Theorem ltneii 11253

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11252	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2987	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5086  ℝcr 11031   < clt 11173

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5303  ax-pr 5371  ax-un 7683  ax-resscn 11089  ax-pre-lttri 11106  ax-pre-lttrn 11107

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rab 3391  df-v 3432  df-sbc 3730  df-csb 3839  df-dif 3893  df-un 3895  df-in 3897  df-ss 3907  df-nul 4275  df-if 4468  df-pw 4544  df-sn 4569  df-pr 4571  df-op 4575  df-uni 4852  df-br 5087  df-opab 5149  df-mpt 5168  df-id 5520  df-po 5533  df-so 5534  df-xp 5631  df-rel 5632  df-cnv 5633  df-co 5634  df-dm 5635  df-rn 5636  df-res 5637  df-ima 5638  df-iota 6449  df-fun 6495  df-fn 6496  df-f 6497  df-f1 6498  df-fo 6499  df-f1o 6500  df-fv 6501  df-er 8637  df-en 8888  df-dom 8889  df-sdom 8890  df-pnf 11175  df-mnf 11176  df-ltxr 11178

This theorem is referenced by:  1ne2  12378  f1oun2prg  14873  geo2sum  15832  3dvds  16294  basendxnplusgndx  17244  basendxnmulrndx  17253  plusgndxnmulrndx  17254  slotsdifipndx  17292  slotsdifplendx  17332  basendxnocndx  17340  plendxnocndx  17341  slotsdifdsndx  17351  slotsdifunifndx  17358  slotsbhcdif  17372  slotsdifplendx2  17373  slotsdifocndx  17374  ppiub  27184  2lgslem3  27384  2lgslem4  27386  addsq2nreurex  27424  basendxnedgfndx  29081  structvtxvallem  29106  usgrexmpldifpr  29344  upgr4cycl4dv4e  30273  konigsbergiedgw  30336  konigsberglem3  30342  konigsberglem5  30344  ex-dif  30511  ex-id  30522  ex-fv  30531  ex-mod  30537  9p10ne21  30558  evl1deg3  33656  2sqr3minply  33943  rabren3dioph  43264  xrlexaddrp  45803  fourierdlem102  46657  fourierdlem114  46669  fouriersw  46680  sinnpoly  47354  nnsum4primesodd  48287  nnsum4primesoddALTV  48288  usgrexmpl1lem  48512  usgrexmpl2lem  48517  usgrexmpl2nb0  48522  usgrexmpl2nb1  48523  usgrexmpl2nb2  48524  usgrexmpl2nb3  48525  usgrexmpl2nb4  48526  usgrexmpl2trifr  48528  gpg5edgnedg  48621  zlmodzxznm  48988  2p2ne5  50288