Theorem ltneii 10742

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 10741	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 3041	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2987   class class class wbr 5030  ℝcr 10525   < clt 10664

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2770  ax-sep 5167  ax-nul 5174  ax-pow 5231  ax-pr 5295  ax-un 7441  ax-resscn 10583  ax-pre-lttri 10600  ax-pre-lttrn 10601

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2598  df-eu 2629  df-clab 2777  df-cleq 2791  df-clel 2870  df-nfc 2938  df-ne 2988  df-nel 3092  df-ral 3111  df-rex 3112  df-rab 3115  df-v 3443  df-sbc 3721  df-csb 3829  df-dif 3884  df-un 3886  df-in 3888  df-ss 3898  df-nul 4244  df-if 4426  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4801  df-br 5031  df-opab 5093  df-mpt 5111  df-id 5425  df-po 5438  df-so 5439  df-xp 5525  df-rel 5526  df-cnv 5527  df-co 5528  df-dm 5529  df-rn 5530  df-res 5531  df-ima 5532  df-iota 6283  df-fun 6326  df-fn 6327  df-f 6328  df-f1 6329  df-fo 6330  df-f1o 6331  df-fv 6332  df-er 8272  df-en 8493  df-dom 8494  df-sdom 8495  df-pnf 10666  df-mnf 10667  df-ltxr 10669

This theorem is referenced by:  1ne2  11833  f1oun2prg  14270  geo2sum  15221  3dvds  15672  plusgndxnmulrndx  16609  basendxnmulrndx  16610  slotsbhcdif  16685  oppchomfval  16976  oppcbas  16980  rescbas  17091  rescabs  17095  odubas  17735  opprlem  19374  rmodislmod  19695  srasca  19946  sravsca  19947  cnfldfun  20103  zlmlem  20210  zlmsca  20214  znbaslem  20230  thlbas  20385  thlle  20386  opsrbaslem  20717  tuslem  22873  setsmsbas  23082  tnglem  23246  ppiub  25788  2lgslem3  25988  2lgslem4  25990  addsq2nreurex  26028  ttgval  26669  ttglem  26670  slotsbaseefdif  26788  structvtxvallem  26813  usgrexmpldifpr  27048  upgr4cycl4dv4e  27970  konigsbergiedgw  28033  konigsberglem3  28039  konigsberglem5  28041  ex-dif  28208  ex-id  28219  ex-fv  28228  ex-mod  28234  9p10ne21  28255  resvbas  30956  resvplusg  30957  resvmulr  30959  hlhilslem  39234  rabren3dioph  39756  mnringbased  40923  mnringaddgd  40928  xrlexaddrp  41984  fourierdlem102  42850  fourierdlem114  42862  fouriersw  42873  nnsum4primesodd  44314  nnsum4primesoddALTV  44315  zlmodzxznm  44906  2p2ne5  45326