itg2addnclem2  36176  12gcd5e1  40506  sticksstones1  40600  sticksstones2  40601  nerabdioph  41175  rpnnen3  41399  fmul01lt1lem1  43911
  Copyright terms: Public domain W3C validator