Theorem ltneii 10470

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 10469	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 3054	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2166   ≠ wne 3000   class class class wbr 4874  ℝcr 10252   < clt 10392

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1896  ax-4 1910  ax-5 2011  ax-6 2077  ax-7 2114  ax-8 2168  ax-9 2175  ax-10 2194  ax-11 2209  ax-12 2222  ax-13 2391  ax-ext 2804  ax-sep 5006  ax-nul 5014  ax-pow 5066  ax-pr 5128  ax-un 7210  ax-resscn 10310  ax-pre-lttri 10327  ax-pre-lttrn 10328

This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 881  df-3or 1114  df-3an 1115  df-tru 1662  df-ex 1881  df-nf 1885  df-sb 2070  df-mo 2606  df-eu 2641  df-clab 2813  df-cleq 2819  df-clel 2822  df-nfc 2959  df-ne 3001  df-nel 3104  df-ral 3123  df-rex 3124  df-rab 3127  df-v 3417  df-sbc 3664  df-csb 3759  df-dif 3802  df-un 3804  df-in 3806  df-ss 3813  df-nul 4146  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4660  df-br 4875  df-opab 4937  df-mpt 4954  df-id 5251  df-po 5264  df-so 5265  df-xp 5349  df-rel 5350  df-cnv 5351  df-co 5352  df-dm 5353  df-rn 5354  df-res 5355  df-ima 5356  df-iota 6087  df-fun 6126  df-fn 6127  df-f 6128  df-f1 6129  df-fo 6130  df-f1o 6131  df-fv 6132  df-er 8010  df-en 8224  df-dom 8225  df-sdom 8226  df-pnf 10394  df-mnf 10395  df-ltxr 10397

This theorem is referenced by:  1ne2  11567  f1oun2prg  14039  geo2sum  14979  3dvds  15430  plusgndxnmulrndx  16358  basendxnmulrndx  16359  slotsbhcdif  16434  oppchomfval  16727  oppcbas  16731  rescbas  16842  rescabs  16846  odubas  17487  opprlem  18983  rmodislmod  19288  srasca  19543  sravsca  19544  opsrbaslem  19839  cnfldfun  20119  zlmlem  20226  zlmsca  20230  znbaslem  20247  thlbas  20404  thlle  20405  matbas  20587  matplusg  20588  tuslem  22442  setsmsbas  22651  tnglem  22815  ppiub  25343  2lgslem3  25543  2lgslem4  25545  ttgval  26175  ttglem  26176  slotsbaseefdif  26294  structvtxvallem  26319  usgrexmpldifpr  26556  upgr4cycl4dv4e  27562  konigsbergiedgw  27628  konigsberglem3  27634  konigsberglem5  27636  ex-dif  27839  ex-id  27850  ex-fv  27859  ex-mod  27865  resvbas  30378  resvplusg  30379  resvmulr  30381  hlhilslem  38014  rabren3dioph  38224  xrlexaddrp  40366  fourierdlem102  41220  fourierdlem114  41232  fouriersw  41243  nnsum4primesodd  42515  nnsum4primesoddALTV  42516  zlmodzxznm  43134  2p2ne5  43441