Theorem ltneii 11258

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11257	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2987	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  ℝcr 11037   < clt 11178

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183

This theorem is referenced by:  1ne2  12360  f1oun2prg  14852  geo2sum  15808  3dvds  16270  basendxnplusgndx  17219  basendxnmulrndx  17228  plusgndxnmulrndx  17229  slotsdifipndx  17267  slotsdifplendx  17307  basendxnocndx  17315  plendxnocndx  17316  slotsdifdsndx  17326  slotsdifunifndx  17333  slotsbhcdif  17347  slotsdifplendx2  17348  slotsdifocndx  17349  ppiub  27183  2lgslem3  27383  2lgslem4  27385  addsq2nreurex  27423  basendxnedgfndx  29080  structvtxvallem  29105  usgrexmpldifpr  29343  upgr4cycl4dv4e  30272  konigsbergiedgw  30335  konigsberglem3  30341  konigsberglem5  30343  ex-dif  30510  ex-id  30521  ex-fv  30530  ex-mod  30536  9p10ne21  30557  evl1deg3  33671  2sqr3minply  33958  rabren3dioph  43172  xrlexaddrp  45711  fourierdlem102  46566  fourierdlem114  46578  fouriersw  46589  sinnpoly  47251  nnsum4primesodd  48156  nnsum4primesoddALTV  48157  usgrexmpl1lem  48381  usgrexmpl2lem  48386  usgrexmpl2nb0  48391  usgrexmpl2nb1  48392  usgrexmpl2nb2  48393  usgrexmpl2nb3  48394  usgrexmpl2nb4  48395  usgrexmpl2trifr  48397  gpg5edgnedg  48490  zlmodzxznm  48857  2p2ne5  50157