Theorem nn0opthi 13912

Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers 𝐴 and 𝐵 by (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵). If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 4565 that works for any set. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opth.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opth.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nn0opth.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
nn0opth.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthi	⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem nn0opthi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opth.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		nn0opth.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0addcli 12200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0
4	3	nn0rei 12174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ
5		nn0opth.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
6		nn0opth.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
7	5, 6	nn0addcli 12200	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℕ0
8	7	nn0rei 12174	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ
9	4, 8	lttri2i 11019	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵)))
10	1, 2, 7, 6	nn0opthlem2 13911	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
11	10	necomd 2998	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
12	5, 6, 3, 2	nn0opthlem2 13911	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
13	11, 12	jaoi 853	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
14	9, 13	sylbi 216	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
15	14	necon4i 2978	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
16		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
17	15, 15	oveq12d 7273	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
18	17	oveq1d 7270	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
19	16, 18	eqtr4d 2781	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷))
20	3	nn0cni 12175	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
21	20, 20	mulcli 10913	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ
22	2	nn0cni 12175	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23	6	nn0cni 12175	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
24	21, 22, 23	addcani 11098	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) ↔ 𝐵 = 𝐷)
25	19, 24	sylib 217	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
26	25	oveq2d 7271	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
27	15, 26	eqtr4d 2781	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵))
28	1	nn0cni 12175	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
29	5	nn0cni 12175	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
30	28, 29, 22	addcan2i 11099	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐶)
31	27, 30	sylib 217	. . 3 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → 𝐴 = 𝐶)
32	31, 25	jca 511	. 2 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
33		oveq12 7264	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
34	33, 33	oveq12d 7273	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
35		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
36	34, 35	oveq12d 7273	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
37	32, 36	impbii 208	1 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∧ wa 395   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255   + caddc 10805   · cmul 10807   < clt 10940  ℕ₀cn0 12163

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-cnex 10858  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-sub 11137  df-neg 11138  df-nn 11904  df-2 11966  df-n0 12164  df-z 12250  df-uz 12512  df-seq 13650  df-exp 13711

This theorem is referenced by:  nn0opth2i  13913