Theorem ltneii 11287

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11286	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2979	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  ℝcr 11067   < clt 11208

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-id 5533  df-po 5546  df-so 5547  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-ltxr 11213

This theorem is referenced by:  1ne2  12389  f1oun2prg  14883  geo2sum  15839  3dvds  16301  basendxnplusgndx  17250  basendxnmulrndx  17259  plusgndxnmulrndx  17260  slotsdifipndx  17298  slotsdifplendx  17338  basendxnocndx  17346  plendxnocndx  17347  slotsdifdsndx  17357  slotsdifunifndx  17364  slotsbhcdif  17378  slotsdifplendx2  17379  slotsdifocndx  17380  ppiub  27115  2lgslem3  27315  2lgslem4  27317  addsq2nreurex  27355  basendxnedgfndx  28922  structvtxvallem  28947  usgrexmpldifpr  29185  upgr4cycl4dv4e  30114  konigsbergiedgw  30177  konigsberglem3  30183  konigsberglem5  30185  ex-dif  30352  ex-id  30363  ex-fv  30372  ex-mod  30378  9p10ne21  30399  evl1deg3  33547  2sqr3minply  33770  rabren3dioph  42803  xrlexaddrp  45348  fourierdlem102  46206  fourierdlem114  46218  fouriersw  46229  sinnpoly  46892  nnsum4primesodd  47797  nnsum4primesoddALTV  47798  usgrexmpl1lem  48012  usgrexmpl2lem  48017  usgrexmpl2nb0  48022  usgrexmpl2nb1  48023  usgrexmpl2nb2  48024  usgrexmpl2nb3  48025  usgrexmpl2nb4  48026  usgrexmpl2trifr  48028  zlmodzxznm  48486  2p2ne5  49787