Theorem ltneii 11250

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11249	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2988	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2119   ≠ wne 2934   class class class wbr 5072  ℝcr 11028   < clt 11170

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1974  ax-7 2015  ax-8 2121  ax-9 2129  ax-10 2152  ax-11 2168  ax-12 2189  ax-ext 2711  ax-sep 5218  ax-nul 5228  ax-pow 5294  ax-pr 5362  ax-un 7678  ax-resscn 11086  ax-pre-lttri 11103  ax-pre-lttrn 11104

This theorem depends on definitions:  df-bi 208  df-an 397  df-or 854  df-3or 1093  df-3an 1094  df-tru 1550  df-fal 1560  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2074  df-mo 2543  df-eu 2573  df-clab 2718  df-cleq 2731  df-clel 2814  df-nfc 2888  df-ne 2935  df-nel 3039  df-ral 3054  df-rex 3064  df-rab 3392  df-v 3433  df-sbc 3724  df-csb 3832  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4262  df-if 4455  df-pw 4531  df-sn 4556  df-pr 4558  df-op 4562  df-uni 4839  df-br 5073  df-opab 5135  df-mpt 5154  df-id 5513  df-po 5526  df-so 5527  df-xp 5624  df-rel 5625  df-cnv 5626  df-co 5627  df-dm 5628  df-rn 5629  df-res 5630  df-ima 5631  df-iota 6441  df-fun 6487  df-fn 6488  df-f 6489  df-f1 6490  df-fo 6491  df-f1o 6492  df-fv 6493  df-er 8633  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11172  df-mnf 11173  df-ltxr 11175

This theorem is referenced by:  1ne2  12375  f1oun2prg  14870  geo2sum  15829  3dvds  16291  basendxnplusgndx  17241  basendxnmulrndx  17250  plusgndxnmulrndx  17251  slotsdifipndx  17289  slotsdifplendx  17329  basendxnocndx  17337  plendxnocndx  17338  slotsdifdsndx  17348  slotsdifunifndx  17355  slotsbhcdif  17369  slotsdifplendx2  17370  slotsdifocndx  17371  ppiub  27185  2lgslem3  27385  2lgslem4  27387  addsq2nreurex  27425  basendxnedgfndx  29082  structvtxvallem  29107  usgrexmpldifpr  29345  upgr4cycl4dv4e  30273  konigsbergiedgw  30336  konigsberglem3  30342  konigsberglem5  30344  ex-dif  30511  ex-id  30522  ex-fv  30531  ex-mod  30537  9p10ne21  30558  evl1deg3  33661  2sqr3minply  33964  rabren3dioph  43260  xrlexaddrp  45797  fourierdlem102  46651  fourierdlem114  46663  fouriersw  46674  sinnpoly  47354  nnsum4primesodd  48287  nnsum4primesoddALTV  48288  usgrexmpl1lem  48512  usgrexmpl2lem  48517  usgrexmpl2nb0  48522  usgrexmpl2nb1  48523  usgrexmpl2nb2  48524  usgrexmpl2nb3  48525  usgrexmpl2nb4  48526  usgrexmpl2trifr  48528  gpg5edgnedg  48621  zlmodzxznm  48988  2p2ne5  50288