Theorem sn-0lt1 40353

Description: 0lt1 11427 without ax-mulcom 10866. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem sn-0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 10871	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 10906	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 10908	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11019	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 229	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		rernegcl 40275	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
9		relt0neg1 40346	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1))
11	10	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → 0 < (0 −ℝ 1))
12	8, 8, 11, 11	mulgt0d 11060	. . . 4 ⊢ (1 < 0 → 0 < ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)))
13		resubdi 40300	. . . . . 6 ⊢ (((0 −ℝ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
14	7, 3, 2, 13	mp3an 1459	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1))
15		remul01 40311	. . . . . . 7 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 0) = 0)
16	7, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((0 −ℝ 1) · 0) = 0
17		ax-1rid 10872	. . . . . . 7 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
18	7, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1)
19	16, 18	oveq12i 7267	. . . . 5 ⊢ (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1))
20		renegneg 40315	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1
22	14, 19, 21	3eqtri 2770	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
23	12, 22	breqtrdi 5111	. . 3 ⊢ (1 < 0 → 0 < 1)
24		id 22	. . 3 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
25	23, 24	jaoi 853	. 2 ⊢ ((1 < 0 ∨ 0 < 1) → 0 < 1)
26	5, 25	ax-mp 5	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∨ wo 843   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   · cmul 10807   < clt 10940   −_ℝ cresub 40269

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878  ax-pre-mulgt0 10879

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rmo 3071  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-op 4565  df-uni 4837  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-id 5480  df-po 5494  df-so 5495  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-riota 7212  df-ov 7258  df-oprab 7259  df-mpo 7260  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-ltxr 10945  df-2 11966  df-3 11967  df-resub 40270

This theorem is referenced by:  sn-ltp1  40354  reneg1lt0  40355