Theorem nnne0 12220

Description: A positive integer is nonzero. See nnne0ALT 12224 for a shorter proof using ax-pre-mulgt0 11145. This proof avoids 0lt1 11700, and thus ax-pre-mulgt0 11145, by splitting ax-1ne0 11137 into the two separate cases 0 < 1 and 1 < 0. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.) Remove dependency on ax-pre-mulgt0 11145. (Revised by Steven Nguyen, 30-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11137	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 11174	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11176	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11288	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		breq1 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
7	6	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 1 < 0)))
8		breq1 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
9	8	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝑦 < 0)))
10		breq1 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
11	10	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
12		breq1 5110	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
13	12	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝐴 < 0)))
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → 1 < 0)
15		simp1 1136	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12201	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
17		1red 11175	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
18	16, 17	readdcld 11203	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19	3, 2	readdcli 11189	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) ∈ ℝ)
21		0red 11177	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
22		simp3 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
23	16, 21, 17, 22	ltadd1dd 11789	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < (0 + 1))
24		ax-1cn 11126	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11362	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
26		simp2 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
27	25, 26	eqbrtrid 5142	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) < 0)
28	18, 20, 21, 23, 27	lttrd 11335	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
29	28	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 < 0 → (𝑦 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
30	29	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 < 0 → 𝑦 < 0) → (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
31	7, 9, 11, 13, 14, 30	nnind 12204	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 0 → 𝐴 < 0))
32	31	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 < 0)
33	32	lt0ne0d 11743	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
34		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
35	34	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 1)))
36		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
37	36	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝑦)))
38		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
39	38	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
40		breq2 5111	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
41	40	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝐴)))
42		id 22	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
43		simp1 1136	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
44	43	nnred 12201	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
45		1red 11175	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
46		simp3 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
47		simp2 1137	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
48	44, 45, 46, 47	addgt0d 11753	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
49	48	3exp 1119	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 < 1 → (0 < 𝑦 → 0 < (𝑦 + 1))))
50	49	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 < 1 → 0 < 𝑦) → (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
51	35, 37, 39, 41, 42, 50	nnind 12204	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 1 → 0 < 𝐴))
52	51	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 0 < 𝐴)
53	52	gt0ne0d 11742	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
54	33, 53	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → 𝐴 ≠ 0)
55	5, 54	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ≠ wne 2925   class class class wbr 5107  (class class class)co 7387  ℝcr 11067  0cc0 11068  1c1 11069   + caddc 11071   < clt 11208  ℕcn 12186

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-sep 5251  ax-nul 5261  ax-pow 5320  ax-pr 5387  ax-un 7711  ax-resscn 11125  ax-1cn 11126  ax-icn 11127  ax-addcl 11128  ax-addrcl 11129  ax-mulcl 11130  ax-mulrcl 11131  ax-mulcom 11132  ax-addass 11133  ax-mulass 11134  ax-distr 11135  ax-i2m1 11136  ax-1ne0 11137  ax-1rid 11138  ax-rnegex 11139  ax-rrecex 11140  ax-cnre 11141  ax-pre-lttri 11142  ax-pre-lttrn 11143  ax-pre-ltadd 11144

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-nel 3030  df-ral 3045  df-rex 3054  df-reu 3355  df-rab 3406  df-v 3449  df-sbc 3754  df-csb 3863  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-pss 3934  df-nul 4297  df-if 4489  df-pw 4565  df-sn 4590  df-pr 4592  df-op 4596  df-uni 4872  df-iun 4957  df-br 5108  df-opab 5170  df-mpt 5189  df-tr 5215  df-id 5533  df-eprel 5538  df-po 5546  df-so 5547  df-fr 5591  df-we 5593  df-xp 5644  df-rel 5645  df-cnv 5646  df-co 5647  df-dm 5648  df-rn 5649  df-res 5650  df-ima 5651  df-pred 6274  df-ord 6335  df-on 6336  df-lim 6337  df-suc 6338  df-iota 6464  df-fun 6513  df-fn 6514  df-f 6515  df-f1 6516  df-fo 6517  df-f1o 6518  df-fv 6519  df-ov 7390  df-om 7843  df-2nd 7969  df-frecs 8260  df-wrecs 8291  df-recs 8340  df-rdg 8378  df-er 8671  df-en 8919  df-dom 8920  df-sdom 8921  df-pnf 11210  df-mnf 11211  df-xr 11212  df-ltxr 11213  df-le 11214  df-nn 12187

This theorem is referenced by:  nnneneg  12221  0nnn  12222  nndivre  12227  nndiv  12232  nndivtr  12233  nnne0d  12236  zdiv  12604  zdivadd  12605  zdivmul  12606  elq  12909  qmulz  12910  qre  12912  qaddcl  12924  qnegcl  12925  qmulcl  12926  qreccl  12928  rpnnen1lem5  12940  nn0ledivnn  13066  fzo1fzo0n0  13676  quoremz  13817  quoremnn0ALT  13819  intfracq  13821  fldiv  13822  fldiv2  13823  modmulnn  13851  modsumfzodifsn  13909  expnnval  14029  expneg  14034  digit2  14201  facdiv  14252  facndiv  14253  bcm1k  14280  bcp1n  14281  bcval5  14283  hashnncl  14331  cshwidxmod  14768  relexpsucnnr  14991  divcnv  15819  harmonic  15825  expcnv  15830  ef0lem  16044  ruclem6  16203  sqrt2irr  16217  dvdsval3  16226  nndivdvds  16231  modmulconst  16258  dvdsdivcl  16286  dvdsflip  16287  divalg2  16375  divalgmod  16376  ndvdssub  16379  nndvdslegcd  16475  divgcdz  16481  divgcdnn  16485  modgcd  16502  gcddiv  16521  gcdzeq  16522  eucalgf  16553  eucalginv  16554  lcmgcdlem  16576  lcmftp  16606  qredeq  16627  qredeu  16628  cncongr1  16637  cncongr2  16638  isprm6  16684  divnumden  16718  divdenle  16719  phimullem  16749  hashgcdlem  16758  phisum  16761  prm23lt5  16785  pythagtriplem10  16791  pythagtriplem8  16794  pythagtriplem9  16795  pccl  16820  pcdiv  16823  pcqcl  16827  pcdvds  16835  pcndvds  16837  pcndvds2  16839  pceq0  16842  pcneg  16845  pcz  16852  pcmpt  16863  fldivp1  16868  pcfac  16870  oddprmdvds  16874  infpnlem2  16882  cshwshashlem1  17066  smndex1n0mnd  18839  mulgnn  19007  mulgnegnn  19016  mulgmodid  19045  oddvdsnn0  19474  odmulgeq  19487  gexnnod  19518  qsssubdrg  21343  prmirredlem  21382  znf1o  21461  znhash  21468  znidomb  21471  znunithash  21474  znrrg  21475  cply1coe0  22188  cply1coe0bi  22189  m2cpm  22628  m2cpminvid2lem  22641  fvmptnn04ifc  22739  vitali  25514  mbfi1fseqlem3  25618  dvexp2  25858  plyeq0lem  26115  abelthlem9  26350  logtayllem  26568  logtayl  26569  logtaylsum  26570  logtayl2  26571  cxpexp  26577  cxproot  26599  root1id  26664  root1eq1  26665  cxpeq  26667  logbgcd1irr  26704  atantayl  26847  atantayl2  26848  leibpilem2  26851  leibpi  26852  birthdaylem2  26862  birthdaylem3  26863  dfef2  26881  emcllem2  26907  emcllem3  26908  zetacvg  26925  lgam1  26974  basellem4  26994  basellem8  26998  basellem9  26999  mumullem2  27090  fsumdvdscom  27095  chtublem  27122  dchrelbas4  27154  bclbnd  27191  lgsval4a  27230  lgsabs1  27247  lgssq2  27249  dchrmusumlema  27404  dchrmusum2  27405  dchrvmasumiflem1  27412  dchrvmaeq0  27415  dchrisum0flblem1  27419  dchrisum0flblem2  27420  dchrisum0re  27424  ostthlem1  27538  ostth1  27544  pthdlem2lem  29697  wspthsnonn0vne  29847  clwwisshclwwslem  29943  ipasslem4  30763  ipasslem5  30764  divnumden2  32740  1fldgenq  33272  qqhval2  33972  qqhnm  33980  signstfveq0  34568  subfacp1lem6  35172  circum  35661  fz0n  35718  divcnvlin  35720  iprodgam  35729  faclim  35733  nndivsub  36445  poimirlem29  37643  poimirlem31  37645  poimirlem32  37646  heiborlem4  37808  heiborlem6  37810  nnproddivdvdsd  41988  pellexlem1  42817  congrep  42962  jm2.20nn  42986  proot1ex  43185  hashnzfzclim  44311  binomcxplemnotnn0  44345  nnne1ge2  45289  mccllem  45595  clim1fr1  45599  dvnxpaek  45940  dvnprodlem2  45945  wallispilem5  46067  wallispi2lem1  46069  stirlinglem1  46072  stirlinglem3  46074  stirlinglem4  46075  stirlinglem5  46076  stirlinglem7  46078  stirlinglem10  46081  stirlinglem12  46083  stirlinglem14  46085  stirlinglem15  46086  fouriersw  46229  vonioolem2  46679  vonicclem2  46682  mod0mul  47357  modn0mul  47358  modlt0b  47364  iccpartiltu  47423  divgcdoddALTV  47683  fpprwppr  47740  isubgr3stgrlem7  47971  gpg3kgrtriexlem5  48078  nnsgrpnmnd  48166  eluz2cnn0n1  48500  blennn  48564  nnpw2blen  48569  digvalnn0  48588  nn0digval  48589  dignn0fr  48590  dignn0ldlem  48591  dig0  48595