Theorem ltneii 11259

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11258	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2986	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  ℝcr 11037   < clt 11179

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-ltxr 11184

This theorem is referenced by:  1ne2  12384  f1oun2prg  14879  geo2sum  15838  3dvds  16300  basendxnplusgndx  17250  basendxnmulrndx  17259  plusgndxnmulrndx  17260  slotsdifipndx  17298  slotsdifplendx  17338  basendxnocndx  17346  plendxnocndx  17347  slotsdifdsndx  17357  slotsdifunifndx  17364  slotsbhcdif  17378  slotsdifplendx2  17379  slotsdifocndx  17380  ppiub  27167  2lgslem3  27367  2lgslem4  27369  addsq2nreurex  27407  basendxnedgfndx  29064  structvtxvallem  29089  usgrexmpldifpr  29327  upgr4cycl4dv4e  30255  konigsbergiedgw  30318  konigsberglem3  30324  konigsberglem5  30326  ex-dif  30493  ex-id  30504  ex-fv  30513  ex-mod  30519  9p10ne21  30540  evl1deg3  33638  2sqr3minply  33924  rabren3dioph  43243  xrlexaddrp  45782  fourierdlem102  46636  fourierdlem114  46648  fouriersw  46659  sinnpoly  47339  nnsum4primesodd  48272  nnsum4primesoddALTV  48273  usgrexmpl1lem  48497  usgrexmpl2lem  48502  usgrexmpl2nb0  48507  usgrexmpl2nb1  48508  usgrexmpl2nb2  48509  usgrexmpl2nb3  48510  usgrexmpl2nb4  48511  usgrexmpl2trifr  48513  gpg5edgnedg  48606  zlmodzxznm  48973  2p2ne5  50273