Theorem ltneii 11018

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11017	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2997	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  ℝcr 10801   < clt 10940

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945

This theorem is referenced by:  1ne2  12111  f1oun2prg  14558  geo2sum  15513  3dvds  15968  basendxnplusgndx  16918  basendxnmulrndx  16931  basendxnmulrndxOLD  16932  plusgndxnmulrndx  16933  slotsbhcdif  17044  slotsbhcdifOLD  17045  oppchomfvalOLD  17341  oppcbasOLD  17346  rescbasOLD  17459  rescabs  17464  odubas  17925  opprlemOLD  19783  rmodislmodOLD  20107  srasca  20362  sravsca  20363  cnfldfun  20522  zlmlemOLD  20631  znbaslemOLD  20655  thlbas  20813  thlle  20814  opsrbaslemOLD  21161  tuslemOLD  23327  setsmsbas  23536  tnglemOLD  23703  ppiub  26257  2lgslem3  26457  2lgslem4  26459  addsq2nreurex  26497  ttgval  27140  ttglemOLD  27142  basendxnedgfndx  27268  structvtxvallem  27293  usgrexmpldifpr  27528  upgr4cycl4dv4e  28450  konigsbergiedgw  28513  konigsberglem3  28519  konigsberglem5  28521  ex-dif  28688  ex-id  28699  ex-fv  28708  ex-mod  28714  9p10ne21  28735  resvbasOLD  31435  resvplusgOLD  31437  resvmulrOLD  31441  hlhilslemOLD  39880  rabren3dioph  40553  mnringbasedOLD  41719  mnringaddgdOLD  41725  xrlexaddrp  42781  fourierdlem102  43639  fourierdlem114  43651  fouriersw  43662  nnsum4primesodd  45136  nnsum4primesoddALTV  45137  zlmodzxznm  45726  prstcleval  46237  prstcocval  46239  2p2ne5  46388