Theorem nnne0 11937

Description: A positive integer is nonzero. See nnne0ALT 11941 for a shorter proof using ax-pre-mulgt0 10879. This proof avoids 0lt1 11427, and thus ax-pre-mulgt0 10879, by splitting ax-1ne0 10871 into the two separate cases 0 < 1 and 1 < 0. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.) Remove dependency on ax-pre-mulgt0 10879. (Revised by Steven Nguyen, 30-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 10871	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 10906	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 10908	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11019	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 229	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
7	6	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 1 < 0)))
8		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
9	8	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝑦 < 0)))
10		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
11	10	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
12		breq1 5073	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
13	12	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝐴 < 0)))
14		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (1 < 0 → 1 < 0)
15		simp1 1134	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℕ)
16	15	nnred 11918	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
17		1red 10907	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
18	16, 17	readdcld 10935	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19	3, 2	readdcli 10921	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) ∈ ℝ)
21		0red 10909	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
22		simp3 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
23	16, 21, 17, 22	ltadd1dd 11516	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < (0 + 1))
24		ax-1cn 10860	. . . . . . . . . . . 12 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24	addid2i 11093	. . . . . . . . . . 11 ⊢ (0 + 1) = 1
26		simp2 1135	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
27	25, 26	eqbrtrid 5105	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) < 0)
28	18, 20, 21, 23, 27	lttrd 11066	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
29	28	3exp 1117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 < 0 → (𝑦 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
30	29	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 < 0 → 𝑦 < 0) → (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
31	7, 9, 11, 13, 14, 30	nnind 11921	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 0 → 𝐴 < 0))
32	31	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 < 0)
33	32	lt0ne0d 11470	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
34	33	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 0 → 𝐴 ≠ 0))
35		breq2 5074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
36	35	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 1)))
37		breq2 5074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
38	37	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝑦)))
39		breq2 5074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
40	39	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
41		breq2 5074	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
42	41	imbi2d 340	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝐴)))
43		id 22	. . . . . . 7 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
44		simp1 1134	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
45	44	nnred 11918	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
46		1red 10907	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
47		simp3 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
48		simp2 1135	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
49	45, 46, 47, 48	addgt0d 11480	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
50	49	3exp 1117	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 < 1 → (0 < 𝑦 → 0 < (𝑦 + 1))))
51	50	a2d 29	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 < 1 → 0 < 𝑦) → (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
52	36, 38, 40, 42, 43, 51	nnind 11921	. . . . . 6 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 1 → 0 < 𝐴))
53	52	imp 406	. . . . 5 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 0 < 𝐴)
54	53	gt0ne0d 11469	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
55	54	ex 412	. . 3 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 1 → 𝐴 ≠ 0))
56	34, 55	jaod 855	. 2 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → ((1 < 0 ∨ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0))
57	5, 56	mpi 20	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 843   ∧ w3a 1085   = wceq 1539   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2942   class class class wbr 5070  (class class class)co 7255  ℝcr 10801  0cc0 10802  1c1 10803   + caddc 10805   < clt 10940  ℕcn 11903

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1799  ax-4 1813  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2139  ax-11 2156  ax-12 2173  ax-ext 2709  ax-sep 5218  ax-nul 5225  ax-pow 5283  ax-pr 5347  ax-un 7566  ax-resscn 10859  ax-1cn 10860  ax-icn 10861  ax-addcl 10862  ax-addrcl 10863  ax-mulcl 10864  ax-mulrcl 10865  ax-mulcom 10866  ax-addass 10867  ax-mulass 10868  ax-distr 10869  ax-i2m1 10870  ax-1ne0 10871  ax-1rid 10872  ax-rnegex 10873  ax-rrecex 10874  ax-cnre 10875  ax-pre-lttri 10876  ax-pre-lttrn 10877  ax-pre-ltadd 10878

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 396  df-or 844  df-3or 1086  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1784  df-nf 1788  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2716  df-cleq 2730  df-clel 2817  df-nfc 2888  df-ne 2943  df-nel 3049  df-ral 3068  df-rex 3069  df-reu 3070  df-rab 3072  df-v 3424  df-sbc 3712  df-csb 3829  df-dif 3886  df-un 3888  df-in 3890  df-ss 3900  df-pss 3902  df-nul 4254  df-if 4457  df-pw 4532  df-sn 4559  df-pr 4561  df-tp 4563  df-op 4565  df-uni 4837  df-iun 4923  df-br 5071  df-opab 5133  df-mpt 5154  df-tr 5188  df-id 5480  df-eprel 5486  df-po 5494  df-so 5495  df-fr 5535  df-we 5537  df-xp 5586  df-rel 5587  df-cnv 5588  df-co 5589  df-dm 5590  df-rn 5591  df-res 5592  df-ima 5593  df-pred 6191  df-ord 6254  df-on 6255  df-lim 6256  df-suc 6257  df-iota 6376  df-fun 6420  df-fn 6421  df-f 6422  df-f1 6423  df-fo 6424  df-f1o 6425  df-fv 6426  df-ov 7258  df-om 7688  df-2nd 7805  df-frecs 8068  df-wrecs 8099  df-recs 8173  df-rdg 8212  df-er 8456  df-en 8692  df-dom 8693  df-sdom 8694  df-pnf 10942  df-mnf 10943  df-xr 10944  df-ltxr 10945  df-le 10946  df-nn 11904

This theorem is referenced by:  nnneneg  11938  0nnn  11939  nndivre  11944  nndiv  11949  nndivtr  11950  nnne0d  11953  zdiv  12320  zdivadd  12321  zdivmul  12322  elq  12619  qmulz  12620  qre  12622  qaddcl  12634  qnegcl  12635  qmulcl  12636  qreccl  12638  rpnnen1lem5  12650  nn0ledivnn  12772  fzo1fzo0n0  13366  quoremz  13503  quoremnn0ALT  13505  intfracq  13507  fldiv  13508  fldiv2  13509  modmulnn  13537  modsumfzodifsn  13592  expnnval  13713  expneg  13718  digit2  13879  facdiv  13929  facndiv  13930  bcm1k  13957  bcp1n  13958  bcval5  13960  hashnncl  14009  cshwidxmod  14444  relexpsucnnr  14664  divcnv  15493  harmonic  15499  expcnv  15504  ef0lem  15716  ruclem6  15872  sqrt2irr  15886  dvdsval3  15895  nndivdvds  15900  modmulconst  15925  dvdsdivcl  15953  dvdsflip  15954  divalg2  16042  divalgmod  16043  ndvdssub  16046  nndvdslegcd  16140  divgcdz  16146  divgcdnn  16150  modgcd  16168  gcddiv  16187  gcdzeq  16190  eucalgf  16216  eucalginv  16217  lcmgcdlem  16239  lcmftp  16269  qredeq  16290  qredeu  16291  cncongr1  16300  cncongr2  16301  isprm6  16347  divnumden  16380  divdenle  16381  phimullem  16408  hashgcdlem  16417  phisum  16419  prm23lt5  16443  pythagtriplem10  16449  pythagtriplem8  16452  pythagtriplem9  16453  pccl  16478  pcdiv  16481  pcqcl  16485  pcdvds  16493  pcndvds  16495  pcndvds2  16497  pceq0  16500  pcneg  16503  pcz  16510  pcmpt  16521  fldivp1  16526  pcfac  16528  oddprmdvds  16532  infpnlem2  16540  cshwshashlem1  16725  smndex1n0mnd  18466  mulgnn  18623  mulgnegnn  18629  mulgmodid  18657  oddvdsnn0  19067  odmulgeq  19079  gexnnod  19108  qsssubdrg  20569  prmirredlem  20606  znf1o  20671  znhash  20678  znidomb  20681  znunithash  20684  znrrg  20685  cply1coe0  21380  cply1coe0bi  21381  m2cpm  21798  m2cpminvid2lem  21811  fvmptnn04ifc  21909  vitali  24682  mbfi1fseqlem3  24787  dvexp2  25023  plyeq0lem  25276  abelthlem9  25504  logtayllem  25719  logtayl  25720  logtaylsum  25721  logtayl2  25722  cxpexp  25728  cxproot  25750  root1id  25812  root1eq1  25813  cxpeq  25815  logbgcd1irr  25849  atantayl  25992  atantayl2  25993  leibpilem2  25996  leibpi  25997  birthdaylem2  26007  birthdaylem3  26008  dfef2  26025  emcllem2  26051  emcllem3  26052  zetacvg  26069  lgam1  26118  basellem4  26138  basellem8  26142  basellem9  26143  mumullem2  26234  fsumdvdscom  26239  chtublem  26264  dchrelbas4  26296  bclbnd  26333  lgsval4a  26372  lgsabs1  26389  lgssq2  26391  dchrmusumlema  26546  dchrmusum2  26547  dchrvmasumiflem1  26554  dchrvmaeq0  26557  dchrisum0flblem1  26561  dchrisum0flblem2  26562  dchrisum0re  26566  ostthlem1  26680  ostth1  26686  pthdlem2lem  28036  wspthsnonn0vne  28183  clwwisshclwwslem  28279  ipasslem4  29097  ipasslem5  29098  divnumden2  31034  qqhval2  31832  qqhnm  31840  signstfveq0  32456  subfacp1lem6  33047  circum  33532  fz0n  33602  divcnvlin  33604  iprodgam  33614  faclim  33618  nndivsub  34573  poimirlem29  35733  poimirlem31  35735  poimirlem32  35736  heiborlem4  35899  heiborlem6  35901  nnproddivdvdsd  39937  pellexlem1  40567  congrep  40711  jm2.20nn  40735  proot1ex  40942  hashnzfzclim  41829  binomcxplemnotnn0  41863  nnne1ge2  42720  mccllem  43028  clim1fr1  43032  dvnxpaek  43373  dvnprodlem2  43378  wallispilem5  43500  wallispi2lem1  43502  stirlinglem1  43505  stirlinglem3  43507  stirlinglem4  43508  stirlinglem5  43509  stirlinglem7  43511  stirlinglem10  43514  stirlinglem12  43516  stirlinglem14  43518  stirlinglem15  43519  fouriersw  43662  vonioolem2  44109  vonicclem2  44112  iccpartiltu  44762  divgcdoddALTV  45022  fpprwppr  45079  nnsgrpnmnd  45260  eluz2cnn0n1  45740  mod0mul  45753  modn0mul  45754  blennn  45809  nnpw2blen  45814  digvalnn0  45833  nn0digval  45834  dignn0fr  45835  dignn0ldlem  45836  dig0  45840