Theorem sn-0lt1 42845

Description: 0lt1 11671 without ax-mulcom 11102. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem sn-0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11107	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 11144	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11259	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		rernegcl 42741	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	2, 6	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
8		relt0neg1 42826	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
9	2, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1))
10	9	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → 0 < (0 −ℝ 1))
11	7, 7, 10, 10	mulgt0d 11300	. . . 4 ⊢ (1 < 0 → 0 < ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)))
12		1red 11145	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
13	6, 12	remulneg2d 42785	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
14		ax-1rid 11108	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
15	6, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
16	15	oveq2d 7384	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1)))
17		renegneg 42782	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
18	13, 16, 17	3eqtrd 2776	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1)
19	2, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
20	11, 19	breqtrdi 5141	. . 3 ⊢ (1 < 0 → 0 < 1)
21		id 22	. . 3 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
22	20, 21	jaoi 858	. 2 ⊢ ((1 < 0 ∨ 0 < 1) → 0 < 1)
23	5, 22	ax-mp 5	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   · cmul 11043   < clt 11178   −_ℝ cresub 42735

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114  ax-pre-mulgt0 11115

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-rmo 3352  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-id 5527  df-po 5540  df-so 5541  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-riota 7325  df-ov 7371  df-oprab 7372  df-mpo 7373  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-ltxr 11183  df-2 12220  df-3 12221  df-resub 42736

This theorem is referenced by:  sn-ltp1  42846  sn-recgt0d  42847  sn-mulgt1d  42849  reneg1lt0  42850