Theorem nnne0 12191

Description: A positive integer is nonzero. See nnne0ALT 12195 for a shorter proof using ax-pre-mulgt0 11115. This proof avoids 0lt1 11671, and thus ax-pre-mulgt0 11115, by splitting ax-1ne0 11107 into the two separate cases 0 < 1 and 1 < 0. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.) Remove dependency on ax-pre-mulgt0 11115. (Revised by Steven Nguyen, 30-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11107	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 11144	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11146	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11259	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		breq1 5103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
7	6	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 1 < 0)))
8		breq1 5103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
9	8	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝑦 < 0)))
10		breq1 5103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
11	10	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
12		breq1 5103	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
13	12	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝐴 < 0)))
14		id 22	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → 1 < 0)
15		simp1 1137	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12172	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
17		1red 11145	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
18	16, 17	readdcld 11173	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19	3, 2	readdcli 11159	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) ∈ ℝ)
21		0red 11147	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
22		simp3 1139	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
23	16, 21, 17, 22	ltadd1dd 11760	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < (0 + 1))
24		ax-1cn 11096	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11333	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
26		simp2 1138	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
27	25, 26	eqbrtrid 5135	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) < 0)
28	18, 20, 21, 23, 27	lttrd 11306	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
29	28	3exp 1120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 < 0 → (𝑦 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
30	29	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 < 0 → 𝑦 < 0) → (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
31	7, 9, 11, 13, 14, 30	nnind 12175	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 0 → 𝐴 < 0))
32	31	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 < 0)
33	32	lt0ne0d 11714	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
34		breq2 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
35	34	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 1)))
36		breq2 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
37	36	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝑦)))
38		breq2 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
39	38	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
40		breq2 5104	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
41	40	imbi2d 340	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝐴)))
42		id 22	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
43		simp1 1137	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
44	43	nnred 12172	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
45		1red 11145	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
46		simp3 1139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
47		simp2 1138	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
48	44, 45, 46, 47	addgt0d 11724	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
49	48	3exp 1120	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 < 1 → (0 < 𝑦 → 0 < (𝑦 + 1))))
50	49	a2d 29	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 < 1 → 0 < 𝑦) → (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
51	35, 37, 39, 41, 42, 50	nnind 12175	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 1 → 0 < 𝐴))
52	51	imp 406	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 0 < 𝐴)
53	52	gt0ne0d 11713	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
54	33, 53	jaodan 960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → 𝐴 ≠ 0)
55	5, 54	mpan2 692	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∧ w3a 1087   = wceq 1542   ∈ wcel 2114   ≠ wne 2933   class class class wbr 5100  (class class class)co 7368  ℝcr 11037  0cc0 11038  1c1 11039   + caddc 11041   < clt 11178  ℕcn 12157

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1969  ax-7 2010  ax-8 2116  ax-9 2124  ax-10 2147  ax-11 2163  ax-12 2185  ax-ext 2709  ax-sep 5243  ax-nul 5253  ax-pow 5312  ax-pr 5379  ax-un 7690  ax-resscn 11095  ax-1cn 11096  ax-icn 11097  ax-addcl 11098  ax-addrcl 11099  ax-mulcl 11100  ax-mulrcl 11101  ax-mulcom 11102  ax-addass 11103  ax-mulass 11104  ax-distr 11105  ax-i2m1 11106  ax-1ne0 11107  ax-1rid 11108  ax-rnegex 11109  ax-rrecex 11110  ax-cnre 11111  ax-pre-lttri 11112  ax-pre-lttrn 11113  ax-pre-ltadd 11114

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2069  df-mo 2540  df-eu 2570  df-clab 2716  df-cleq 2729  df-clel 2812  df-nfc 2886  df-ne 2934  df-nel 3038  df-ral 3053  df-rex 3063  df-reu 3353  df-rab 3402  df-v 3444  df-sbc 3743  df-csb 3852  df-dif 3906  df-un 3908  df-in 3910  df-ss 3920  df-pss 3923  df-nul 4288  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4950  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5527  df-eprel 5532  df-po 5540  df-so 5541  df-fr 5585  df-we 5587  df-xp 5638  df-rel 5639  df-cnv 5640  df-co 5641  df-dm 5642  df-rn 5643  df-res 5644  df-ima 5645  df-pred 6267  df-ord 6328  df-on 6329  df-lim 6330  df-suc 6331  df-iota 6456  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-f1 6505  df-fo 6506  df-f1o 6507  df-fv 6508  df-ov 7371  df-om 7819  df-2nd 7944  df-frecs 8233  df-wrecs 8264  df-recs 8313  df-rdg 8351  df-er 8645  df-en 8896  df-dom 8897  df-sdom 8898  df-pnf 11180  df-mnf 11181  df-xr 11182  df-ltxr 11183  df-le 11184  df-nn 12158

This theorem is referenced by:  nnneneg  12192  0nnn  12193  nndivre  12198  nndiv  12203  nndivtr  12204  nnne0d  12207  zdiv  12574  zdivadd  12575  zdivmul  12576  elq  12875  qmulz  12876  qre  12878  qaddcl  12890  qnegcl  12891  qmulcl  12892  qreccl  12894  rpnnen1lem5  12906  nn0ledivnn  13032  fzo1fzo0n0  13643  quoremz  13787  quoremnn0ALT  13789  intfracq  13791  fldiv  13792  fldiv2  13793  modmulnn  13821  modsumfzodifsn  13879  expnnval  13999  expneg  14004  digit2  14171  facdiv  14222  facndiv  14223  bcm1k  14250  bcp1n  14251  bcval5  14253  hashnncl  14301  cshwidxmod  14738  relexpsucnnr  14960  divcnv  15788  harmonic  15794  expcnv  15799  ef0lem  16013  ruclem6  16172  sqrt2irr  16186  dvdsval3  16195  nndivdvds  16200  modmulconst  16227  dvdsdivcl  16255  dvdsflip  16256  divalg2  16344  divalgmod  16345  ndvdssub  16348  nndvdslegcd  16444  divgcdz  16450  divgcdnn  16454  modgcd  16471  gcddiv  16490  gcdzeq  16491  eucalgf  16522  eucalginv  16523  lcmgcdlem  16545  lcmftp  16575  qredeq  16596  qredeu  16597  cncongr1  16606  cncongr2  16607  isprm6  16653  divnumden  16687  divdenle  16688  phimullem  16718  hashgcdlem  16727  phisum  16730  prm23lt5  16754  pythagtriplem10  16760  pythagtriplem8  16763  pythagtriplem9  16764  pccl  16789  pcdiv  16792  pcqcl  16796  pcdvds  16804  pcndvds  16806  pcndvds2  16808  pceq0  16811  pcneg  16814  pcz  16821  pcmpt  16832  fldivp1  16837  pcfac  16839  oddprmdvds  16843  infpnlem2  16851  cshwshashlem1  17035  smndex1n0mnd  18849  mulgnn  19017  mulgnegnn  19026  mulgmodid  19055  oddvdsnn0  19485  odmulgeq  19498  gexnnod  19529  qsssubdrg  21393  prmirredlem  21439  znf1o  21518  znhash  21525  znidomb  21528  znunithash  21531  znrrg  21532  cply1coe0  22257  cply1coe0bi  22258  m2cpm  22697  m2cpminvid2lem  22710  fvmptnn04ifc  22808  vitali  25582  mbfi1fseqlem3  25686  dvexp2  25926  plyeq0lem  26183  abelthlem9  26418  logtayllem  26636  logtayl  26637  logtaylsum  26638  logtayl2  26639  cxpexp  26645  cxproot  26667  root1id  26732  root1eq1  26733  cxpeq  26735  logbgcd1irr  26772  atantayl  26915  atantayl2  26916  leibpilem2  26919  leibpi  26920  birthdaylem2  26930  birthdaylem3  26931  dfef2  26949  emcllem2  26975  emcllem3  26976  zetacvg  26993  lgam1  27042  basellem4  27062  basellem8  27066  basellem9  27067  mumullem2  27158  fsumdvdscom  27163  chtublem  27190  dchrelbas4  27222  bclbnd  27259  lgsval4a  27298  lgsabs1  27315  lgssq2  27317  dchrmusumlema  27472  dchrmusum2  27473  dchrvmasumiflem1  27480  dchrvmaeq0  27483  dchrisum0flblem1  27487  dchrisum0flblem2  27488  dchrisum0re  27492  ostthlem1  27606  ostth1  27612  pthdlem2lem  29852  wspthsnonn0vne  30002  clwwisshclwwslem  30101  ipasslem4  30922  ipasslem5  30923  divnumden2  32907  1fldgenq  33416  qqhval2  34160  qqhnm  34168  signstfveq0  34755  subfacp1lem6  35401  circum  35890  fz0n  35947  divcnvlin  35949  iprodgam  35958  faclim  35962  nndivsub  36673  poimirlem29  37900  poimirlem31  37902  poimirlem32  37903  heiborlem4  38065  heiborlem6  38067  nnproddivdvdsd  42370  pellexlem1  43186  congrep  43330  jm2.20nn  43354  proot1ex  43553  hashnzfzclim  44678  binomcxplemnotnn0  44712  nnne1ge2  45653  mccllem  45957  clim1fr1  45961  dvnxpaek  46300  dvnprodlem2  46305  wallispilem5  46427  wallispi2lem1  46429  stirlinglem1  46432  stirlinglem3  46434  stirlinglem4  46435  stirlinglem5  46436  stirlinglem7  46438  stirlinglem10  46441  stirlinglem12  46443  stirlinglem14  46445  stirlinglem15  46446  fouriersw  46589  vonioolem2  47039  vonicclem2  47042  mod0mul  47716  modn0mul  47717  modlt0b  47723  iccpartiltu  47782  divgcdoddALTV  48042  fpprwppr  48099  isubgr3stgrlem7  48332  gpg3kgrtriexlem5  48447  nnsgrpnmnd  48538  eluz2cnn0n1  48871  blennn  48935  nnpw2blen  48940  digvalnn0  48959  nn0digval  48960  dignn0fr  48961  dignn0ldlem  48962  dig0  48966