Theorem ltneii 11322

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11321	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 3018	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2149   ≠ wne 2964   class class class wbr 5113  ℝcr 11098   < clt 11242

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1822  ax-4 1836  ax-5 1937  ax-6 1994  ax-7 2035  ax-8 2151  ax-9 2159  ax-10 2182  ax-11 2198  ax-12 2219  ax-ext 2741  ax-sep 5261  ax-nul 5271  ax-pow 5337  ax-pr 5405  ax-un 7733  ax-resscn 11156  ax-pre-lttri 11173  ax-pre-lttrn 11174

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1102  df-3an 1103  df-tru 1570  df-fal 1580  df-ex 1807  df-nf 1811  df-sb 2098  df-mo 2573  df-eu 2603  df-clab 2748  df-cleq 2761  df-clel 2844  df-nfc 2918  df-ne 2965  df-nel 3071  df-ral 3086  df-rex 3096  df-rab 3424  df-v 3465  df-sbc 3754  df-csb 3862  df-dif 3916  df-un 3918  df-in 3920  df-ss 3930  df-nul 4295  df-if 4493  df-pw 4569  df-sn 4595  df-pr 4597  df-op 4601  df-uni 4877  df-br 5114  df-opab 5178  df-mpt 5197  df-id 5557  df-po 5570  df-so 5571  df-xp 5668  df-rel 5669  df-cnv 5670  df-co 5671  df-dm 5672  df-rn 5673  df-res 5674  df-ima 5675  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-er 8693  df-en 8943  df-dom 8944  df-sdom 8945  df-pnf 11244  df-mnf 11245  df-ltxr 11247

This theorem is referenced by:  1ne2  12450  f1oun2prg  14953  geo2sum  15926  3dvds  16388  basendxnplusgndx  17339  basendxnmulrndx  17348  plusgndxnmulrndx  17349  slotsdifipndx  17387  slotsdifplendx  17427  basendxnocndx  17435  plendxnocndx  17436  slotsdifdsndx  17446  slotsdifunifndx  17453  slotsbhcdif  17467  slotsdifplendx2  17468  slotsdifocndx  17469  ppiub  27333  2lgslem3  27533  2lgslem4  27535  addsq2nreurex  27573  basendxnedgfndx  29285  structvtxvallem  29310  usgrexmpldifpr  29548  upgr4cycl4dv4e  30476  konigsbergiedgw  30539  konigsberglem3  30545  konigsberglem5  30547  ex-dif  30714  ex-id  30725  ex-fv  30734  ex-mod  30740  9p10ne21  30761  evl1deg3  33812  2sqr3minply  34114  rabren3dioph  43433  xrlexaddrp  45959  fourierdlem102  46813  fourierdlem114  46825  fouriersw  46836  sinnpoly  47516  nnsum4primesodd  48449  nnsum4primesoddALTV  48450  usgrexmpl1lem  48674  usgrexmpl2lem  48679  usgrexmpl2nb0  48684  usgrexmpl2nb1  48685  usgrexmpl2nb2  48686  usgrexmpl2nb3  48687  usgrexmpl2nb4  48688  usgrexmpl2trifr  48690  gpg5edgnedg  48783  zlmodzxznm  49161  2p2ne5  50471