Theorem ltneii 11403

Description: 'Greater than' implies not equal. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Sep-2015.)

Hypotheses

Ref	Expression
lt.1	⊢ 𝐴 ∈ ℝ
ltneii.2	⊢ 𝐴 < 𝐵

Assertion

Ref	Expression
ltneii	⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Proof of Theorem ltneii

Step	Hyp	Ref	Expression
1		lt.1	. . 3 ⊢ 𝐴 ∈ ℝ
2		ltneii.2	. . 3 ⊢ 𝐴 < 𝐵
3	1, 2	gtneii 11402	. 2 ⊢ 𝐵 ≠ 𝐴
4	3	necomi 3001	1 ⊢ 𝐴 ≠ 𝐵

Syntax hints:   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  ℝcr 11183   < clt 11324

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329

This theorem is referenced by:  1ne2  12501  f1oun2prg  14966  geo2sum  15921  3dvds  16379  basendxnplusgndx  17341  basendxnmulrndx  17354  basendxnmulrndxOLD  17355  plusgndxnmulrndx  17356  slotsdifipndx  17394  slotsdifplendx  17434  basendxnocndx  17442  plendxnocndx  17443  slotsdifdsndx  17453  slotsdifunifndx  17460  slotsbhcdif  17474  slotsbhcdifOLD  17475  slotsdifplendx2  17476  slotsdifocndx  17477  oppchomfvalOLD  17773  oppcbasOLD  17778  rescbasOLD  17891  rescabsOLD  17897  odubasOLD  18362  opprlemOLD  20366  rmodislmodOLD  20951  srascaOLD  21207  sravscaOLD  21209  cnfldfunALTOLDOLD  21416  zlmlemOLD  21551  znbaslemOLD  21577  thlbasOLD  21738  thlleOLD  21740  opsrbaslemOLD  22091  tuslemOLD  24297  setsmsbasOLD  24507  tnglemOLD  24675  ppiub  27266  2lgslem3  27466  2lgslem4  27468  addsq2nreurex  27506  ttgvalOLD  28902  ttglemOLD  28904  basendxnedgfndx  29030  structvtxvallem  29055  usgrexmpldifpr  29293  upgr4cycl4dv4e  30217  konigsbergiedgw  30280  konigsberglem3  30286  konigsberglem5  30288  ex-dif  30455  ex-id  30466  ex-fv  30475  ex-mod  30481  9p10ne21  30502  resvbasOLD  33325  resvplusgOLD  33327  resvmulrOLD  33331  evl1deg3  33568  2sqr3minply  33738  hlhilslemOLD  41896  rabren3dioph  42771  mnringbasedOLD  44181  mnringaddgdOLD  44187  xrlexaddrp  45267  fourierdlem102  46129  fourierdlem114  46141  fouriersw  46152  nnsum4primesodd  47670  nnsum4primesoddALTV  47671  usgrexmpl1lem  47836  usgrexmpl2lem  47841  usgrexmpl2nb0  47846  usgrexmpl2nb1  47847  usgrexmpl2nb2  47848  usgrexmpl2nb3  47849  usgrexmpl2nb4  47850  usgrexmpl2trifr  47852  zlmodzxznm  48226  prstclevalOLD  48736  prstcocvalOLD  48739  2p2ne5  48892