Theorem nn0opthi 14444

Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers 𝐴 and 𝐵 by (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵). If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 4839 that works for any set. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opth.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opth.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nn0opth.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
nn0opth.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthi	⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem nn0opthi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opth.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		nn0opth.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0addcli 12673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0
4	3	nn0rei 12647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ
5		nn0opth.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
6		nn0opth.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
7	5, 6	nn0addcli 12673	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℕ0
8	7	nn0rei 12647	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ
9	4, 8	lttri2i 11454	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵)))
10	1, 2, 7, 6	nn0opthlem2 14443	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
11	10	necomd 3014	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
12	5, 6, 3, 2	nn0opthlem2 14443	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
13	11, 12	jaoi 871	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
14	9, 13	sylbi 220	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
15	14	necon4i 2994	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
16		id 23	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
17	15, 15	oveq12d 7464	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
18	17	oveq1d 7461	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
19	16, 18	eqtr4d 2801	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷))
20	3	nn0cni 12648	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
21	20, 20	mulcli 11346	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ
22	2	nn0cni 12648	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23	6	nn0cni 12648	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
24	21, 22, 23	addcani 11533	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) ↔ 𝐵 = 𝐷)
25	19, 24	sylib 221	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
26	25	oveq2d 7462	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
27	15, 26	eqtr4d 2801	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵))
28	1	nn0cni 12648	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
29	5	nn0cni 12648	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
30	28, 29, 22	addcan2i 11534	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐶)
31	27, 30	sylib 221	. . 3 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → 𝐴 = 𝐶)
32	31, 25	jca 521	. 2 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
33		oveq12 7455	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
34	33, 33	oveq12d 7464	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
35		simpr 490	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
36	34, 35	oveq12d 7464	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
37	32, 36	impbii 212	1 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∧ wa 401   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5106  (class class class)co 7446   + caddc 11233   · cmul 11235   < clt 11373  ℕ₀cn0 12636

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5253  ax-nul 5264  ax-pow 5332  ax-pr 5396  ax-un 7778  ax-cnex 11286  ax-resscn 11287  ax-1cn 11288  ax-icn 11289  ax-addcl 11290  ax-addrcl 11291  ax-mulcl 11292  ax-mulrcl 11293  ax-mulcom 11294  ax-addass 11295  ax-mulass 11296  ax-distr 11297  ax-i2m1 11298  ax-1ne0 11299  ax-1rid 11300  ax-rnegex 11301  ax-rrecex 11302  ax-cnre 11303  ax-pre-lttri 11304  ax-pre-lttrn 11305  ax-pre-ltadd 11306  ax-pre-mulgt0 11307

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4839  df-uni 4871  df-iun 4956  df-br 5107  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-tr 5217  df-id 5551  df-eprel 5556  df-po 5564  df-so 5565  df-fr 5609  df-we 5611  df-xp 5662  df-rel 5663  df-cnv 5664  df-co 5665  df-dm 5666  df-rn 5667  df-res 5668  df-ima 5669  df-pred 6325  df-ord 6386  df-on 6387  df-lim 6388  df-suc 6389  df-iota 6515  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7403  df-ov 7449  df-oprab 7450  df-mpo 7451  df-om 7905  df-2nd 8029  df-frecs 8330  df-wrecs 8361  df-recs 8410  df-rdg 8449  df-er 8748  df-en 9005  df-dom 9006  df-sdom 9007  df-pnf 11375  df-mnf 11376  df-xr 11377  df-ltxr 11378  df-le 11379  df-sub 11573  df-neg 11574  df-nn 12366  df-2 12435  df-n0 12637  df-z 12724  df-uz 12996  df-seq 14175  df-exp 14235

This theorem is used by:  nn0opth2i  14445