Theorem sn-0lt1 40421

Description: 0lt1 11489 without ax-mulcom 10928. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem sn-0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 10933	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 10968	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 10970	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11081	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 229	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		rernegcl 40343	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	2, 6	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (0 −ℝ 1) ∈ ℝ
8	7	a1i 11	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
9		relt0neg1 40414	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
10	2, 9	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1))
11	10	biimpi 215	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → 0 < (0 −ℝ 1))
12	8, 8, 11, 11	mulgt0d 11122	. . . 4 ⊢ (1 < 0 → 0 < ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)))
13		resubdi 40368	. . . . . 6 ⊢ (((0 −ℝ 1) ∈ ℝ ∧ 0 ∈ ℝ ∧ 1 ∈ ℝ) → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
14	7, 3, 2, 13	mp3an 1460	. . . . 5 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1))
15		remul01 40379	. . . . . . 7 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 0) = 0)
16	7, 15	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((0 −ℝ 1) · 0) = 0
17		ax-1rid 10934	. . . . . . 7 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
18	7, 17	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1)
19	16, 18	oveq12i 7281	. . . . 5 ⊢ (((0 −ℝ 1) · 0) −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1))
20		renegneg 40383	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
21	2, 20	ax-mp 5	. . . . 5 ⊢ (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1
22	14, 19, 21	3eqtri 2772	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
23	12, 22	breqtrdi 5120	. . 3 ⊢ (1 < 0 → 0 < 1)
24		id 22	. . 3 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
25	23, 24	jaoi 854	. 2 ⊢ ((1 < 0 ∨ 0 < 1) → 0 < 1)
26	5, 25	ax-mp 5	1 ⊢ 0 < 1

Syntax hints:   ↔ wb 205   ∨ wo 844   = wceq 1542   ∈ wcel 2110   ≠ wne 2945   class class class wbr 5079  (class class class)co 7269  ℝcr 10863  0cc0 10864  1c1 10865   · cmul 10869   < clt 11002   −_ℝ cresub 40337

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1802  ax-4 1816  ax-5 1917  ax-6 1975  ax-7 2015  ax-8 2112  ax-9 2120  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2175  ax-ext 2711  ax-sep 5227  ax-nul 5234  ax-pow 5292  ax-pr 5356  ax-un 7580  ax-resscn 10921  ax-1cn 10922  ax-icn 10923  ax-addcl 10924  ax-addrcl 10925  ax-mulcl 10926  ax-mulrcl 10927  ax-addass 10929  ax-mulass 10930  ax-distr 10931  ax-i2m1 10932  ax-1ne0 10933  ax-1rid 10934  ax-rnegex 10935  ax-rrecex 10936  ax-cnre 10937  ax-pre-lttri 10938  ax-pre-lttrn 10939  ax-pre-ltadd 10940  ax-pre-mulgt0 10941

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 845  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1787  df-nf 1791  df-sb 2072  df-mo 2542  df-eu 2571  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2818  df-nfc 2891  df-ne 2946  df-nel 3052  df-ral 3071  df-rex 3072  df-reu 3073  df-rmo 3074  df-rab 3075  df-v 3433  df-sbc 3721  df-csb 3838  df-dif 3895  df-un 3897  df-in 3899  df-ss 3909  df-nul 4263  df-if 4466  df-pw 4541  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4846  df-br 5080  df-opab 5142  df-mpt 5163  df-id 5489  df-po 5503  df-so 5504  df-xp 5595  df-rel 5596  df-cnv 5597  df-co 5598  df-dm 5599  df-rn 5600  df-res 5601  df-ima 5602  df-iota 6389  df-fun 6433  df-fn 6434  df-f 6435  df-f1 6436  df-fo 6437  df-f1o 6438  df-fv 6439  df-riota 7226  df-ov 7272  df-oprab 7273  df-mpo 7274  df-er 8473  df-en 8709  df-dom 8710  df-sdom 8711  df-pnf 11004  df-mnf 11005  df-ltxr 11007  df-2 12028  df-3 12029  df-resub 40338

This theorem is referenced by:  sn-ltp1  40422  reneg1lt0  40423