Theorem ltneii 11338

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11337	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 3014	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

This proof depends on syntax axioms:   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  ℝcr 11114   < clt 11258

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263

This theorem is used by:  1ne2  12466  f1oun2prg  14978  geo2sum  15950  3dvds  16411  basendxnplusgndx  17362  basendxnmulrndx  17371  plusgndxnmulrndx  17372  slotsdifipndx  17410  slotsdifplendx  17450  basendxnocndx  17458  plendxnocndx  17459  slotsdifdsndx  17469  slotsdifunifndx  17476  slotsbhcdif  17490  slotsdifplendx2  17491  slotsdifocndx  17492  ppiub  27419  2lgslem3  27619  2lgslem4  27621  addsq2nreurex  27659  basendxnedgfndx  29400  structvtxvallem  29425  usgrexmpldifpr  29666  upgr4cycl4dv4e  30607  konigsbergiedgw  30670  konigsberglem3  30676  konigsberglem5  30678  ex-dif  30845  ex-id  30856  ex-fv  30865  ex-mod  30871  9p10ne21  30892  evl1deg3  33932  2sqr3minply  34234  rabren3dioph  43600  xrlexaddrp  46126  fourierdlem102  46980  fourierdlem114  46992  fouriersw  47003  sinnpoly  47686  nnsum4primesodd  48619  nnsum4primesoddALTV  48620  usgrexmpl1lem  48844  usgrexmpl2lem  48849  usgrexmpl2nb0  48854  usgrexmpl2nb1  48855  usgrexmpl2nb2  48856  usgrexmpl2nb3  48857  usgrexmpl2nb4  48858  usgrexmpl2trifr  48860  gpg5edgnedg  48953  zlmodzxznm  49334  2p2ne5  50675  1ne3  50680  2ne3  50681