MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0opthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0opthi 14235
Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers ๐ด and ๐ต by (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต). If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 4636 that works for any set. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opth.1 ๐ด โˆˆ โ„•0
nn0opth.2 ๐ต โˆˆ โ„•0
nn0opth.3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
nn0opth.4 ๐ท โˆˆ โ„•0
Assertion
Ref Expression
nn0opthi ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท))

Proof of Theorem nn0opthi
StepHypRef Expression
1 nn0opth.1 . . . . . . . . . 10 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 nn0opth.2 . . . . . . . . . 10 ๐ต โˆˆ โ„•0
31, 2nn0addcli 12514 . . . . . . . . 9 (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„•0
43nn0rei 12488 . . . . . . . 8 (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„
5 nn0opth.3 . . . . . . . . . 10 ๐ถ โˆˆ โ„•0
6 nn0opth.4 . . . . . . . . . 10 ๐ท โˆˆ โ„•0
75, 6nn0addcli 12514 . . . . . . . . 9 (๐ถ + ๐ท) โˆˆ โ„•0
87nn0rei 12488 . . . . . . . 8 (๐ถ + ๐ท) โˆˆ โ„
94, 8lttri2i 11333 . . . . . . 7 ((๐ด + ๐ต) โ‰  (๐ถ + ๐ท) โ†” ((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท) โˆจ (๐ถ + ๐ท) < (๐ด + ๐ต)))
101, 2, 7, 6nn0opthlem2 14234 . . . . . . . . 9 ((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท) โ†’ (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ‰  (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต))
1110necomd 2995 . . . . . . . 8 ((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰  (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
125, 6, 3, 2nn0opthlem2 14234 . . . . . . . 8 ((๐ถ + ๐ท) < (๐ด + ๐ต) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰  (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
1311, 12jaoi 854 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท) โˆจ (๐ถ + ๐ท) < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰  (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
149, 13sylbi 216 . . . . . 6 ((๐ด + ๐ต) โ‰  (๐ถ + ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰  (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
1514necon4i 2975 . . . . 5 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))
16 id 22 . . . . . . . 8 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
1715, 15oveq12d 7430 . . . . . . . . 9 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)))
1817oveq1d 7427 . . . . . . . 8 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ท) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
1916, 18eqtr4d 2774 . . . . . . 7 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ท))
203nn0cni 12489 . . . . . . . . 9 (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚
2120, 20mulcli 11226 . . . . . . . 8 ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„‚
222nn0cni 12489 . . . . . . . 8 ๐ต โˆˆ โ„‚
236nn0cni 12489 . . . . . . . 8 ๐ท โˆˆ โ„‚
2421, 22, 23addcani 11412 . . . . . . 7 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ท) โ†” ๐ต = ๐ท)
2519, 24sylib 217 . . . . . 6 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ ๐ต = ๐ท)
2625oveq2d 7428 . . . . 5 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (๐ถ + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))
2715, 26eqtr4d 2774 . . . 4 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ต))
281nn0cni 12489 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‚
295nn0cni 12489 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„‚
3028, 29, 22addcan2i 11413 . . . 4 ((๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ถ)
3127, 30sylib 217 . . 3 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ ๐ด = ๐ถ)
3231, 25jca 511 . 2 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท))
33 oveq12 7421 . . . 4 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))
3433, 33oveq12d 7430 . . 3 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)))
35 simpr 484 . . 3 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต = ๐ท)
3634, 35oveq12d 7430 . 2 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
3732, 36impbii 208 1 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 395   โˆจ wo 844   = wceq 1540   โˆˆ wcel 2105   โ‰  wne 2939   class class class wbr 5149  (class class class)co 7412   + caddc 11116   ยท cmul 11118   < clt 11253  โ„•0cn0 12477
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7728  ax-cnex 11169  ax-resscn 11170  ax-1cn 11171  ax-icn 11172  ax-addcl 11173  ax-addrcl 11174  ax-mulcl 11175  ax-mulrcl 11176  ax-mulcom 11177  ax-addass 11178  ax-mulass 11179  ax-distr 11180  ax-i2m1 11181  ax-1ne0 11182  ax-1rid 11183  ax-rnegex 11184  ax-rrecex 11185  ax-cnre 11186  ax-pre-lttri 11187  ax-pre-lttrn 11188  ax-pre-ltadd 11189  ax-pre-mulgt0 11190
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-reu 3376  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-pss 3968  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-iun 5000  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-tr 5267  df-id 5575  df-eprel 5581  df-po 5589  df-so 5590  df-fr 5632  df-we 5634  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-pred 6301  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-riota 7368  df-ov 7415  df-oprab 7416  df-mpo 7417  df-om 7859  df-2nd 7979  df-frecs 8269  df-wrecs 8300  df-recs 8374  df-rdg 8413  df-er 8706  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11255  df-mnf 11256  df-xr 11257  df-ltxr 11258  df-le 11259  df-sub 11451  df-neg 11452  df-nn 12218  df-2 12280  df-n0 12478  df-z 12564  df-uz 12828  df-seq 13972  df-exp 14033
This theorem is referenced by:  nn0opth2i  14236
  Copyright terms: Public domain W3C validator