Theorem ltneii 11327

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11326	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2996	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2107   ≠ wne 2941   class class class wbr 5149  ℝcr 11109   < clt 11248

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5300  ax-nul 5307  ax-pow 5364  ax-pr 5428  ax-un 7725  ax-resscn 11167  ax-pre-lttri 11184  ax-pre-lttrn 11185

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3or 1089  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-nel 3048  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3779  df-csb 3895  df-dif 3952  df-un 3954  df-in 3956  df-ss 3966  df-nul 4324  df-if 4530  df-pw 4605  df-sn 4630  df-pr 4632  df-op 4636  df-uni 4910  df-br 5150  df-opab 5212  df-mpt 5233  df-id 5575  df-po 5589  df-so 5590  df-xp 5683  df-rel 5684  df-cnv 5685  df-co 5686  df-dm 5687  df-rn 5688  df-res 5689  df-ima 5690  df-iota 6496  df-fun 6546  df-fn 6547  df-f 6548  df-f1 6549  df-fo 6550  df-f1o 6551  df-fv 6552  df-er 8703  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11250  df-mnf 11251  df-ltxr 11253

This theorem is referenced by:  1ne2  12420  f1oun2prg  14868  geo2sum  15819  3dvds  16274  basendxnplusgndx  17227  basendxnmulrndx  17240  basendxnmulrndxOLD  17241  plusgndxnmulrndx  17242  slotsdifipndx  17280  slotsdifplendx  17320  basendxnocndx  17328  plendxnocndx  17329  slotsdifdsndx  17339  slotsdifunifndx  17346  slotsbhcdif  17360  slotsbhcdifOLD  17361  slotsdifplendx2  17362  slotsdifocndx  17363  oppchomfvalOLD  17659  oppcbasOLD  17664  rescbasOLD  17777  rescabsOLD  17783  odubasOLD  18245  opprlemOLD  20156  rmodislmodOLD  20541  srascaOLD  20799  sravscaOLD  20801  cnfldfunALTOLD  20958  zlmlemOLD  21067  znbaslemOLD  21091  thlbasOLD  21250  thlleOLD  21252  opsrbaslemOLD  21605  tuslemOLD  23772  setsmsbasOLD  23982  tnglemOLD  24150  ppiub  26707  2lgslem3  26907  2lgslem4  26909  addsq2nreurex  26947  ttgvalOLD  28127  ttglemOLD  28129  basendxnedgfndx  28255  structvtxvallem  28280  usgrexmpldifpr  28515  upgr4cycl4dv4e  29438  konigsbergiedgw  29501  konigsberglem3  29507  konigsberglem5  29509  ex-dif  29676  ex-id  29687  ex-fv  29696  ex-mod  29702  9p10ne21  29723  resvbasOLD  32448  resvplusgOLD  32450  resvmulrOLD  32454  hlhilslemOLD  40810  rabren3dioph  41553  mnringbasedOLD  42971  mnringaddgdOLD  42977  xrlexaddrp  44062  fourierdlem102  44924  fourierdlem114  44936  fouriersw  44947  nnsum4primesodd  46464  nnsum4primesoddALTV  46465  zlmodzxznm  47178  prstclevalOLD  47689  prstcocvalOLD  47692  2p2ne5  47845