Theorem ltneii 11246

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11245	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2986	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  ℝcr 11025   < clt 11166

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-id 5519  df-po 5532  df-so 5533  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171

This theorem is referenced by:  1ne2  12348  f1oun2prg  14840  geo2sum  15796  3dvds  16258  basendxnplusgndx  17207  basendxnmulrndx  17216  plusgndxnmulrndx  17217  slotsdifipndx  17255  slotsdifplendx  17295  basendxnocndx  17303  plendxnocndx  17304  slotsdifdsndx  17314  slotsdifunifndx  17321  slotsbhcdif  17335  slotsdifplendx2  17336  slotsdifocndx  17337  ppiub  27171  2lgslem3  27371  2lgslem4  27373  addsq2nreurex  27411  basendxnedgfndx  29068  structvtxvallem  29093  usgrexmpldifpr  29331  upgr4cycl4dv4e  30260  konigsbergiedgw  30323  konigsberglem3  30329  konigsberglem5  30331  ex-dif  30498  ex-id  30509  ex-fv  30518  ex-mod  30524  9p10ne21  30545  evl1deg3  33659  2sqr3minply  33937  rabren3dioph  43057  xrlexaddrp  45597  fourierdlem102  46452  fourierdlem114  46464  fouriersw  46475  sinnpoly  47137  nnsum4primesodd  48042  nnsum4primesoddALTV  48043  usgrexmpl1lem  48267  usgrexmpl2lem  48272  usgrexmpl2nb0  48277  usgrexmpl2nb1  48278  usgrexmpl2nb2  48279  usgrexmpl2nb3  48280  usgrexmpl2nb4  48281  usgrexmpl2trifr  48283  gpg5edgnedg  48376  zlmodzxznm  48743  2p2ne5  50043