Theorem nn0opthi 14193

Description: An ordered pair theorem for nonnegative integers. Theorem 17.3 of [Quine] p. 124. We can represent an ordered pair of nonnegative integers 𝐴 and 𝐵 by (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵). If two such ordered pairs are equal, their first elements are equal and their second elements are equal. Contrast this ordered pair representation with the standard one df-op 4587 that works for any set. (Contributed by Raph Levien, 10-Dec-2002.) (Proof shortened by Scott Fenton, 8-Sep-2010.)

Hypotheses

Ref	Expression
nn0opth.1	⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
nn0opth.2	⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
nn0opth.3	⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
nn0opth.4	⊢ 𝐷 ∈ ℕ0

Assertion

Ref	Expression
nn0opthi	⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Proof of Theorem nn0opthi

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nn0opth.1	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐴 ∈ ℕ0
2		nn0opth.2	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐵 ∈ ℕ0
3	1, 2	nn0addcli 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℕ0
4	3	nn0rei 12412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℝ
5		nn0opth.3	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐶 ∈ ℕ0
6		nn0opth.4	. . . . . . . . . 10 ⊢ 𝐷 ∈ ℕ0
7	5, 6	nn0addcli 12438	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℕ0
8	7	nn0rei 12412	. . . . . . . 8 ⊢ (𝐶 + 𝐷) ∈ ℝ
9	4, 8	lttri2i 11247	. . . . . . 7 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐶 + 𝐷) ↔ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵)))
10	1, 2, 7, 6	nn0opthlem2 14192	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ≠ (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵))
11	10	necomd 2987	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
12	5, 6, 3, 2	nn0opthlem2 14192	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
13	11, 12	jaoi 857	. . . . . . 7 ⊢ (((𝐴 + 𝐵) < (𝐶 + 𝐷) ∨ (𝐶 + 𝐷) < (𝐴 + 𝐵)) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
14	9, 13	sylbi 217	. . . . . 6 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) ≠ (𝐶 + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) ≠ (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
15	14	necon4i 2967	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
16		id 22	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
17	15, 15	oveq12d 7376	. . . . . . . . 9 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
18	17	oveq1d 7373	. . . . . . . 8 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
19	16, 18	eqtr4d 2774	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷))
20	3	nn0cni 12413	. . . . . . . . 9 ⊢ (𝐴 + 𝐵) ∈ ℂ
21	20, 20	mulcli 11139	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) ∈ ℂ
22	2	nn0cni 12413	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐵 ∈ ℂ
23	6	nn0cni 12413	. . . . . . . 8 ⊢ 𝐷 ∈ ℂ
24	21, 22, 23	addcani 11326	. . . . . . 7 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐷) ↔ 𝐵 = 𝐷)
25	19, 24	sylib 218	. . . . . 6 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
26	25	oveq2d 7374	. . . . 5 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐶 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
27	15, 26	eqtr4d 2774	. . . 4 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵))
28	1	nn0cni 12413	. . . . 5 ⊢ 𝐴 ∈ ℂ
29	5	nn0cni 12413	. . . . 5 ⊢ 𝐶 ∈ ℂ
30	28, 29, 22	addcan2i 11327	. . . 4 ⊢ ((𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐵) ↔ 𝐴 = 𝐶)
31	27, 30	sylib 218	. . 3 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → 𝐴 = 𝐶)
32	31, 25	jca 511	. 2 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) → (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))
33		oveq12 7367	. . . 4 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (𝐴 + 𝐵) = (𝐶 + 𝐷))
34	33, 33	oveq12d 7376	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → ((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) = ((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)))
35		simpr 484	. . 3 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → 𝐵 = 𝐷)
36	34, 35	oveq12d 7376	. 2 ⊢ ((𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷) → (((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷))
37	32, 36	impbii 209	1 ⊢ ((((𝐴 + 𝐵) · (𝐴 + 𝐵)) + 𝐵) = (((𝐶 + 𝐷) · (𝐶 + 𝐷)) + 𝐷) ↔ (𝐴 = 𝐶 ∧ 𝐵 = 𝐷))

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∧ wa 395   ∨ wo 847   = wceq 1541   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358   + caddc 11029   · cmul 11031   < clt 11166  ℕ₀cn0 12401

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-cnex 11082  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-mulcom 11090  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102  ax-pre-mulgt0 11103

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-xr 11170  df-ltxr 11171  df-le 11172  df-sub 11366  df-neg 11367  df-nn 12146  df-2 12208  df-n0 12402  df-z 12489  df-uz 12752  df-seq 13925  df-exp 13985

This theorem is referenced by:  nn0opth2i  14194