Theorem ltneii 10476

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 10475	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 3053	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2164   ≠ wne 2999   class class class wbr 4875  ℝcr 10258   < clt 10398

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1894  ax-4 1908  ax-5 2009  ax-6 2075  ax-7 2112  ax-8 2166  ax-9 2173  ax-10 2192  ax-11 2207  ax-12 2220  ax-13 2389  ax-ext 2803  ax-sep 5007  ax-nul 5015  ax-pow 5067  ax-pr 5129  ax-un 7214  ax-resscn 10316  ax-pre-lttri 10333  ax-pre-lttrn 10334

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 879  df-3or 1112  df-3an 1113  df-tru 1660  df-ex 1879  df-nf 1883  df-sb 2068  df-mo 2605  df-eu 2640  df-clab 2812  df-cleq 2818  df-clel 2821  df-nfc 2958  df-ne 3000  df-nel 3103  df-ral 3122  df-rex 3123  df-rab 3126  df-v 3416  df-sbc 3663  df-csb 3758  df-dif 3801  df-un 3803  df-in 3805  df-ss 3812  df-nul 4147  df-if 4309  df-pw 4382  df-sn 4400  df-pr 4402  df-op 4406  df-uni 4661  df-br 4876  df-opab 4938  df-mpt 4955  df-id 5252  df-po 5265  df-so 5266  df-xp 5352  df-rel 5353  df-cnv 5354  df-co 5355  df-dm 5356  df-rn 5357  df-res 5358  df-ima 5359  df-iota 6090  df-fun 6129  df-fn 6130  df-f 6131  df-f1 6132  df-fo 6133  df-f1o 6134  df-fv 6135  df-er 8014  df-en 8229  df-dom 8230  df-sdom 8231  df-pnf 10400  df-mnf 10401  df-ltxr 10403

This theorem is referenced by:  1ne2  11573  f1oun2prg  14045  geo2sum  14985  3dvds  15436  plusgndxnmulrndx  16364  basendxnmulrndx  16365  slotsbhcdif  16440  oppchomfval  16733  oppcbas  16737  rescbas  16848  rescabs  16852  odubas  17493  opprlem  18989  rmodislmod  19294  srasca  19549  sravsca  19550  opsrbaslem  19845  cnfldfun  20125  zlmlem  20232  zlmsca  20236  znbaslem  20253  thlbas  20410  thlle  20411  matbas  20593  matplusg  20594  tuslem  22448  setsmsbas  22657  tnglem  22821  ppiub  25349  2lgslem3  25549  2lgslem4  25551  ttgval  26181  ttglem  26182  slotsbaseefdif  26300  structvtxvallem  26325  usgrexmpldifpr  26562  upgr4cycl4dv4e  27557  konigsbergiedgw  27623  konigsberglem3  27629  konigsberglem5  27631  ex-dif  27834  ex-id  27845  ex-fv  27854  ex-mod  27860  resvbas  30373  resvplusg  30374  resvmulr  30376  hlhilslem  38008  rabren3dioph  38218  xrlexaddrp  40359  fourierdlem102  41213  fourierdlem114  41225  fouriersw  41236  nnsum4primesodd  42528  nnsum4primesoddALTV  42529  zlmodzxznm  43147  2p2ne5  43450