Theorem ltneii 11331

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11330	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2993	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2104   ≠ wne 2938   class class class wbr 5147  ℝcr 11111   < clt 11252

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-resscn 11169  ax-pre-lttri 11186  ax-pre-lttrn 11187

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-po 5587  df-so 5588  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-f1 6547  df-fo 6548  df-f1o 6549  df-fv 6550  df-er 8705  df-en 8942  df-dom 8943  df-sdom 8944  df-pnf 11254  df-mnf 11255  df-ltxr 11257

This theorem is referenced by:  1ne2  12424  f1oun2prg  14872  geo2sum  15823  3dvds  16278  basendxnplusgndx  17231  basendxnmulrndx  17244  basendxnmulrndxOLD  17245  plusgndxnmulrndx  17246  slotsdifipndx  17284  slotsdifplendx  17324  basendxnocndx  17332  plendxnocndx  17333  slotsdifdsndx  17343  slotsdifunifndx  17350  slotsbhcdif  17364  slotsbhcdifOLD  17365  slotsdifplendx2  17366  slotsdifocndx  17367  oppchomfvalOLD  17663  oppcbasOLD  17668  rescbasOLD  17781  rescabsOLD  17787  odubasOLD  18249  opprlemOLD  20231  rmodislmodOLD  20685  srascaOLD  20944  sravscaOLD  20946  cnfldfunALTOLD  21158  zlmlemOLD  21286  znbaslemOLD  21310  thlbasOLD  21469  thlleOLD  21471  opsrbaslemOLD  21824  tuslemOLD  23992  setsmsbasOLD  24202  tnglemOLD  24370  ppiub  26943  2lgslem3  27143  2lgslem4  27145  addsq2nreurex  27183  ttgvalOLD  28394  ttglemOLD  28396  basendxnedgfndx  28522  structvtxvallem  28547  usgrexmpldifpr  28782  upgr4cycl4dv4e  29705  konigsbergiedgw  29768  konigsberglem3  29774  konigsberglem5  29776  ex-dif  29943  ex-id  29954  ex-fv  29963  ex-mod  29969  9p10ne21  29990  resvbasOLD  32718  resvplusgOLD  32720  resvmulrOLD  32724  hlhilslemOLD  41113  rabren3dioph  41855  mnringbasedOLD  43273  mnringaddgdOLD  43279  xrlexaddrp  44360  fourierdlem102  45222  fourierdlem114  45234  fouriersw  45245  nnsum4primesodd  46762  nnsum4primesoddALTV  46763  zlmodzxznm  47265  prstclevalOLD  47776  prstcocvalOLD  47779  2p2ne5  47932