Theorem ltneii 11372

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11371	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2993	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  ℝcr 11152   < clt 11293

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298

This theorem is referenced by:  1ne2  12472  f1oun2prg  14953  geo2sum  15906  3dvds  16365  basendxnplusgndx  17328  basendxnmulrndx  17341  basendxnmulrndxOLD  17342  plusgndxnmulrndx  17343  slotsdifipndx  17381  slotsdifplendx  17421  basendxnocndx  17429  plendxnocndx  17430  slotsdifdsndx  17440  slotsdifunifndx  17447  slotsbhcdif  17461  slotsbhcdifOLD  17462  slotsdifplendx2  17463  slotsdifocndx  17464  oppchomfvalOLD  17760  oppcbasOLD  17765  rescbasOLD  17878  rescabsOLD  17884  odubasOLD  18349  opprlemOLD  20357  rmodislmodOLD  20946  srascaOLD  21202  sravscaOLD  21204  cnfldfunALTOLDOLD  21411  zlmlemOLD  21546  znbaslemOLD  21572  thlbasOLD  21733  thlleOLD  21735  opsrbaslemOLD  22086  tuslemOLD  24292  setsmsbasOLD  24502  tnglemOLD  24670  ppiub  27263  2lgslem3  27463  2lgslem4  27465  addsq2nreurex  27503  ttgvalOLD  28899  ttglemOLD  28901  basendxnedgfndx  29027  structvtxvallem  29052  usgrexmpldifpr  29290  upgr4cycl4dv4e  30214  konigsbergiedgw  30277  konigsberglem3  30283  konigsberglem5  30285  ex-dif  30452  ex-id  30463  ex-fv  30472  ex-mod  30478  9p10ne21  30499  resvbasOLD  33340  resvplusgOLD  33342  resvmulrOLD  33346  evl1deg3  33583  2sqr3minply  33753  hlhilslemOLD  41922  rabren3dioph  42803  mnringbasedOLD  44208  mnringaddgdOLD  44214  xrlexaddrp  45302  fourierdlem102  46164  fourierdlem114  46176  fouriersw  46187  nnsum4primesodd  47721  nnsum4primesoddALTV  47722  usgrexmpl1lem  47916  usgrexmpl2lem  47921  usgrexmpl2nb0  47926  usgrexmpl2nb1  47927  usgrexmpl2nb2  47928  usgrexmpl2nb3  47929  usgrexmpl2nb4  47930  usgrexmpl2trifr  47932  zlmodzxznm  48343  prstclevalOLD  48870  prstcocvalOLD  48873  2p2ne5  49029