Theorem ltneii 11296

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11295	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 3011	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  ℝcr 11072   < clt 11216

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5542  df-po 5555  df-so 5556  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221

This theorem is referenced by:  1ne2  12428  f1oun2prg  14930  geo2sum  15903  3dvds  16365  basendxnplusgndx  17316  basendxnmulrndx  17325  plusgndxnmulrndx  17326  slotsdifipndx  17364  slotsdifplendx  17404  basendxnocndx  17412  plendxnocndx  17413  slotsdifdsndx  17423  slotsdifunifndx  17430  slotsbhcdif  17444  slotsdifplendx2  17445  slotsdifocndx  17446  ppiub  27265  2lgslem3  27465  2lgslem4  27467  addsq2nreurex  27505  basendxnedgfndx  29193  structvtxvallem  29218  usgrexmpldifpr  29456  upgr4cycl4dv4e  30384  konigsbergiedgw  30447  konigsberglem3  30453  konigsberglem5  30455  ex-dif  30622  ex-id  30633  ex-fv  30642  ex-mod  30648  9p10ne21  30669  evl1deg3  33771  2sqr3minply  34074  rabren3dioph  43389  xrlexaddrp  45925  fourierdlem102  46779  fourierdlem114  46791  fouriersw  46802  sinnpoly  47482  nnsum4primesodd  48415  nnsum4primesoddALTV  48416  usgrexmpl1lem  48640  usgrexmpl2lem  48645  usgrexmpl2nb0  48650  usgrexmpl2nb1  48651  usgrexmpl2nb2  48652  usgrexmpl2nb3  48653  usgrexmpl2nb4  48654  usgrexmpl2trifr  48656  gpg5edgnedg  48749  zlmodzxznm  49116  2p2ne5  50416