Theorem sn-0lt1 42439

Description: 0lt1 11812 without ax-mulcom 11248. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem sn-0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11253	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 11290	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11292	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11404	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		rernegcl 42347	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	2, 6	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
8		relt0neg1 42420	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
9	2, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1))
10	9	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → 0 < (0 −ℝ 1))
11	7, 7, 10, 10	mulgt0d 11445	. . . 4 ⊢ (1 < 0 → 0 < ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)))
12		1red 11291	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
13	6, 12	remulneg2d 42390	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
14		ax-1rid 11254	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
15	6, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
16	15	oveq2d 7464	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1)))
17		renegneg 42387	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
18	13, 16, 17	3eqtrd 2784	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1)
19	2, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
20	11, 19	breqtrdi 5207	. . 3 ⊢ (1 < 0 → 0 < 1)
21		id 22	. . 3 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
22	20, 21	jaoi 856	. 2 ⊢ ((1 < 0 ∨ 0 < 1) → 0 < 1)
23	5, 22	ax-mp 5	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∨ wo 846   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2946   class class class wbr 5166  (class class class)co 7448  ℝcr 11183  0cc0 11184  1c1 11185   · cmul 11189   < clt 11324   −_ℝ cresub 42341

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770  ax-resscn 11241  ax-1cn 11242  ax-icn 11243  ax-addcl 11244  ax-addrcl 11245  ax-mulcl 11246  ax-mulrcl 11247  ax-addass 11249  ax-mulass 11250  ax-distr 11251  ax-i2m1 11252  ax-1ne0 11253  ax-1rid 11254  ax-rnegex 11255  ax-rrecex 11256  ax-cnre 11257  ax-pre-lttri 11258  ax-pre-lttrn 11259  ax-pre-ltadd 11260  ax-pre-mulgt0 11261

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-nel 3053  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-po 5607  df-so 5608  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-mpo 7453  df-er 8763  df-en 9004  df-dom 9005  df-sdom 9006  df-pnf 11326  df-mnf 11327  df-ltxr 11329  df-2 12356  df-3 12357  df-resub 42342

This theorem is referenced by:  sn-ltp1  42440  sn-mulgt1d  42441  reneg1lt0  42442