Theorem ltneii 10796

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 10795	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 3005	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2951   class class class wbr 5035  ℝcr 10579   < clt 10718

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1911  ax-6 1970  ax-7 2015  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2729  ax-sep 5172  ax-nul 5179  ax-pow 5237  ax-pr 5301  ax-un 7464  ax-resscn 10637  ax-pre-lttri 10654  ax-pre-lttrn 10655

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3or 1085  df-3an 1086  df-tru 1541  df-fal 1551  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2070  df-mo 2557  df-eu 2588  df-clab 2736  df-cleq 2750  df-clel 2830  df-nfc 2901  df-ne 2952  df-nel 3056  df-ral 3075  df-rex 3076  df-rab 3079  df-v 3411  df-sbc 3699  df-csb 3808  df-dif 3863  df-un 3865  df-in 3867  df-ss 3877  df-nul 4228  df-if 4424  df-pw 4499  df-sn 4526  df-pr 4528  df-op 4532  df-uni 4802  df-br 5036  df-opab 5098  df-mpt 5116  df-id 5433  df-po 5446  df-so 5447  df-xp 5533  df-rel 5534  df-cnv 5535  df-co 5536  df-dm 5537  df-rn 5538  df-res 5539  df-ima 5540  df-iota 6298  df-fun 6341  df-fn 6342  df-f 6343  df-f1 6344  df-fo 6345  df-f1o 6346  df-fv 6347  df-er 8304  df-en 8533  df-dom 8534  df-sdom 8535  df-pnf 10720  df-mnf 10721  df-ltxr 10723

This theorem is referenced by:  1ne2  11887  f1oun2prg  14331  geo2sum  15282  3dvds  15737  plusgndxnmulrndx  16680  basendxnmulrndx  16681  slotsbhcdif  16756  oppchomfval  17047  oppcbas  17051  rescbas  17163  rescabs  17167  odubas  17814  opprlem  19454  rmodislmod  19775  srasca  20026  sravsca  20027  cnfldfun  20183  zlmlem  20291  zlmsca  20295  znbaslem  20311  thlbas  20466  thlle  20467  opsrbaslem  20814  tuslem  22973  setsmsbas  23182  tnglem  23347  ppiub  25892  2lgslem3  26092  2lgslem4  26094  addsq2nreurex  26132  ttgval  26773  ttglem  26774  slotsbaseefdif  26892  structvtxvallem  26917  usgrexmpldifpr  27152  upgr4cycl4dv4e  28074  konigsbergiedgw  28137  konigsberglem3  28143  konigsberglem5  28145  ex-dif  28312  ex-id  28323  ex-fv  28332  ex-mod  28338  9p10ne21  28359  resvbas  31061  resvplusg  31062  resvmulr  31064  hlhilslem  39540  rabren3dioph  40157  mnringbased  41324  mnringaddgd  41329  xrlexaddrp  42380  fourierdlem102  43244  fourierdlem114  43256  fouriersw  43267  nnsum4primesodd  44709  nnsum4primesoddALTV  44710  zlmodzxznm  45299  2p2ne5  45790