Theorem nnne0 12211

Description: A positive integer is nonzero. See nnne0ALT 12215 for a shorter proof using ax-pre-mulgt0 11115. This proof avoids 0lt1 11672, and thus ax-pre-mulgt0 11115, by splitting ax-1ne0 11107 into the two separate cases 0 < 1 and 1 < 0. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.) Remove dependency on ax-pre-mulgt0 11115. (Revised by Steven Nguyen, 30-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11107	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 11144	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11260	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		breq1 5088	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
7	6	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 1 < 0)))
8		breq1 5088	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
9	8	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝑦 < 0)))
10		breq1 5088	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
11	10	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
12		breq1 5088	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
13	12	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝐴 < 0)))
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → 1 < 0)
15		simp1 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12189	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
17		1red 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
18	16, 17	readdcld 11174	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19	3, 2	readdcli 11160	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) ∈ ℝ)
21		0red 11147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
22		simp3 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
23	16, 21, 17, 22	ltadd1dd 11761	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < (0 + 1))
24		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11334	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
26		simp2 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
27	25, 26	eqbrtrid 5120	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) < 0)
28	18, 20, 21, 23, 27	lttrd 11307	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
29	28	3exp 1120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 < 0 → (𝑦 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
30	29	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 < 0 → 𝑦 < 0) → (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
31	7, 9, 11, 13, 14, 30	nnind 12192	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 0 → 𝐴 < 0))
32	31	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 < 0)
33	32	lt0ne0d 11715	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
34		breq2 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
35	34	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 1)))
36		breq2 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
37	36	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝑦)))
38		breq2 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
39	38	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
40		breq2 5089	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
41	40	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝐴)))
42		id 22	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
43		simp1 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
44	43	nnred 12189	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
45		1red 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
46		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
47		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
48	44, 45, 46, 47	addgt0d 11725	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
49	48	3exp 1120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 < 1 → (0 < 𝑦 → 0 < (𝑦 + 1))))
50	49	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 < 1 → 0 < 𝑦) → (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
51	35, 37, 39, 41, 42, 50	nnind 12192	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 1 → 0 < 𝐴))
52	51	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 0 < 𝐴)
53	52	gt0ne0d 11714	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
54	33, 53	jaodan 960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → 𝐴 ≠ 0)
55	5, 54	mpan2 692	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2932   class class class wbr 5085  (class class class)co 7367  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11179  ℕcn 12174

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2708  ax-sep 5231  ax-nul 5241  ax-pow 5307  ax-pr 5375  ax-un 7689  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3062  df-reu 3343  df-rab 3390  df-v 3431  df-sbc 3729  df-csb 3838  df-dif 3892  df-un 3894  df-in 3896  df-ss 3906  df-pss 3909  df-nul 4274  df-if 4467  df-pw 4543  df-sn 4568  df-pr 4570  df-op 4574  df-uni 4851  df-iun 4935  df-br 5086  df-opab 5148  df-mpt 5167  df-tr 5193  df-id 5526  df-eprel 5531  df-po 5539  df-so 5540  df-fr 5584  df-we 5586  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-pred 6265  df-ord 6326  df-on 6327  df-lim 6328  df-suc 6329  df-iota 6454  df-fun 6500  df-fn 6501  df-f 6502  df-f1 6503  df-fo 6504  df-f1o 6505  df-fv 6506  df-ov 7370  df-om 7818  df-2nd 7943  df-frecs 8231  df-wrecs 8262  df-recs 8311  df-rdg 8349  df-er 8643  df-en 8894  df-dom 8895  df-sdom 8896  df-pnf 11181  df-mnf 11182  df-xr 11183  df-ltxr 11184  df-le 11185  df-nn 12175

This theorem is referenced by:  nnneneg  12212  0nnn  12213  nndivre  12218  nndiv  12223  nndivtr  12224  nnne0d  12227  zdiv  12599  zdivadd  12600  zdivmul  12601  elq  12900  qmulz  12901  qre  12903  qaddcl  12915  qnegcl  12916  qmulcl  12917  qreccl  12919  rpnnen1lem5  12931  nn0ledivnn  13057  fzo1fzo0n0  13670  quoremz  13814  quoremnn0ALT  13816  intfracq  13818  fldiv  13819  fldiv2  13820  modmulnn  13848  modsumfzodifsn  13906  expnnval  14026  expneg  14031  digit2  14198  facdiv  14249  facndiv  14250  bcm1k  14277  bcp1n  14278  bcval5  14280  hashnncl  14328  cshwidxmod  14765  relexpsucnnr  14987  divcnv  15818  harmonic  15824  expcnv  15829  ef0lem  16043  ruclem6  16202  sqrt2irr  16216  dvdsval3  16225  nndivdvds  16230  modmulconst  16257  dvdsdivcl  16285  dvdsflip  16286  divalg2  16374  divalgmod  16375  ndvdssub  16378  nndvdslegcd  16474  divgcdz  16480  divgcdnn  16484  modgcd  16501  gcddiv  16520  gcdzeq  16521  eucalgf  16552  eucalginv  16553  lcmgcdlem  16575  lcmftp  16605  qredeq  16626  qredeu  16627  cncongr1  16636  cncongr2  16637  isprm6  16684  divnumden  16718  divdenle  16719  phimullem  16749  hashgcdlem  16758  phisum  16761  prm23lt5  16785  pythagtriplem10  16791  pythagtriplem8  16794  pythagtriplem9  16795  pccl  16820  pcdiv  16823  pcqcl  16827  pcdvds  16835  pcndvds  16837  pcndvds2  16839  pceq0  16842  pcneg  16845  pcz  16852  pcmpt  16863  fldivp1  16868  pcfac  16870  oddprmdvds  16874  infpnlem2  16882  cshwshashlem1  17066  smndex1n0mnd  18883  mulgnn  19051  mulgnegnn  19060  mulgmodid  19089  oddvdsnn0  19519  odmulgeq  19532  gexnnod  19563  qsssubdrg  21406  prmirredlem  21452  znf1o  21531  znhash  21538  znidomb  21541  znunithash  21544  znrrg  21545  cply1coe0  22266  cply1coe0bi  22267  m2cpm  22706  m2cpminvid2lem  22719  fvmptnn04ifc  22817  vitali  25580  mbfi1fseqlem3  25684  dvexp2  25921  plyeq0lem  26175  abelthlem9  26405  logtayllem  26623  logtayl  26624  logtaylsum  26625  logtayl2  26626  cxpexp  26632  cxproot  26654  root1id  26718  root1eq1  26719  cxpeq  26721  logbgcd1irr  26758  atantayl  26901  atantayl2  26902  leibpilem2  26905  leibpi  26906  birthdaylem2  26916  birthdaylem3  26917  dfef2  26934  emcllem2  26960  emcllem3  26961  zetacvg  26978  lgam1  27027  basellem4  27047  basellem8  27051  basellem9  27052  mumullem2  27143  fsumdvdscom  27148  chtublem  27174  dchrelbas4  27206  bclbnd  27243  lgsval4a  27282  lgsabs1  27299  lgssq2  27301  dchrmusumlema  27456  dchrmusum2  27457  dchrvmasumiflem1  27464  dchrvmaeq0  27467  dchrisum0flblem1  27471  dchrisum0flblem2  27472  dchrisum0re  27476  ostthlem1  27590  ostth1  27596  pthdlem2lem  29835  wspthsnonn0vne  29985  clwwisshclwwslem  30084  ipasslem4  30905  ipasslem5  30906  divnumden2  32889  1fldgenq  33383  qqhval2  34126  qqhnm  34134  signstfveq0  34721  subfacp1lem6  35367  circum  35856  fz0n  35913  divcnvlin  35915  iprodgam  35924  faclim  35928  nndivsub  36639  poimirlem29  37970  poimirlem31  37972  poimirlem32  37973  heiborlem4  38135  heiborlem6  38137  nnproddivdvdsd  42439  pellexlem1  43257  congrep  43401  jm2.20nn  43425  proot1ex  43624  hashnzfzclim  44749  binomcxplemnotnn0  44783  nnne1ge2  45724  mccllem  46027  clim1fr1  46031  dvnxpaek  46370  dvnprodlem2  46375  wallispilem5  46497  wallispi2lem1  46499  stirlinglem1  46502  stirlinglem3  46504  stirlinglem4  46505  stirlinglem5  46506  stirlinglem7  46508  stirlinglem10  46511  stirlinglem12  46513  stirlinglem14  46515  stirlinglem15  46516  fouriersw  46659  vonioolem2  47109  vonicclem2  47112  mod0mul  47810  modn0mul  47811  modlt0b  47817  iccpartiltu  47882  divgcdoddALTV  48158  fpprwppr  48215  isubgr3stgrlem7  48448  gpg3kgrtriexlem5  48563  nnsgrpnmnd  48654  eluz2cnn0n1  48987  blennn  49051  nnpw2blen  49056  digvalnn0  49075  nn0digval  49076  dignn0fr  49077  dignn0ldlem  49078  dig0  49082