Theorem nnne0 12412

Description: A positive integer is nonzero. See nnne0ALT 12416 for a shorter proof using ax-pre-mulgt0 11316. This proof avoids 0lt1 11878, and thus ax-pre-mulgt0 11316, by splitting ax-1ne0 11308 into the two separate cases 0 < 1 and 1 < 0. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.) Remove dependency on ax-pre-mulgt0 11316. (Revised by Steven Nguyen, 30-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11308	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 11347	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11349	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11463	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		breq1 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
7	6	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 1 < 0)))
8		breq1 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
9	8	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝑦 < 0)))
10		breq1 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
11	10	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
12		breq1 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
13	12	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝐴 < 0)))
14		id 23	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → 1 < 0)
15		simp1 1154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12390	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
17		1red 11348	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
18	16, 17	readdcld 11377	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19	3, 2	readdcli 11363	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) ∈ ℝ)
21		0red 11350	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
22		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
23	16, 21, 17, 22	ltadd1dd 11967	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < (0 + 1))
24		ax-1cn 11297	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11537	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
26		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
27	25, 26	eqbrtrid 5146	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) < 0)
28	18, 20, 21, 23, 27	lttrd 11510	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
29	28	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 < 0 → (𝑦 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
30	29	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 < 0 → 𝑦 < 0) → (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
31	7, 9, 11, 13, 14, 30	nnind 12393	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 0 → 𝐴 < 0))
32	31	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 < 0)
33	32	lt0ne0d 11921	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
34		breq2 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
35	34	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 1)))
36		breq2 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
37	36	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝑦)))
38		breq2 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
39	38	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
40		breq2 5112	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
41	40	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝐴)))
42		id 23	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
43		simp1 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
44	43	nnred 12390	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
45		1red 11348	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
46		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
47		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
48	44, 45, 46, 47	addgt0d 11931	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
49	48	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 < 1 → (0 < 𝑦 → 0 < (𝑦 + 1))))
50	49	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 < 1 → 0 < 𝑦) → (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
51	35, 37, 39, 41, 42, 50	nnind 12393	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 1 → 0 < 𝐴))
52	51	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 0 < 𝐴)
53	52	gt0ne0d 11920	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
54	33, 53	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → 𝐴 ≠ 0)
55	5, 54	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2147   ≠ wne 2959   class class class wbr 5108  (class class class)co 7451  ℝcr 11238  0cc0 11239  1c1 11240   + caddc 11242   < clt 11382  ℕcn 12375

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1945  ax-6 2002  ax-7 2043  ax-8 2149  ax-9 2157  ax-10 2180  ax-11 2197  ax-12 2216  ax-ext 2735  ax-sep 5255  ax-nul 5266  ax-pow 5334  ax-pr 5398  ax-un 7783  ax-resscn 11296  ax-1cn 11297  ax-icn 11298  ax-addcl 11299  ax-addrcl 11300  ax-mulcl 11301  ax-mulrcl 11302  ax-mulcom 11303  ax-addass 11304  ax-mulass 11305  ax-distr 11306  ax-i2m1 11307  ax-1ne0 11308  ax-1rid 11309  ax-rnegex 11310  ax-rrecex 11311  ax-cnre 11312  ax-pre-lttri 11313  ax-pre-lttrn 11314  ax-pre-ltadd 11315

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2102  df-mo 2567  df-eu 2597  df-clab 2742  df-cleq 2755  df-clel 2839  df-nfc 2913  df-ne 2960  df-nel 3066  df-ral 3081  df-rex 3091  df-reu 3370  df-rab 3417  df-v 3456  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-ss 3901  df-pss 4017  df-dif 4050  df-in 4094  df-un 4154  df-nul 4282  df-if 4486  df-pw 4562  df-sn 4589  df-pr 4591  df-op 4841  df-uni 4873  df-iun 4958  df-br 5109  df-opab 5174  df-mpt 5193  df-tr 5219  df-id 5553  df-eprel 5558  df-po 5566  df-so 5567  df-fr 5611  df-we 5613  df-xp 5664  df-rel 5665  df-cnv 5666  df-co 5667  df-dm 5668  df-rn 5669  df-res 5670  df-ima 5671  df-pred 6330  df-ord 6391  df-on 6392  df-lim 6393  df-suc 6394  df-iota 6520  df-fun 6568  df-fn 6569  df-f 6570  df-f1 6571  df-fo 6572  df-f1o 6573  df-fv 6574  df-ov 7454  df-om 7912  df-2nd 8036  df-frecs 8337  df-wrecs 8368  df-recs 8417  df-rdg 8456  df-er 8755  df-en 9012  df-dom 9013  df-sdom 9014  df-pnf 11384  df-mnf 11385  df-xr 11386  df-ltxr 11387  df-le 11388  df-nn 12376

This theorem is used by:  nnneneg  12413  0nnn  12414  nndivre  12419  nndiv  12424  nndivtr  12425  nnne0d  12428  zdiv  12809  zdivadd  12810  zdivmul  12811  elq  13117  qmulz  13118  qre  13120  qaddcl  13133  qnegcl  13134  qmulcl  13135  qreccl  13137  rpnnen1lem5  13149  nn0ledivnn  13275  fzo1fzo0n0  13890  quoremz  14035  quoremnn0ALT  14037  intfracq  14039  fldiv  14040  fldiv2  14041  modmulnn  14069  modsumfzodifsn  14127  expnnval  14247  expneg  14252  digit2  14421  facdiv  14472  facndiv  14473  bcm1k  14500  bcp1n  14501  bcval5  14503  hashnncl  14551  cshwidxmod  14996  relexpsucnnr  15221  divcnv  16066  harmonic  16072  expcnv  16077  ef0lem  16288  ruclem6  16447  sqrt2irr  16461  dvdsval3  16470  nndivdvds  16475  modmulconst  16502  dvdsdivcl  16530  dvdsflip  16531  divalg2  16619  divalgmod  16620  ndvdssub  16623  nndvdslegcd  16719  divgcdz  16727  divgcdnn  16731  modgcd  16749  gcddiv  16768  gcdzeq  16769  eucalgf  16802  eucalginv  16803  lcmgcdlem  16825  lcmftp  16855  qredeq  16876  qredeu  16877  cncongr1  16886  cncongr2  16887  isprm6  16934  divnumden  16968  divdenle  16969  phimullem  17000  hashgcdlem  17009  phisum  17012  prm23lt5  17036  pythagtriplem10  17042  pythagtriplem8  17045  pythagtriplem9  17046  pccl  17071  pcdiv  17074  pcqcl  17078  pcdvds  17086  pcndvds  17088  pcndvds2  17090  pceq0  17093  pcneg  17096  pcz  17103  pcmpt  17114  fldivp1  17119  pcfac  17121  oddprmdvds  17125  infpnlem2  17133  cshwshashlem1  17317  smndex1n0mnd  19161  mulgnn  19335  mulgnegnn  19344  mulgmodid  19373  oddvdsnn0  19809  odmulgeq  19822  gexnnod  19853  qsssubdrg  21786  prmirredlem  21833  znf1o  21912  znhash  21919  znidomb  21922  znunithash  21925  znrrg  21926  cply1coe0  22674  cply1coe0bi  22675  m2cpm  23114  m2cpminvid2lem  23127  fvmptnn04ifc  23225  vitali  25989  mbfi1fseqlem3  26093  dvexp2  26329  plyeq0lem  26584  abelthlem9  26824  logtayllem  27044  logtayl  27045  logtaylsum  27046  logtayl2  27047  cxpexp  27053  cxproot  27075  root1id  27139  root1eq1  27140  cxpeq  27142  logbgcd1irr  27179  atantayl  27322  atantayl2  27323  leibpilem2  27326  leibpi  27327  birthdaylem2  27337  birthdaylem3  27338  dfef2  27355  emcllem2  27381  emcllem3  27382  zetacvg  27399  lgam1  27448  basellem4  27468  basellem8  27472  basellem9  27473  mumullem2  27564  fsumdvdscom  27569  chtublem  27595  dchrelbas4  27627  bclbnd  27664  lgsval4a  27703  lgsabs1  27720  lgssq2  27722  dchrmusumlema  27877  dchrmusum2  27878  dchrvmasumiflem1  27885  dchrvmaeq0  27888  dchrisum0flblem1  27892  dchrisum0flblem2  27893  dchrisum0re  27897  ostthlem1  28011  ostth1  28017  pthdlem2lem  30410  wspthsnonn0vne  30563  clwwisshclwwslem  30662  ipasslem4  31493  ipasslem5  31494  divnumden2  33503  1fldgenq  33988  qqhval2  34725  qqhnm  34733  signstfveq0  35317  subfacp1lem6  36158  circum  36647  fz0n  36711  divcnvlin  36713  iprodgam  36722  faclim  36726  nndivsub  37460  poimirlem29  38835  poimirlem31  38837  poimirlem32  38838  heiborlem4  39014  heiborlem6  39016  nnproddivdvdsd  43316  pellexlem1  44102  congrep  44246  jm2.20nn  44270  proot1ex  44459  hashnzfzclim  45567  binomcxplemnotnn0  45601  nnne1ge2  46580  mccllem  46882  clim1fr1  46886  dvnxpaek  47225  dvnprodlem2  47230  wallispilem5  47352  wallispi2lem1  47354  stirlinglem1  47357  stirlinglem3  47359  stirlinglem4  47360  stirlinglem5  47361  stirlinglem7  47363  stirlinglem10  47366  stirlinglem12  47368  stirlinglem14  47370  stirlinglem15  47371  fouriersw  47514  vonioolem2  47964  vonicclem2  47967  sqrtnnaa  48186  mod0mul  48705  modn0mul  48706  modlt0b  48712  iccpartiltu  48777  divgcdoddALTV  49053  fpprwppr  49110  isubgr3stgrlem7  49343  gpg3kgrtriexlem5  49458  nnsgrpnmnd  49548  brucn  49746  bruval2  49747  bruval3  49748  eluz2cnn0n1  49954  blennn  50018  nnpw2blen  50023  digvalnn0  50042  nn0digval  50043  dignn0fr  50044  dignn0ldlem  50045  dig0  50049