Theorem nnne0 12265

Description: A positive integer is nonzero. See nnne0ALT 12269 for a shorter proof using ax-pre-mulgt0 11172. This proof avoids 0lt1 11731, and thus ax-pre-mulgt0 11172, by splitting ax-1ne0 11164 into the two separate cases 0 < 1 and 1 < 0. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.) Remove dependency on ax-pre-mulgt0 11172. (Revised by Steven Nguyen, 30-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11164	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 11203	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11205	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11319	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		breq1 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
7	6	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 1 < 0)))
8		breq1 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
9	8	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝑦 < 0)))
10		breq1 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
11	10	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
12		breq1 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
13	12	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝐴 < 0)))
14		id 23	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → 1 < 0)
15		simp1 1154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12243	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
17		1red 11204	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
18	16, 17	readdcld 11233	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19	3, 2	readdcli 11219	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) ∈ ℝ)
21		0red 11206	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
22		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
23	16, 21, 17, 22	ltadd1dd 11820	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < (0 + 1))
24		ax-1cn 11153	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11393	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
26		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
27	25, 26	eqbrtrid 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) < 0)
28	18, 20, 21, 23, 27	lttrd 11366	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
29	28	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 < 0 → (𝑦 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
30	29	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 < 0 → 𝑦 < 0) → (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
31	7, 9, 11, 13, 14, 30	nnind 12246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 0 → 𝐴 < 0))
32	31	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 < 0)
33	32	lt0ne0d 11774	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
34		breq2 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
35	34	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 1)))
36		breq2 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
37	36	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝑦)))
38		breq2 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
39	38	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
40		breq2 5113	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
41	40	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝐴)))
42		id 23	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
43		simp1 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
44	43	nnred 12243	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
45		1red 11204	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
46		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
47		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
48	44, 45, 46, 47	addgt0d 11784	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
49	48	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 < 1 → (0 < 𝑦 → 0 < (𝑦 + 1))))
50	49	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 < 1 → 0 < 𝑦) → (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
51	35, 37, 39, 41, 42, 50	nnind 12246	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 1 → 0 < 𝐴))
52	51	imp 411	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 0 < 𝐴)
53	52	gt0ne0d 11773	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
54	33, 53	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → 𝐴 ≠ 0)
55	5, 54	mpan2 703	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 400   ∨ wo 860   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2143   ≠ wne 2958   class class class wbr 5109  (class class class)co 7410  ℝcr 11094  0cc0 11095  1c1 11096   + caddc 11098   < clt 11238  ℕcn 12228

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1825  ax-4 1839  ax-5 1940  ax-6 1997  ax-7 2038  ax-8 2145  ax-9 2153  ax-10 2176  ax-11 2192  ax-12 2213  ax-ext 2735  ax-sep 5257  ax-nul 5269  ax-pow 5336  ax-pr 5404  ax-un 7732  ax-resscn 11152  ax-1cn 11153  ax-icn 11154  ax-addcl 11155  ax-addrcl 11156  ax-mulcl 11157  ax-mulrcl 11158  ax-mulcom 11159  ax-addass 11160  ax-mulass 11161  ax-distr 11162  ax-i2m1 11163  ax-1ne0 11164  ax-1rid 11165  ax-rnegex 11166  ax-rrecex 11167  ax-cnre 11168  ax-pre-lttri 11169  ax-pre-lttrn 11170  ax-pre-ltadd 11171

This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 401  df-or 861  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1810  df-nf 1814  df-sb 2097  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2838  df-nfc 2912  df-ne 2959  df-nel 3065  df-ral 3080  df-rex 3090  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3457  df-sbc 3745  df-csb 3854  df-dif 3908  df-un 3910  df-in 3912  df-ss 3922  df-pss 3925  df-nul 4287  df-if 4488  df-pw 4564  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5110  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5556  df-eprel 5561  df-po 5569  df-so 5570  df-fr 5614  df-we 5616  df-xp 5667  df-rel 5668  df-cnv 5669  df-co 5670  df-dm 5671  df-rn 5672  df-res 5673  df-ima 5674  df-pred 6302  df-ord 6363  df-on 6364  df-lim 6365  df-suc 6366  df-iota 6492  df-fun 6538  df-fn 6539  df-f 6540  df-f1 6541  df-fo 6542  df-f1o 6543  df-fv 6544  df-ov 7413  df-om 7859  df-2nd 7983  df-frecs 8274  df-wrecs 8305  df-recs 8354  df-rdg 8393  df-er 8690  df-en 8940  df-dom 8941  df-sdom 8942  df-pnf 11240  df-mnf 11241  df-xr 11242  df-ltxr 11243  df-le 11244  df-nn 12229

This theorem is referenced by:  nnneneg  12266  0nnn  12267  nndivre  12272  nndiv  12277  nndivtr  12278  nnne0d  12281  zdiv  12661  zdivadd  12662  zdivmul  12663  elq  12969  qmulz  12970  qre  12972  qaddcl  12984  qnegcl  12985  qmulcl  12986  qreccl  12988  rpnnen1lem5  13000  nn0ledivnn  13126  fzo1fzo0n0  13740  quoremz  13884  quoremnn0ALT  13886  intfracq  13888  fldiv  13889  fldiv2  13890  modmulnn  13918  modsumfzodifsn  13976  expnnval  14096  expneg  14101  digit2  14268  facdiv  14319  facndiv  14320  bcm1k  14347  bcp1n  14348  bcval5  14350  hashnncl  14398  cshwidxmod  14836  relexpsucnnr  15058  divcnv  15903  harmonic  15909  expcnv  15914  ef0lem  16127  ruclem6  16286  sqrt2irr  16300  dvdsval3  16309  nndivdvds  16314  modmulconst  16341  dvdsdivcl  16369  dvdsflip  16370  divalg2  16458  divalgmod  16459  ndvdssub  16462  nndvdslegcd  16558  divgcdz  16564  divgcdnn  16568  modgcd  16585  gcddiv  16604  gcdzeq  16605  eucalgf  16636  eucalginv  16637  lcmgcdlem  16659  lcmftp  16689  qredeq  16710  qredeu  16711  cncongr1  16720  cncongr2  16721  isprm6  16768  divnumden  16802  divdenle  16803  phimullem  16833  hashgcdlem  16842  phisum  16845  prm23lt5  16869  pythagtriplem10  16875  pythagtriplem8  16878  pythagtriplem9  16879  pccl  16904  pcdiv  16907  pcqcl  16911  pcdvds  16919  pcndvds  16921  pcndvds2  16923  pceq0  16926  pcneg  16929  pcz  16936  pcmpt  16947  fldivp1  16952  pcfac  16954  oddprmdvds  16958  infpnlem2  16966  cshwshashlem1  17150  smndex1n0mnd  18969  mulgnn  19136  mulgnegnn  19145  mulgmodid  19174  oddvdsnn0  19609  odmulgeq  19622  gexnnod  19653  qsssubdrg  21576  prmirredlem  21622  znf1o  21701  znhash  21708  znidomb  21711  znunithash  21714  znrrg  21715  cply1coe0  22461  cply1coe0bi  22462  m2cpm  22898  m2cpminvid2lem  22911  fvmptnn04ifc  23009  vitali  25772  mbfi1fseqlem3  25876  dvexp2  26113  plyeq0lem  26367  abelthlem9  26603  logtayllem  26824  logtayl  26825  logtaylsum  26826  logtayl2  26827  cxpexp  26833  cxproot  26855  root1id  26919  root1eq1  26920  cxpeq  26922  logbgcd1irr  26959  atantayl  27102  atantayl2  27103  leibpilem2  27106  leibpi  27107  birthdaylem2  27117  birthdaylem3  27118  dfef2  27135  emcllem2  27161  emcllem3  27162  zetacvg  27179  lgam1  27228  basellem4  27248  basellem8  27252  basellem9  27253  mumullem2  27344  fsumdvdscom  27349  chtublem  27375  dchrelbas4  27407  bclbnd  27444  lgsval4a  27483  lgsabs1  27500  lgssq2  27502  dchrmusumlema  27657  dchrmusum2  27658  dchrvmasumiflem1  27665  dchrvmaeq0  27668  dchrisum0flblem1  27672  dchrisum0flblem2  27673  dchrisum0re  27677  ostthlem1  27791  ostth1  27797  pthdlem2lem  30116  wspthsnonn0vne  30266  clwwisshclwwslem  30365  ipasslem4  31186  ipasslem5  31187  divnumden2  33160  1fldgenq  33643  qqhval2  34372  qqhnm  34380  signstfveq0  34964  subfacp1lem6  35677  circum  36166  fz0n  36223  divcnvlin  36225  iprodgam  36234  faclim  36238  nndivsub  36968  poimirlem29  38300  poimirlem31  38302  poimirlem32  38303  heiborlem4  38465  heiborlem6  38467  nnproddivdvdsd  42767  pellexlem1  43556  congrep  43700  jm2.20nn  43724  proot1ex  43923  hashnzfzclim  45032  binomcxplemnotnn0  45066  nnne1ge2  46010  mccllem  46313  clim1fr1  46317  dvnxpaek  46656  dvnprodlem2  46661  wallispilem5  46783  wallispi2lem1  46785  stirlinglem1  46788  stirlinglem3  46790  stirlinglem4  46791  stirlinglem5  46792  stirlinglem7  46794  stirlinglem10  46797  stirlinglem12  46799  stirlinglem14  46801  stirlinglem15  46802  fouriersw  46945  vonioolem2  47395  vonicclem2  47398  sqrtnnaa  47604  mod0mul  48099  modn0mul  48100  modlt0b  48106  iccpartiltu  48171  divgcdoddALTV  48447  fpprwppr  48504  isubgr3stgrlem7  48737  gpg3kgrtriexlem5  48852  nnsgrpnmnd  48943  eluz2cnn0n1  49291  blennn  49355  nnpw2blen  49360  digvalnn0  49379  nn0digval  49380  dignn0fr  49381  dignn0ldlem  49382  dig0  49386