Theorem ltneii 11347

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11346	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 3009	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2955   class class class wbr 5103  ℝcr 11123   < clt 11267

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2732  ax-sep 5251  ax-nul 5263  ax-pow 5330  ax-pr 5398  ax-un 7736  ax-resscn 11181  ax-pre-lttri 11198  ax-pre-lttrn 11199

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-id 5550  df-po 5563  df-so 5564  df-xp 5661  df-rel 5662  df-cnv 5663  df-co 5664  df-dm 5665  df-rn 5666  df-res 5667  df-ima 5668  df-iota 6489  df-fun 6535  df-fn 6536  df-f 6537  df-f1 6538  df-fo 6539  df-f1o 6540  df-fv 6541  df-er 8696  df-en 8953  df-dom 8954  df-sdom 8955  df-pnf 11269  df-mnf 11270  df-ltxr 11272

This theorem is used by:  1ne2  12475  f1oun2prg  14988  geo2sum  15962  3dvds  16421  basendxnplusgndx  17372  basendxnmulrndx  17381  plusgndxnmulrndx  17382  slotsdifipndx  17420  slotsdifplendx  17460  basendxnocndx  17468  plendxnocndx  17469  slotsdifdsndx  17479  slotsdifunifndx  17486  slotsbhcdif  17500  slotsdifplendx2  17501  slotsdifocndx  17502  ppiub  27440  2lgslem3  27640  2lgslem4  27642  addsq2nreurex  27680  basendxnedgfndx  29452  structvtxvallem  29477  usgrexmpldifpr  29718  upgr4cycl4dv4e  30665  konigsbergiedgw  30728  konigsberglem3  30734  konigsberglem5  30736  ex-dif  30903  ex-id  30914  ex-fv  30923  ex-mod  30929  9p10ne21  30950  evl1deg3  33988  2sqr3minply  34290  rabren3dioph  43656  xrlexaddrp  46182  fourierdlem102  47036  fourierdlem114  47048  fouriersw  47059  sinnpoly  47759  nnsum4primesodd  48712  nnsum4primesoddALTV  48713  usgrexmpl1lem  48937  usgrexmpl2lem  48942  usgrexmpl2nb0  48947  usgrexmpl2nb1  48948  usgrexmpl2nb2  48949  usgrexmpl2nb3  48950  usgrexmpl2nb4  48951  usgrexmpl2trifr  48953  gpg5edgnedg  49046  zlmodzxznm  49427  2p2ne5  50769  1ne3  50774  2ne3  50775  veronesev1lem  50806  veronesev2lem  50807  veronesev3lem  50808  veronesev4lem  50809  veronesev5lem  50810