Theorem ltneii 11430

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11429	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 3009	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  ℝcr 11206   < clt 11350

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-id 5546  df-po 5559  df-so 5560  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355

This theorem is used by:  1ne2  12560  f1oun2prg  15077  geo2sum  16051  3dvds  16510  basendxnplusgndx  17467  basendxnmulrndx  17476  plusgndxnmulrndx  17477  slotsdifipndx  17515  slotsdifplendx  17555  basendxnocndx  17563  plendxnocndx  17564  slotsdifdsndx  17574  slotsdifunifndx  17581  slotsbhcdif  17595  slotsdifplendx2  17596  slotsdifocndx  17597  ppiub  27540  2lgslem3  27740  2lgslem4  27742  addsq2nreurex  27780  basendxnedgfndx  29582  structvtxvallem  29607  usgrexmpldifpr  29848  upgr4cycl4dv4e  30795  konigsbergiedgw  30858  konigsberglem3  30864  konigsberglem5  30866  ex-dif  31033  ex-id  31044  ex-fv  31053  ex-mod  31059  9p10ne21  31080  evl1deg3  34160  2sqr3minply  34462  rabren3dioph  43931  xrlexaddrp  46472  fourierdlem102  47326  fourierdlem114  47338  fouriersw  47349  sinnpoly  48049  nnsum4primesodd  49002  nnsum4primesoddALTV  49003  usgrexmpl1lem  49227  usgrexmpl2lem  49232  usgrexmpl2nb0  49237  usgrexmpl2nb1  49238  usgrexmpl2nb2  49239  usgrexmpl2nb3  49240  usgrexmpl2nb4  49241  usgrexmpl2trifr  49243  gpg5edgnedg  49336  zlmodzxznm  49717  2p2ne5  51119  1ne3  51124  2ne3  51125  veronesev1lem  51156  veronesev2lem  51157  veronesev3lem  51158  veronesev4lem  51159  veronesev5lem  51160