Theorem ltneii 11226

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11225	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 2982	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2111   ≠ wne 2928   class class class wbr 5089  ℝcr 11005   < clt 11146

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2113  ax-9 2121  ax-10 2144  ax-11 2160  ax-12 2180  ax-ext 2703  ax-sep 5232  ax-nul 5242  ax-pow 5301  ax-pr 5368  ax-un 7668  ax-resscn 11063  ax-pre-lttri 11080  ax-pre-lttrn 11081

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2710  df-cleq 2723  df-clel 2806  df-nfc 2881  df-ne 2929  df-nel 3033  df-ral 3048  df-rex 3057  df-rab 3396  df-v 3438  df-sbc 3737  df-csb 3846  df-dif 3900  df-un 3902  df-in 3904  df-ss 3914  df-nul 4281  df-if 4473  df-pw 4549  df-sn 4574  df-pr 4576  df-op 4580  df-uni 4857  df-br 5090  df-opab 5152  df-mpt 5171  df-id 5509  df-po 5522  df-so 5523  df-xp 5620  df-rel 5621  df-cnv 5622  df-co 5623  df-dm 5624  df-rn 5625  df-res 5626  df-ima 5627  df-iota 6437  df-fun 6483  df-fn 6484  df-f 6485  df-f1 6486  df-fo 6487  df-f1o 6488  df-fv 6489  df-er 8622  df-en 8870  df-dom 8871  df-sdom 8872  df-pnf 11148  df-mnf 11149  df-ltxr 11151

This theorem is referenced by:  1ne2  12328  f1oun2prg  14824  geo2sum  15780  3dvds  16242  basendxnplusgndx  17191  basendxnmulrndx  17200  plusgndxnmulrndx  17201  slotsdifipndx  17239  slotsdifplendx  17279  basendxnocndx  17287  plendxnocndx  17288  slotsdifdsndx  17298  slotsdifunifndx  17305  slotsbhcdif  17319  slotsdifplendx2  17320  slotsdifocndx  17321  ppiub  27142  2lgslem3  27342  2lgslem4  27344  addsq2nreurex  27382  basendxnedgfndx  28973  structvtxvallem  28998  usgrexmpldifpr  29236  upgr4cycl4dv4e  30165  konigsbergiedgw  30228  konigsberglem3  30234  konigsberglem5  30236  ex-dif  30403  ex-id  30414  ex-fv  30423  ex-mod  30429  9p10ne21  30450  evl1deg3  33541  2sqr3minply  33793  rabren3dioph  42856  xrlexaddrp  45399  fourierdlem102  46254  fourierdlem114  46266  fouriersw  46277  sinnpoly  46930  nnsum4primesodd  47835  nnsum4primesoddALTV  47836  usgrexmpl1lem  48060  usgrexmpl2lem  48065  usgrexmpl2nb0  48070  usgrexmpl2nb1  48071  usgrexmpl2nb2  48072  usgrexmpl2nb3  48073  usgrexmpl2nb4  48074  usgrexmpl2trifr  48076  gpg5edgnedg  48169  zlmodzxznm  48537  2p2ne5  49838