Theorem ltneii 11348

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11347	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2986	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  ℝcr 11128   < clt 11269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-id 5548  df-po 5561  df-so 5562  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-ltxr 11274

This theorem is referenced by:  1ne2  12448  f1oun2prg  14936  geo2sum  15889  3dvds  16350  basendxnplusgndx  17301  basendxnmulrndx  17310  plusgndxnmulrndx  17311  slotsdifipndx  17349  slotsdifplendx  17389  basendxnocndx  17397  plendxnocndx  17398  slotsdifdsndx  17408  slotsdifunifndx  17415  slotsbhcdif  17429  slotsdifplendx2  17430  slotsdifocndx  17431  ppiub  27167  2lgslem3  27367  2lgslem4  27369  addsq2nreurex  27407  basendxnedgfndx  28974  structvtxvallem  28999  usgrexmpldifpr  29237  upgr4cycl4dv4e  30166  konigsbergiedgw  30229  konigsberglem3  30235  konigsberglem5  30237  ex-dif  30404  ex-id  30415  ex-fv  30424  ex-mod  30430  9p10ne21  30451  evl1deg3  33591  2sqr3minply  33814  rabren3dioph  42838  xrlexaddrp  45379  fourierdlem102  46237  fourierdlem114  46249  fouriersw  46260  nnsum4primesodd  47810  nnsum4primesoddALTV  47811  usgrexmpl1lem  48025  usgrexmpl2lem  48030  usgrexmpl2nb0  48035  usgrexmpl2nb1  48036  usgrexmpl2nb2  48037  usgrexmpl2nb3  48038  usgrexmpl2nb4  48039  usgrexmpl2trifr  48041  zlmodzxznm  48473  2p2ne5  49662