Theorem ltneii 11229

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11228	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2979	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5092  ℝcr 11008   < clt 11149

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5235  ax-nul 5245  ax-pow 5304  ax-pr 5371  ax-un 7671  ax-resscn 11066  ax-pre-lttri 11083  ax-pre-lttrn 11084

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3395  df-v 3438  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4285  df-if 4477  df-pw 4553  df-sn 4578  df-pr 4580  df-op 4584  df-uni 4859  df-br 5093  df-opab 5155  df-mpt 5174  df-id 5514  df-po 5527  df-so 5528  df-xp 5625  df-rel 5626  df-cnv 5627  df-co 5628  df-dm 5629  df-rn 5630  df-res 5631  df-ima 5632  df-iota 6438  df-fun 6484  df-fn 6485  df-f 6486  df-f1 6487  df-fo 6488  df-f1o 6489  df-fv 6490  df-er 8625  df-en 8873  df-dom 8874  df-sdom 8875  df-pnf 11151  df-mnf 11152  df-ltxr 11154

This theorem is referenced by:  1ne2  12331  f1oun2prg  14824  geo2sum  15780  3dvds  16242  basendxnplusgndx  17191  basendxnmulrndx  17200  plusgndxnmulrndx  17201  slotsdifipndx  17239  slotsdifplendx  17279  basendxnocndx  17287  plendxnocndx  17288  slotsdifdsndx  17298  slotsdifunifndx  17305  slotsbhcdif  17319  slotsdifplendx2  17320  slotsdifocndx  17321  ppiub  27113  2lgslem3  27313  2lgslem4  27315  addsq2nreurex  27353  basendxnedgfndx  28940  structvtxvallem  28965  usgrexmpldifpr  29203  upgr4cycl4dv4e  30129  konigsbergiedgw  30192  konigsberglem3  30198  konigsberglem5  30200  ex-dif  30367  ex-id  30378  ex-fv  30387  ex-mod  30393  9p10ne21  30414  evl1deg3  33513  2sqr3minply  33747  rabren3dioph  42788  xrlexaddrp  45332  fourierdlem102  46189  fourierdlem114  46201  fouriersw  46212  sinnpoly  46875  nnsum4primesodd  47780  nnsum4primesoddALTV  47781  usgrexmpl1lem  48005  usgrexmpl2lem  48010  usgrexmpl2nb0  48015  usgrexmpl2nb1  48016  usgrexmpl2nb2  48017  usgrexmpl2nb3  48018  usgrexmpl2nb4  48019  usgrexmpl2trifr  48021  gpg5edgnedg  48114  zlmodzxznm  48482  2p2ne5  49783