Theorem ltneii 11462

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11461	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 3013	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  ℝcr 11238   < clt 11382

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5553  df-po 5566  df-so 5567  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-ltxr 11387

This theorem is used by:  1ne2  12593  f1oun2prg  15111  geo2sum  16086  3dvds  16545  basendxnplusgndx  17504  basendxnmulrndx  17513  plusgndxnmulrndx  17514  slotsdifipndx  17552  slotsdifplendx  17592  basendxnocndx  17600  plendxnocndx  17601  slotsdifdsndx  17611  slotsdifunifndx  17618  basendxneufndx  17634  slotsbhcdif  17636  slotsdifplendx2  17637  slotsdifocndx  17638  cnfldfunALT  21745  ppiub  27588  2lgslem3  27788  2lgslem4  27790  addsq2nreurex  27828  basendxnedgfndx  29630  structvtxvallem  29655  usgrexmpldifpr  29896  upgr4cycl4dv4e  30843  konigsbergiedgw  30906  konigsberglem3  30912  konigsberglem5  30914  ex-dif  31081  ex-id  31092  ex-fv  31101  ex-mod  31107  9p10ne21  31128  evl1deg3  34213  2sqr3minply  34523  rabren3dioph  44088  xrlexaddrp  46637  fourierdlem102  47491  fourierdlem114  47503  fouriersw  47514  sinnpoly  48214  nnsum4primesodd  49167  nnsum4primesoddALTV  49168  usgrexmpl1lem  49392  usgrexmpl2lem  49397  usgrexmpl2nb0  49402  usgrexmpl2nb1  49403  usgrexmpl2nb2  49404  usgrexmpl2nb3  49405  usgrexmpl2nb4  49406  usgrexmpl2trifr  49408  gpg5edgnedg  49501  zlmodzxznm  49940  2p2ne5  51364  1ne3  51369  2ne3  51370  veronesev1lem  51401  veronesev2lem  51402  veronesev3lem  51403  veronesev4lem  51404  veronesev5lem  51405