Theorem ltneii 11334

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11333	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2994	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2105   ≠ wne 2939   class class class wbr 5148  ℝcr 11115   < clt 11255

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1912  ax-6 1970  ax-7 2010  ax-8 2107  ax-9 2115  ax-10 2136  ax-11 2153  ax-12 2170  ax-ext 2702  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7729  ax-resscn 11173  ax-pre-lttri 11190  ax-pre-lttrn 11191

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2067  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2709  df-cleq 2723  df-clel 2809  df-nfc 2884  df-ne 2940  df-nel 3046  df-ral 3061  df-rex 3070  df-rab 3432  df-v 3475  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-po 5588  df-so 5589  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8709  df-en 8946  df-dom 8947  df-sdom 8948  df-pnf 11257  df-mnf 11258  df-ltxr 11260

This theorem is referenced by:  1ne2  12427  f1oun2prg  14875  geo2sum  15826  3dvds  16281  basendxnplusgndx  17234  basendxnmulrndx  17247  basendxnmulrndxOLD  17248  plusgndxnmulrndx  17249  slotsdifipndx  17287  slotsdifplendx  17327  basendxnocndx  17335  plendxnocndx  17336  slotsdifdsndx  17346  slotsdifunifndx  17353  slotsbhcdif  17367  slotsbhcdifOLD  17368  slotsdifplendx2  17369  slotsdifocndx  17370  oppchomfvalOLD  17666  oppcbasOLD  17671  rescbasOLD  17784  rescabsOLD  17790  odubasOLD  18255  opprlemOLD  20238  rmodislmodOLD  20773  srascaOLD  21033  sravscaOLD  21035  cnfldfunALTOLD  21247  zlmlemOLD  21377  znbaslemOLD  21401  thlbasOLD  21560  thlleOLD  21562  opsrbaslemOLD  21916  tuslemOLD  24092  setsmsbasOLD  24302  tnglemOLD  24470  ppiub  27050  2lgslem3  27250  2lgslem4  27252  addsq2nreurex  27290  ttgvalOLD  28560  ttglemOLD  28562  basendxnedgfndx  28688  structvtxvallem  28713  usgrexmpldifpr  28948  upgr4cycl4dv4e  29871  konigsbergiedgw  29934  konigsberglem3  29940  konigsberglem5  29942  ex-dif  30109  ex-id  30120  ex-fv  30129  ex-mod  30135  9p10ne21  30156  resvbasOLD  32884  resvplusgOLD  32886  resvmulrOLD  32890  hlhilslemOLD  41274  rabren3dioph  42016  mnringbasedOLD  43434  mnringaddgdOLD  43440  xrlexaddrp  44521  fourierdlem102  45383  fourierdlem114  45395  fouriersw  45406  nnsum4primesodd  46923  nnsum4primesoddALTV  46924  zlmodzxznm  47340  prstclevalOLD  47851  prstcocvalOLD  47854  2p2ne5  48007