Theorem ltneii 11263

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11262	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2979	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5102  ℝcr 11043   < clt 11184

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691  ax-resscn 11101  ax-pre-lttri 11118  ax-pre-lttrn 11119

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-po 5539  df-so 5540  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-er 8648  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11186  df-mnf 11187  df-ltxr 11189

This theorem is referenced by:  1ne2  12365  f1oun2prg  14859  geo2sum  15815  3dvds  16277  basendxnplusgndx  17226  basendxnmulrndx  17235  plusgndxnmulrndx  17236  slotsdifipndx  17274  slotsdifplendx  17314  basendxnocndx  17322  plendxnocndx  17323  slotsdifdsndx  17333  slotsdifunifndx  17340  slotsbhcdif  17354  slotsdifplendx2  17355  slotsdifocndx  17356  ppiub  27091  2lgslem3  27291  2lgslem4  27293  addsq2nreurex  27331  basendxnedgfndx  28898  structvtxvallem  28923  usgrexmpldifpr  29161  upgr4cycl4dv4e  30087  konigsbergiedgw  30150  konigsberglem3  30156  konigsberglem5  30158  ex-dif  30325  ex-id  30336  ex-fv  30345  ex-mod  30351  9p10ne21  30372  evl1deg3  33520  2sqr3minply  33743  rabren3dioph  42776  xrlexaddrp  45321  fourierdlem102  46179  fourierdlem114  46191  fouriersw  46202  sinnpoly  46865  nnsum4primesodd  47770  nnsum4primesoddALTV  47771  usgrexmpl1lem  47985  usgrexmpl2lem  47990  usgrexmpl2nb0  47995  usgrexmpl2nb1  47996  usgrexmpl2nb2  47997  usgrexmpl2nb3  47998  usgrexmpl2nb4  47999  usgrexmpl2trifr  48001  zlmodzxznm  48459  2p2ne5  49760