Theorem sn-0lt1 43307

Description: 0lt1 11751 without ax-mulcom 11179. (Contributed by SN, 13-Feb-2024.)

Assertion

Ref	Expression
sn-0lt1	⊢ 0 < 1

Proof of Theorem sn-0lt1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11184	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 11223	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11225	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11339	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		rernegcl 43190	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
7	2, 6	mp1i 14	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → (0 −ℝ 1) ∈ ℝ)
8		relt0neg1 43288	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1)))
9	2, 8	ax-mp 5	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 ↔ 0 < (0 −ℝ 1))
10	9	biimpi 219	. . . . 5 ⊢ (1 < 0 → 0 < (0 −ℝ 1))
11	7, 7, 10, 10	mulgt0d 11380	. . . 4 ⊢ (1 < 0 → 0 < ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)))
12		1red 11224	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → 1 ∈ ℝ)
13	6, 12	remulneg2d 43234	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)))
14		ax-1rid 11185	. . . . . . . 8 ⊢ ((0 −ℝ 1) ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
15	6, 14	syl 18	. . . . . . 7 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · 1) = (0 −ℝ 1))
16	15	oveq2d 7435	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ ((0 −ℝ 1) · 1)) = (0 −ℝ (0 −ℝ 1)))
17		renegneg 43231	. . . . . 6 ⊢ (1 ∈ ℝ → (0 −ℝ (0 −ℝ 1)) = 1)
18	13, 16, 17	3eqtrd 2804	. . . . 5 ⊢ (1 ∈ ℝ → ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1)
19	2, 18	ax-mp 5	. . . 4 ⊢ ((0 −ℝ 1) · (0 −ℝ 1)) = 1
20	11, 19	breqtrdi 5154	. . 3 ⊢ (1 < 0 → 0 < 1)
21		id 23	. . 3 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
22	20, 21	jaoi 871	. 2 ⊢ ((1 < 0 ∨ 0 < 1) → 0 < 1)
23	5, 22	ax-mp 5	1 ⊢ 0 < 1

This proof depends on syntax axioms:   ↔ wb 209   ∨ wo 861   = wceq 1570   ∈ wcel 2146   ≠ wne 2960   class class class wbr 5111  (class class class)co 7419  ℝcr 11114  0cc0 11115  1c1 11116   · cmul 11120   < clt 11258   −_ℝ cresub 43184

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2148  ax-9 2156  ax-10 2179  ax-11 2195  ax-12 2216  ax-ext 2737  ax-sep 5259  ax-nul 5271  ax-pow 5338  ax-pr 5406  ax-un 7742  ax-resscn 11172  ax-1cn 11173  ax-icn 11174  ax-addcl 11175  ax-addrcl 11176  ax-mulcl 11177  ax-mulrcl 11178  ax-addass 11180  ax-mulass 11181  ax-distr 11182  ax-i2m1 11183  ax-1ne0 11184  ax-1rid 11185  ax-rnegex 11186  ax-rrecex 11187  ax-cnre 11188  ax-pre-lttri 11189  ax-pre-lttrn 11190  ax-pre-ltadd 11191  ax-pre-mulgt0 11192

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2569  df-eu 2599  df-clab 2744  df-cleq 2757  df-clel 2840  df-nfc 2914  df-ne 2961  df-nel 3067  df-ral 3082  df-rex 3092  df-rmo 3371  df-reu 3372  df-rab 3419  df-v 3459  df-sbc 3747  df-csb 3855  df-dif 3909  df-un 3911  df-in 3913  df-ss 3923  df-nul 4287  df-if 4490  df-pw 4566  df-sn 4592  df-pr 4594  df-op 4598  df-uni 4875  df-br 5112  df-opab 5176  df-mpt 5195  df-id 5558  df-po 5571  df-so 5572  df-xp 5669  df-rel 5670  df-cnv 5671  df-co 5672  df-dm 5673  df-rn 5674  df-res 5675  df-ima 5676  df-iota 6496  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7376  df-ov 7422  df-oprab 7423  df-mpo 7424  df-er 8700  df-en 8950  df-dom 8951  df-sdom 8952  df-pnf 11260  df-mnf 11261  df-ltxr 11263  df-2 12318  df-3 12319  df-resub 43185

This theorem is used by:  sn-ltp1  43308  sn-recgt0d  43309  sn-mulgt1d  43311  reneg1lt0  43312