Theorem ltneii 11244

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11243	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2984	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2930   class class class wbr 5096  ℝcr 11023   < clt 11164

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2182  ax-ext 2706  ax-sep 5239  ax-nul 5249  ax-pow 5308  ax-pr 5375  ax-un 7678  ax-resscn 11081  ax-pre-lttri 11098  ax-pre-lttrn 11099

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2537  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2726  df-clel 2809  df-nfc 2883  df-ne 2931  df-nel 3035  df-ral 3050  df-rex 3059  df-rab 3398  df-v 3440  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-nul 4284  df-if 4478  df-pw 4554  df-sn 4579  df-pr 4581  df-op 4585  df-uni 4862  df-br 5097  df-opab 5159  df-mpt 5178  df-id 5517  df-po 5530  df-so 5531  df-xp 5628  df-rel 5629  df-cnv 5630  df-co 5631  df-dm 5632  df-rn 5633  df-res 5634  df-ima 5635  df-iota 6446  df-fun 6492  df-fn 6493  df-f 6494  df-f1 6495  df-fo 6496  df-f1o 6497  df-fv 6498  df-er 8633  df-en 8882  df-dom 8883  df-sdom 8884  df-pnf 11166  df-mnf 11167  df-ltxr 11169

This theorem is referenced by:  1ne2  12346  f1oun2prg  14838  geo2sum  15794  3dvds  16256  basendxnplusgndx  17205  basendxnmulrndx  17214  plusgndxnmulrndx  17215  slotsdifipndx  17253  slotsdifplendx  17293  basendxnocndx  17301  plendxnocndx  17302  slotsdifdsndx  17312  slotsdifunifndx  17319  slotsbhcdif  17333  slotsdifplendx2  17334  slotsdifocndx  17335  ppiub  27169  2lgslem3  27369  2lgslem4  27371  addsq2nreurex  27409  basendxnedgfndx  29017  structvtxvallem  29042  usgrexmpldifpr  29280  upgr4cycl4dv4e  30209  konigsbergiedgw  30272  konigsberglem3  30278  konigsberglem5  30280  ex-dif  30447  ex-id  30458  ex-fv  30467  ex-mod  30473  9p10ne21  30494  evl1deg3  33608  2sqr3minply  33886  rabren3dioph  42999  xrlexaddrp  45539  fourierdlem102  46394  fourierdlem114  46406  fouriersw  46417  sinnpoly  47079  nnsum4primesodd  47984  nnsum4primesoddALTV  47985  usgrexmpl1lem  48209  usgrexmpl2lem  48214  usgrexmpl2nb0  48219  usgrexmpl2nb1  48220  usgrexmpl2nb2  48221  usgrexmpl2nb3  48222  usgrexmpl2nb4  48223  usgrexmpl2trifr  48225  gpg5edgnedg  48318  zlmodzxznm  48685  2p2ne5  49985