Theorem nnne0 12274

Description: A positive integer is nonzero. See nnne0ALT 12278 for a shorter proof using ax-pre-mulgt0 11206. This proof avoids 0lt1 11759, and thus ax-pre-mulgt0 11206, by splitting ax-1ne0 11198 into the two separate cases 0 < 1 and 1 < 0. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.) Remove dependency on ax-pre-mulgt0 11206. (Revised by Steven Nguyen, 30-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11198	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 11235	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11237	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11349	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		breq1 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
7	6	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 1 < 0)))
8		breq1 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
9	8	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝑦 < 0)))
10		breq1 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
11	10	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
12		breq1 5122	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
13	12	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝐴 < 0)))
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → 1 < 0)
15		simp1 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12255	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
17		1red 11236	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
18	16, 17	readdcld 11264	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19	3, 2	readdcli 11250	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) ∈ ℝ)
21		0red 11238	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
22		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
23	16, 21, 17, 22	ltadd1dd 11848	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < (0 + 1))
24		ax-1cn 11187	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11423	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
26		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
27	25, 26	eqbrtrid 5154	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) < 0)
28	18, 20, 21, 23, 27	lttrd 11396	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
29	28	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 < 0 → (𝑦 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
30	29	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 < 0 → 𝑦 < 0) → (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
31	7, 9, 11, 13, 14, 30	nnind 12258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 0 → 𝐴 < 0))
32	31	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 < 0)
33	32	lt0ne0d 11802	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
34		breq2 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
35	34	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 1)))
36		breq2 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
37	36	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝑦)))
38		breq2 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
39	38	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
40		breq2 5123	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
41	40	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝐴)))
42		id 22	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
43		simp1 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
44	43	nnred 12255	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
45		1red 11236	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
46		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
47		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
48	44, 45, 46, 47	addgt0d 11812	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
49	48	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 < 1 → (0 < 𝑦 → 0 < (𝑦 + 1))))
50	49	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 < 1 → 0 < 𝑦) → (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
51	35, 37, 39, 41, 42, 50	nnind 12258	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 1 → 0 < 𝐴))
52	51	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 0 < 𝐴)
53	52	gt0ne0d 11801	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
54	33, 53	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → 𝐴 ≠ 0)
55	5, 54	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2932   class class class wbr 5119  (class class class)co 7405  ℝcr 11128  0cc0 11129  1c1 11130   + caddc 11132   < clt 11269  ℕcn 12240

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2707  ax-sep 5266  ax-nul 5276  ax-pow 5335  ax-pr 5402  ax-un 7729  ax-resscn 11186  ax-1cn 11187  ax-icn 11188  ax-addcl 11189  ax-addrcl 11190  ax-mulcl 11191  ax-mulrcl 11192  ax-mulcom 11193  ax-addass 11194  ax-mulass 11195  ax-distr 11196  ax-i2m1 11197  ax-1ne0 11198  ax-1rid 11199  ax-rnegex 11200  ax-rrecex 11201  ax-cnre 11202  ax-pre-lttri 11203  ax-pre-lttrn 11204  ax-pre-ltadd 11205

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2539  df-eu 2568  df-clab 2714  df-cleq 2727  df-clel 2809  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-reu 3360  df-rab 3416  df-v 3461  df-sbc 3766  df-csb 3875  df-dif 3929  df-un 3931  df-in 3933  df-ss 3943  df-pss 3946  df-nul 4309  df-if 4501  df-pw 4577  df-sn 4602  df-pr 4604  df-op 4608  df-uni 4884  df-iun 4969  df-br 5120  df-opab 5182  df-mpt 5202  df-tr 5230  df-id 5548  df-eprel 5553  df-po 5561  df-so 5562  df-fr 5606  df-we 5608  df-xp 5660  df-rel 5661  df-cnv 5662  df-co 5663  df-dm 5664  df-rn 5665  df-res 5666  df-ima 5667  df-pred 6290  df-ord 6355  df-on 6356  df-lim 6357  df-suc 6358  df-iota 6484  df-fun 6533  df-fn 6534  df-f 6535  df-f1 6536  df-fo 6537  df-f1o 6538  df-fv 6539  df-ov 7408  df-om 7862  df-2nd 7989  df-frecs 8280  df-wrecs 8311  df-recs 8385  df-rdg 8424  df-er 8719  df-en 8960  df-dom 8961  df-sdom 8962  df-pnf 11271  df-mnf 11272  df-xr 11273  df-ltxr 11274  df-le 11275  df-nn 12241

This theorem is referenced by:  nnneneg  12275  0nnn  12276  nndivre  12281  nndiv  12286  nndivtr  12287  nnne0d  12290  zdiv  12663  zdivadd  12664  zdivmul  12665  elq  12966  qmulz  12967  qre  12969  qaddcl  12981  qnegcl  12982  qmulcl  12983  qreccl  12985  rpnnen1lem5  12997  nn0ledivnn  13122  fzo1fzo0n0  13731  quoremz  13872  quoremnn0ALT  13874  intfracq  13876  fldiv  13877  fldiv2  13878  modmulnn  13906  modsumfzodifsn  13962  expnnval  14082  expneg  14087  digit2  14254  facdiv  14305  facndiv  14306  bcm1k  14333  bcp1n  14334  bcval5  14336  hashnncl  14384  cshwidxmod  14821  relexpsucnnr  15044  divcnv  15869  harmonic  15875  expcnv  15880  ef0lem  16094  ruclem6  16253  sqrt2irr  16267  dvdsval3  16276  nndivdvds  16281  modmulconst  16307  dvdsdivcl  16335  dvdsflip  16336  divalg2  16424  divalgmod  16425  ndvdssub  16428  nndvdslegcd  16524  divgcdz  16530  divgcdnn  16534  modgcd  16551  gcddiv  16570  gcdzeq  16571  eucalgf  16602  eucalginv  16603  lcmgcdlem  16625  lcmftp  16655  qredeq  16676  qredeu  16677  cncongr1  16686  cncongr2  16687  isprm6  16733  divnumden  16767  divdenle  16768  phimullem  16798  hashgcdlem  16807  phisum  16810  prm23lt5  16834  pythagtriplem10  16840  pythagtriplem8  16843  pythagtriplem9  16844  pccl  16869  pcdiv  16872  pcqcl  16876  pcdvds  16884  pcndvds  16886  pcndvds2  16888  pceq0  16891  pcneg  16894  pcz  16901  pcmpt  16912  fldivp1  16917  pcfac  16919  oddprmdvds  16923  infpnlem2  16931  cshwshashlem1  17115  smndex1n0mnd  18890  mulgnn  19058  mulgnegnn  19067  mulgmodid  19096  oddvdsnn0  19525  odmulgeq  19538  gexnnod  19569  qsssubdrg  21394  prmirredlem  21433  znf1o  21512  znhash  21519  znidomb  21522  znunithash  21525  znrrg  21526  cply1coe0  22239  cply1coe0bi  22240  m2cpm  22679  m2cpminvid2lem  22692  fvmptnn04ifc  22790  vitali  25566  mbfi1fseqlem3  25670  dvexp2  25910  plyeq0lem  26167  abelthlem9  26402  logtayllem  26620  logtayl  26621  logtaylsum  26622  logtayl2  26623  cxpexp  26629  cxproot  26651  root1id  26716  root1eq1  26717  cxpeq  26719  logbgcd1irr  26756  atantayl  26899  atantayl2  26900  leibpilem2  26903  leibpi  26904  birthdaylem2  26914  birthdaylem3  26915  dfef2  26933  emcllem2  26959  emcllem3  26960  zetacvg  26977  lgam1  27026  basellem4  27046  basellem8  27050  basellem9  27051  mumullem2  27142  fsumdvdscom  27147  chtublem  27174  dchrelbas4  27206  bclbnd  27243  lgsval4a  27282  lgsabs1  27299  lgssq2  27301  dchrmusumlema  27456  dchrmusum2  27457  dchrvmasumiflem1  27464  dchrvmaeq0  27467  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0flblem2  27472  dchrisum0re  27476  ostthlem1  27590  ostth1  27596  pthdlem2lem  29749  wspthsnonn0vne  29899  clwwisshclwwslem  29995  ipasslem4  30815  ipasslem5  30816  divnumden2  32794  1fldgenq  33316  qqhval2  34013  qqhnm  34021  signstfveq0  34609  subfacp1lem6  35207  circum  35696  fz0n  35748  divcnvlin  35750  iprodgam  35759  faclim  35763  nndivsub  36475  poimirlem29  37673  poimirlem31  37675  poimirlem32  37676  heiborlem4  37838  heiborlem6  37840  nnproddivdvdsd  42013  pellexlem1  42852  congrep  42997  jm2.20nn  43021  proot1ex  43220  hashnzfzclim  44346  binomcxplemnotnn0  44380  nnne1ge2  45320  mccllem  45626  clim1fr1  45630  dvnxpaek  45971  dvnprodlem2  45976  wallispilem5  46098  wallispi2lem1  46100  stirlinglem1  46103  stirlinglem3  46105  stirlinglem4  46106  stirlinglem5  46107  stirlinglem7  46109  stirlinglem10  46112  stirlinglem12  46114  stirlinglem14  46116  stirlinglem15  46117  fouriersw  46260  vonioolem2  46710  vonicclem2  46713  iccpartiltu  47436  divgcdoddALTV  47696  fpprwppr  47753  isubgr3stgrlem7  47984  gpg3kgrtriexlem5  48089  nnsgrpnmnd  48153  eluz2cnn0n1  48487  mod0mul  48499  modn0mul  48500  blennn  48555  nnpw2blen  48560  digvalnn0  48579  nn0digval  48580  dignn0fr  48581  dignn0ldlem  48582  dig0  48586