Theorem ltneii 11088

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11087	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2998	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  ℝcr 10870   < clt 11009

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014

This theorem is referenced by:  1ne2  12181  f1oun2prg  14630  geo2sum  15585  3dvds  16040  basendxnplusgndx  16992  basendxnmulrndx  17005  basendxnmulrndxOLD  17006  plusgndxnmulrndx  17007  slotsdifipndx  17045  slotsdifplendx  17085  basendxnocndx  17093  plendxnocndx  17094  slotsdifdsndx  17104  slotsdifunifndx  17111  slotsbhcdif  17125  slotsbhcdifOLD  17126  slotsdifplendx2  17127  slotsdifocndx  17128  oppchomfvalOLD  17424  oppcbasOLD  17429  rescbasOLD  17542  rescabsOLD  17548  odubasOLD  18010  opprlemOLD  19868  rmodislmodOLD  20192  srascaOLD  20448  sravscaOLD  20450  cnfldfunALTOLD  20611  zlmlemOLD  20719  znbaslemOLD  20743  thlbasOLD  20902  thlleOLD  20904  opsrbaslemOLD  21251  tuslemOLD  23419  setsmsbasOLD  23629  tnglemOLD  23797  ppiub  26352  2lgslem3  26552  2lgslem4  26554  addsq2nreurex  26592  ttgvalOLD  27237  ttglemOLD  27239  basendxnedgfndx  27365  structvtxvallem  27390  usgrexmpldifpr  27625  upgr4cycl4dv4e  28549  konigsbergiedgw  28612  konigsberglem3  28618  konigsberglem5  28620  ex-dif  28787  ex-id  28798  ex-fv  28807  ex-mod  28813  9p10ne21  28834  resvbasOLD  31533  resvplusgOLD  31535  resvmulrOLD  31539  hlhilslemOLD  39953  rabren3dioph  40637  mnringbasedOLD  41830  mnringaddgdOLD  41836  xrlexaddrp  42891  fourierdlem102  43749  fourierdlem114  43761  fouriersw  43772  nnsum4primesodd  45248  nnsum4primesoddALTV  45249  zlmodzxznm  45838  prstclevalOLD  46350  prstcocvalOLD  46353  2p2ne5  46502