Theorem sn-0lt1 42493

Description: 0lt1 11785 without ax-mulcom 11219. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem sn-0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11224	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 11261	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11263	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11375	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		rernegcl 42401	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	2, 6	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
8		relt0neg1 42474	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
9	2, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1))
10	9	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → 0 < (0 −ℝ 1))
11	7, 7, 10, 10	mulgt0d 11416	. . . 4 ⊢ (1 < 0 → 0 < ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)))
12		1red 11262	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
13	6, 12	remulneg2d 42444	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
14		ax-1rid 11225	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
15	6, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
16	15	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1)))
17		renegneg 42441	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
18	13, 16, 17	3eqtrd 2781	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1)
19	2, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
20	11, 19	breqtrdi 5184	. . 3 ⊢ (1 < 0 → 0 < 1)
21		id 22	. . 3 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
22	20, 21	jaoi 858	. 2 ⊢ ((1 < 0 ∨ 0 < 1) → 0 < 1)
23	5, 22	ax-mp 5	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∨ wo 848   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   · cmul 11160   < clt 11295   −_ℝ cresub 42395

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231  ax-pre-mulgt0 11232

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-po 5592  df-so 5593  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-2 12329  df-3 12330  df-resub 42396

This theorem is referenced by:  sn-ltp1  42494  sn-mulgt1d  42495  reneg1lt0  42496