Theorem sn-0lt1 42470

Description: 0lt1 11783 without ax-mulcom 11217. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem sn-0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11222	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 11259	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11261	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11373	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		rernegcl 42378	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	2, 6	mp1i 13	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
8		relt0neg1 42451	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
9	2, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1))
10	9	biimpi 216	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → 0 < (0 −ℝ 1))
11	7, 7, 10, 10	mulgt0d 11414	. . . 4 ⊢ (1 < 0 → 0 < ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)))
12		1red 11260	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
13	6, 12	remulneg2d 42421	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
14		ax-1rid 11223	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
15	6, 14	syl 17	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
16	15	oveq2d 7447	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1)))
17		renegneg 42418	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
18	13, 16, 17	3eqtrd 2779	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1)
19	2, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
20	11, 19	breqtrdi 5189	. . 3 ⊢ (1 < 0 → 0 < 1)
21		id 22	. . 3 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
22	20, 21	jaoi 857	. 2 ⊢ ((1 < 0 ∨ 0 < 1) → 0 < 1)
23	5, 22	ax-mp 5	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 206   ∨ wo 847   = wceq 1537   ∈ wcel 2106   ≠ wne 2938   class class class wbr 5148  (class class class)co 7431  ℝcr 11152  0cc0 11153  1c1 11154   · cmul 11158   < clt 11293   −_ℝ cresub 42372

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1792  ax-4 1806  ax-5 1908  ax-6 1965  ax-7 2005  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2139  ax-11 2155  ax-12 2175  ax-ext 2706  ax-sep 5302  ax-nul 5312  ax-pow 5371  ax-pr 5438  ax-un 7754  ax-resscn 11210  ax-1cn 11211  ax-icn 11212  ax-addcl 11213  ax-addrcl 11214  ax-mulcl 11215  ax-mulrcl 11216  ax-addass 11218  ax-mulass 11219  ax-distr 11220  ax-i2m1 11221  ax-1ne0 11222  ax-1rid 11223  ax-rnegex 11224  ax-rrecex 11225  ax-cnre 11226  ax-pre-lttri 11227  ax-pre-lttrn 11228  ax-pre-ltadd 11229  ax-pre-mulgt0 11230

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1777  df-nf 1781  df-sb 2063  df-mo 2538  df-eu 2567  df-clab 2713  df-cleq 2727  df-clel 2814  df-nfc 2890  df-ne 2939  df-nel 3045  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rmo 3378  df-reu 3379  df-rab 3434  df-v 3480  df-sbc 3792  df-csb 3909  df-dif 3966  df-un 3968  df-in 3970  df-ss 3980  df-nul 4340  df-if 4532  df-pw 4607  df-sn 4632  df-pr 4634  df-op 4638  df-uni 4913  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5583  df-po 5597  df-so 5598  df-xp 5695  df-rel 5696  df-cnv 5697  df-co 5698  df-dm 5699  df-rn 5700  df-res 5701  df-ima 5702  df-iota 6516  df-fun 6565  df-fn 6566  df-f 6567  df-f1 6568  df-fo 6569  df-f1o 6570  df-fv 6571  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-er 8744  df-en 8985  df-dom 8986  df-sdom 8987  df-pnf 11295  df-mnf 11296  df-ltxr 11298  df-2 12327  df-3 12328  df-resub 42373

This theorem is referenced by:  sn-ltp1  42471  sn-mulgt1d  42472  reneg1lt0  42473