Theorem sn-0lt1 40432

Description: 0lt1 11497 without ax-mulcom 10935. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem sn-0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 10940	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 10975	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 10977	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11089	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 229	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		rernegcl 40354	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
9		relt0neg1 40425	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1))
11	10	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → 0 < (0 −ℝ 1))
12	8, 8, 11, 11	mulgt0d 11130	. . . 4 ⊢ (1 < 0 → 0 < ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)))
13		resubdi 40379	. . . . . 6 ⊢ (((0 −ℝ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
14	7, 3, 2, 13	mp3an 1460	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1))
15		remul01 40390	. . . . . . 7 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 0) = 0)
16	7, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((0 −ℝ 1) · 0) = 0
17		ax-1rid 10941	. . . . . . 7 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
18	7, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1)
19	16, 18	oveq12i 7287	. . . . 5 ⊢ (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1))
20		renegneg 40394	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1
22	14, 19, 21	3eqtri 2770	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
23	12, 22	breqtrdi 5115	. . 3 ⊢ (1 < 0 → 0 < 1)
24		id 22	. . 3 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
25	23, 24	jaoi 854	. 2 ⊢ ((1 < 0 ∨ 0 < 1) → 0 < 1)
26	5, 25	ax-mp 5	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∨ wo 844   = wceq 1539   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2943   class class class wbr 5074  (class class class)co 7275  ℝcr 10870  0cc0 10871  1c1 10872   · cmul 10876   < clt 11009   −_ℝ cresub 40348

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2709  ax-sep 5223  ax-nul 5230  ax-pow 5288  ax-pr 5352  ax-un 7588  ax-resscn 10928  ax-1cn 10929  ax-icn 10930  ax-addcl 10931  ax-addrcl 10932  ax-mulcl 10933  ax-mulrcl 10934  ax-addass 10936  ax-mulass 10937  ax-distr 10938  ax-i2m1 10939  ax-1ne0 10940  ax-1rid 10941  ax-rnegex 10942  ax-rrecex 10943  ax-cnre 10944  ax-pre-lttri 10945  ax-pre-lttrn 10946  ax-pre-ltadd 10947  ax-pre-mulgt0 10948

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2068  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2816  df-nfc 2889  df-ne 2944  df-nel 3050  df-ral 3069  df-rex 3070  df-rmo 3071  df-reu 3072  df-rab 3073  df-v 3434  df-sbc 3717  df-csb 3833  df-dif 3890  df-un 3892  df-in 3894  df-ss 3904  df-nul 4257  df-if 4460  df-pw 4535  df-sn 4562  df-pr 4564  df-op 4568  df-uni 4840  df-br 5075  df-opab 5137  df-mpt 5158  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6391  df-fun 6435  df-fn 6436  df-f 6437  df-f1 6438  df-fo 6439  df-f1o 6440  df-fv 6441  df-riota 7232  df-ov 7278  df-oprab 7279  df-mpo 7280  df-er 8498  df-en 8734  df-dom 8735  df-sdom 8736  df-pnf 11011  df-mnf 11012  df-ltxr 11014  df-2 12036  df-3 12037  df-resub 40349

This theorem is referenced by:  sn-ltp1  40433  reneg1lt0  40434