MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  ltneii Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem ltneii 10747
Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)
Hypotheses
Ref Expression
lt.1 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2 𝐴 < 𝐵
Assertion
Ref Expression
ltneii 𝐴𝐵

Proof of Theorem ltneii
StepHypRef Expression
1 lt.1 . . 3 𝐴 ∈ ℝ
2 ltneii.2 . . 3 𝐴 < 𝐵
31, 2gtneii 10746 . 2 𝐵𝐴
43necomi 3070 1 𝐴𝐵
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wcel 2110  wne 3016   class class class wbr 5059  cr 10530   < clt 10669
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1907  ax-6 1966  ax-7 2011  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2156  ax-12 2172  ax-ext 2793  ax-sep 5196  ax-nul 5203  ax-pow 5259  ax-pr 5322  ax-un 7455  ax-resscn 10588  ax-pre-lttri 10605  ax-pre-lttrn 10606
This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 399  df-or 844  df-3or 1084  df-3an 1085  df-tru 1536  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2066  df-mo 2618  df-eu 2650  df-clab 2800  df-cleq 2814  df-clel 2893  df-nfc 2963  df-ne 3017  df-nel 3124  df-ral 3143  df-rex 3144  df-rab 3147  df-v 3497  df-sbc 3773  df-csb 3884  df-dif 3939  df-un 3941  df-in 3943  df-ss 3952  df-nul 4292  df-if 4468  df-pw 4541  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4833  df-br 5060  df-opab 5122  df-mpt 5140  df-id 5455  df-po 5469  df-so 5470  df-xp 5556  df-rel 5557  df-cnv 5558  df-co 5559  df-dm 5560  df-rn 5561  df-res 5562  df-ima 5563  df-iota 6309  df-fun 6352  df-fn 6353  df-f 6354  df-f1 6355  df-fo 6356  df-f1o 6357  df-fv 6358  df-er 8283  df-en 8504  df-dom 8505  df-sdom 8506  df-pnf 10671  df-mnf 10672  df-ltxr 10674
This theorem is referenced by:  1ne2  11839  f1oun2prg  14273  geo2sum  15223  3dvds  15674  plusgndxnmulrndx  16611  basendxnmulrndx  16612  slotsbhcdif  16687  oppchomfval  16978  oppcbas  16982  rescbas  17093  rescabs  17097  odubas  17737  opprlem  19372  rmodislmod  19696  srasca  19947  sravsca  19948  opsrbaslem  20252  cnfldfun  20551  zlmlem  20658  zlmsca  20662  znbaslem  20679  thlbas  20834  thlle  20835  tuslem  22870  setsmsbas  23079  tnglem  23243  ppiub  25774  2lgslem3  25974  2lgslem4  25976  addsq2nreurex  26014  ttgval  26655  ttglem  26656  slotsbaseefdif  26774  structvtxvallem  26799  usgrexmpldifpr  27034  upgr4cycl4dv4e  27958  konigsbergiedgw  28021  konigsberglem3  28027  konigsberglem5  28029  ex-dif  28196  ex-id  28207  ex-fv  28216  ex-mod  28222  9p10ne21  28243  resvbas  30900  resvplusg  30901  resvmulr  30903  hlhilslem  39068  rabren3dioph  39405  xrlexaddrp  41612  fourierdlem102  42486  fourierdlem114  42498  fouriersw  42509  nnsum4primesodd  43954  nnsum4primesoddALTV  43955  zlmodzxznm  44545  2p2ne5  44892
  Copyright terms: Public domain W3C validator