Theorem ltneii 11351

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11350	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 3011	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2957   class class class wbr 5107  ℝcr 11127   < clt 11271

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2215  ax-ext 2734  ax-sep 5255  ax-nul 5267  ax-pow 5334  ax-pr 5402  ax-un 7740  ax-resscn 11185  ax-pre-lttri 11202  ax-pre-lttrn 11203

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3064  df-ral 3079  df-rex 3089  df-rab 3415  df-v 3455  df-sbc 3743  df-csb 3851  df-dif 3905  df-un 3907  df-in 3909  df-ss 3919  df-nul 4283  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4588  df-pr 4590  df-op 4594  df-uni 4871  df-br 5108  df-opab 5172  df-mpt 5191  df-id 5554  df-po 5567  df-so 5568  df-xp 5665  df-rel 5666  df-cnv 5667  df-co 5668  df-dm 5669  df-rn 5670  df-res 5671  df-ima 5672  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8700  df-en 8957  df-dom 8958  df-sdom 8959  df-pnf 11273  df-mnf 11274  df-ltxr 11276

This theorem is used by:  1ne2  12479  f1oun2prg  14992  geo2sum  15966  3dvds  16427  basendxnplusgndx  17378  basendxnmulrndx  17387  plusgndxnmulrndx  17388  slotsdifipndx  17426  slotsdifplendx  17466  basendxnocndx  17474  plendxnocndx  17475  slotsdifdsndx  17485  slotsdifunifndx  17492  slotsbhcdif  17506  slotsdifplendx2  17507  slotsdifocndx  17508  ppiub  27448  2lgslem3  27648  2lgslem4  27650  addsq2nreurex  27688  basendxnedgfndx  29460  structvtxvallem  29485  usgrexmpldifpr  29726  upgr4cycl4dv4e  30673  konigsbergiedgw  30736  konigsberglem3  30742  konigsberglem5  30744  ex-dif  30911  ex-id  30922  ex-fv  30931  ex-mod  30937  9p10ne21  30958  evl1deg3  33996  2sqr3minply  34298  rabren3dioph  43664  xrlexaddrp  46190  fourierdlem102  47044  fourierdlem114  47056  fouriersw  47067  sinnpoly  47767  nnsum4primesodd  48720  nnsum4primesoddALTV  48721  usgrexmpl1lem  48945  usgrexmpl2lem  48950  usgrexmpl2nb0  48955  usgrexmpl2nb1  48956  usgrexmpl2nb2  48957  usgrexmpl2nb3  48958  usgrexmpl2nb4  48959  usgrexmpl2trifr  48961  gpg5edgnedg  49054  zlmodzxznm  49435  2p2ne5  50777  1ne3  50782  2ne3  50783  veronesev1lem  50814  veronesev2lem  50815  veronesev3lem  50816  veronesev4lem  50817  veronesev5lem  50818