Theorem ltneii 11326

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11325	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2995	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2940   class class class wbr 5148  ℝcr 11108   < clt 11247

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7724  ax-resscn 11166  ax-pre-lttri 11183  ax-pre-lttrn 11184

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8702  df-en 8939  df-dom 8940  df-sdom 8941  df-pnf 11249  df-mnf 11250  df-ltxr 11252

This theorem is referenced by:  1ne2  12419  f1oun2prg  14867  geo2sum  15818  3dvds  16273  basendxnplusgndx  17226  basendxnmulrndx  17239  basendxnmulrndxOLD  17240  plusgndxnmulrndx  17241  slotsdifipndx  17279  slotsdifplendx  17319  basendxnocndx  17327  plendxnocndx  17328  slotsdifdsndx  17338  slotsdifunifndx  17345  slotsbhcdif  17359  slotsbhcdifOLD  17360  slotsdifplendx2  17361  slotsdifocndx  17362  oppchomfvalOLD  17658  oppcbasOLD  17663  rescbasOLD  17776  rescabsOLD  17782  odubasOLD  18244  opprlemOLD  20155  rmodislmodOLD  20540  srascaOLD  20798  sravscaOLD  20800  cnfldfunALTOLD  20957  zlmlemOLD  21066  znbaslemOLD  21090  thlbasOLD  21249  thlleOLD  21251  opsrbaslemOLD  21604  tuslemOLD  23771  setsmsbasOLD  23981  tnglemOLD  24149  ppiub  26704  2lgslem3  26904  2lgslem4  26906  addsq2nreurex  26944  ttgvalOLD  28124  ttglemOLD  28126  basendxnedgfndx  28252  structvtxvallem  28277  usgrexmpldifpr  28512  upgr4cycl4dv4e  29435  konigsbergiedgw  29498  konigsberglem3  29504  konigsberglem5  29506  ex-dif  29673  ex-id  29684  ex-fv  29693  ex-mod  29699  9p10ne21  29720  resvbasOLD  32443  resvplusgOLD  32445  resvmulrOLD  32449  hlhilslemOLD  40805  rabren3dioph  41543  mnringbasedOLD  42961  mnringaddgdOLD  42967  xrlexaddrp  44052  fourierdlem102  44914  fourierdlem114  44926  fouriersw  44937  nnsum4primesodd  46454  nnsum4primesoddALTV  46455  zlmodzxznm  47168  prstclevalOLD  47679  prstcocvalOLD  47682  2p2ne5  47835