MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  nn0opthi Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem nn0opthi 14229
Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers ๐ด and ๐ต by (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต). If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 4635 that works for any set. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)
Hypotheses
Ref Expression
nn0opth.1 ๐ด โˆˆ โ„•0
nn0opth.2 ๐ต โˆˆ โ„•0
nn0opth.3 ๐ถ โˆˆ โ„•0
nn0opth.4 ๐ท โˆˆ โ„•0
Assertion
Ref Expression
nn0opthi ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท))

Proof of Theorem nn0opthi
StepHypRef Expression
1 nn0opth.1 . . . . . . . . . 10 ๐ด โˆˆ โ„•0
2 nn0opth.2 . . . . . . . . . 10 ๐ต โˆˆ โ„•0
31, 2nn0addcli 12508 . . . . . . . . 9 (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„•0
43nn0rei 12482 . . . . . . . 8 (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„
5 nn0opth.3 . . . . . . . . . 10 ๐ถ โˆˆ โ„•0
6 nn0opth.4 . . . . . . . . . 10 ๐ท โˆˆ โ„•0
75, 6nn0addcli 12508 . . . . . . . . 9 (๐ถ + ๐ท) โˆˆ โ„•0
87nn0rei 12482 . . . . . . . 8 (๐ถ + ๐ท) โˆˆ โ„
94, 8lttri2i 11327 . . . . . . 7 ((๐ด + ๐ต) โ‰  (๐ถ + ๐ท) โ†” ((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท) โˆจ (๐ถ + ๐ท) < (๐ด + ๐ต)))
101, 2, 7, 6nn0opthlem2 14228 . . . . . . . . 9 ((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท) โ†’ (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ‰  (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต))
1110necomd 2996 . . . . . . . 8 ((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰  (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
125, 6, 3, 2nn0opthlem2 14228 . . . . . . . 8 ((๐ถ + ๐ท) < (๐ด + ๐ต) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰  (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
1311, 12jaoi 855 . . . . . . 7 (((๐ด + ๐ต) < (๐ถ + ๐ท) โˆจ (๐ถ + ๐ท) < (๐ด + ๐ต)) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰  (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
149, 13sylbi 216 . . . . . 6 ((๐ด + ๐ต) โ‰  (๐ถ + ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) โ‰  (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
1514necon4i 2976 . . . . 5 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))
16 id 22 . . . . . . . 8 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
1715, 15oveq12d 7426 . . . . . . . . 9 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)))
1817oveq1d 7423 . . . . . . . 8 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ท) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
1916, 18eqtr4d 2775 . . . . . . 7 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ท))
203nn0cni 12483 . . . . . . . . 9 (๐ด + ๐ต) โˆˆ โ„‚
2120, 20mulcli 11220 . . . . . . . 8 ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) โˆˆ โ„‚
222nn0cni 12483 . . . . . . . 8 ๐ต โˆˆ โ„‚
236nn0cni 12483 . . . . . . . 8 ๐ท โˆˆ โ„‚
2421, 22, 23addcani 11406 . . . . . . 7 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ท) โ†” ๐ต = ๐ท)
2519, 24sylib 217 . . . . . 6 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ ๐ต = ๐ท)
2625oveq2d 7424 . . . . 5 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (๐ถ + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))
2715, 26eqtr4d 2775 . . . 4 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ต))
281nn0cni 12483 . . . . 5 ๐ด โˆˆ โ„‚
295nn0cni 12483 . . . . 5 ๐ถ โˆˆ โ„‚
3028, 29, 22addcan2i 11407 . . . 4 ((๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ต) โ†” ๐ด = ๐ถ)
3127, 30sylib 217 . . 3 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ ๐ด = ๐ถ)
3231, 25jca 512 . 2 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†’ (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท))
33 oveq12 7417 . . . 4 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (๐ด + ๐ต) = (๐ถ + ๐ท))
3433, 33oveq12d 7426 . . 3 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) = ((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)))
35 simpr 485 . . 3 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ ๐ต = ๐ท)
3634, 35oveq12d 7426 . 2 ((๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท) โ†’ (((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท))
3732, 36impbii 208 1 ((((๐ด + ๐ต) ยท (๐ด + ๐ต)) + ๐ต) = (((๐ถ + ๐ท) ยท (๐ถ + ๐ท)) + ๐ท) โ†” (๐ด = ๐ถ โˆง ๐ต = ๐ท))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   โ†” wb 205   โˆง wa 396   โˆจ wo 845   = wceq 1541   โˆˆ wcel 2106   โ‰  wne 2940   class class class wbr 5148  (class class class)co 7408   + caddc 11112   ยท cmul 11114   < clt 11247  โ„•0cn0 12471
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-cnex 11165  ax-resscn 11166  ax-1cn 11167  ax-icn 11168  ax-addcl 11169  ax-addrcl 11170  ax-mulcl 11171  ax-mulrcl 11172  ax-mulcom 11173  ax-addass 11174  ax-mulass 11175  ax-distr 11176  ax-i2m1 11177  ax-1ne0 11178  ax-1rid 11179  ax-rnegex 11180  ax-rrecex 11181  ax-cnre 11182  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184  ax-pre-ltadd 11185  ax-pre-mulgt0 11186
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-pss 3967  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-tr 5266  df-id 5574  df-eprel 5580  df-po 5588  df-so 5589  df-fr 5631  df-we 5633  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-pred 6300  df-ord 6367  df-on 6368  df-lim 6369  df-suc 6370  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7364  df-ov 7411  df-oprab 7412  df-mpo 7413  df-om 7855  df-2nd 7975  df-frecs 8265  df-wrecs 8296  df-recs 8370  df-rdg 8409  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-xr 11251  df-ltxr 11252  df-le 11253  df-sub 11445  df-neg 11446  df-nn 12212  df-2 12274  df-n0 12472  df-z 12558  df-uz 12822  df-seq 13966  df-exp 14027
This theorem is referenced by:  nn0opth2i  14230
  Copyright terms: Public domain W3C validator