Theorem ltneii 11318

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11317	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 3012	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  ℝcr 11094   < clt 11238

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-id 5556  df-po 5569  df-so 5570  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-ltxr 11243

This theorem is referenced by:  1ne2  12446  f1oun2prg  14950  geo2sum  15923  3dvds  16384  basendxnplusgndx  17335  basendxnmulrndx  17344  plusgndxnmulrndx  17345  slotsdifipndx  17383  slotsdifplendx  17423  basendxnocndx  17431  plendxnocndx  17432  slotsdifdsndx  17442  slotsdifunifndx  17449  slotsbhcdif  17463  slotsdifplendx2  17464  slotsdifocndx  17465  ppiub  27368  2lgslem3  27568  2lgslem4  27570  addsq2nreurex  27608  basendxnedgfndx  29345  structvtxvallem  29370  usgrexmpldifpr  29608  upgr4cycl4dv4e  30536  konigsbergiedgw  30599  konigsberglem3  30605  konigsberglem5  30607  ex-dif  30774  ex-id  30785  ex-fv  30794  ex-mod  30800  9p10ne21  30821  evl1deg3  33868  2sqr3minply  34170  rabren3dioph  43542  xrlexaddrp  46068  fourierdlem102  46922  fourierdlem114  46934  fouriersw  46945  sinnpoly  47628  nnsum4primesodd  48561  nnsum4primesoddALTV  48562  usgrexmpl1lem  48786  usgrexmpl2lem  48791  usgrexmpl2nb0  48796  usgrexmpl2nb1  48797  usgrexmpl2nb2  48798  usgrexmpl2nb3  48799  usgrexmpl2nb4  48800  usgrexmpl2trifr  48802  gpg5edgnedg  48895  zlmodzxznm  49277  2p2ne5  50618