Theorem nnne0 12365

Description: A positive integer is nonzero. See nnne0ALT 12369 for a shorter proof using ax-pre-mulgt0 11270. This proof avoids 0lt1 11831, and thus ax-pre-mulgt0 11270, by splitting ax-1ne0 11262 into the two separate cases 0 < 1 and 1 < 0. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.) Remove dependency on ax-pre-mulgt0 11270. (Revised by Steven Nguyen, 30-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11262	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 11301	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11303	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11417	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
7	6	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 1 < 0)))
8		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
9	8	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝑦 < 0)))
10		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
11	10	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
12		breq1 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
13	12	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝐴 < 0)))
14		id 23	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → 1 < 0)
15		simp1 1154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12343	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
17		1red 11302	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
18	16, 17	readdcld 11331	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19	3, 2	readdcli 11317	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) ∈ ℝ)
21		0red 11304	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
22		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
23	16, 21, 17, 22	ltadd1dd 11920	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < (0 + 1))
24		ax-1cn 11251	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11491	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
26		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
27	25, 26	eqbrtrid 5140	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) < 0)
28	18, 20, 21, 23, 27	lttrd 11464	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
29	28	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 < 0 → (𝑦 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
30	29	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 < 0 → 𝑦 < 0) → (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
31	7, 9, 11, 13, 14, 30	nnind 12346	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 0 → 𝐴 < 0))
32	31	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 < 0)
33	32	lt0ne0d 11874	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
34		breq2 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
35	34	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 1)))
36		breq2 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
37	36	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝑦)))
38		breq2 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
39	38	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
40		breq2 5107	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
41	40	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝐴)))
42		id 23	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
43		simp1 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
44	43	nnred 12343	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
45		1red 11302	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
46		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
47		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
48	44, 45, 46, 47	addgt0d 11884	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
49	48	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 < 1 → (0 < 𝑦 → 0 < (𝑦 + 1))))
50	49	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 < 1 → 0 < 𝑦) → (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
51	35, 37, 39, 41, 42, 50	nnind 12346	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 1 → 0 < 𝐴))
52	51	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 0 < 𝐴)
53	52	gt0ne0d 11873	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
54	33, 53	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → 𝐴 ≠ 0)
55	5, 54	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1570   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  (class class class)co 7418  ℝcr 11192  0cc0 11193  1c1 11194   + caddc 11196   < clt 11336  ℕcn 12328

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7749  ax-resscn 11250  ax-1cn 11251  ax-icn 11252  ax-addcl 11253  ax-addrcl 11254  ax-mulcl 11255  ax-mulrcl 11256  ax-mulcom 11257  ax-addass 11258  ax-mulass 11259  ax-distr 11260  ax-i2m1 11261  ax-1ne0 11262  ax-1rid 11263  ax-rnegex 11264  ax-rrecex 11265  ax-cnre 11266  ax-pre-lttri 11267  ax-pre-lttrn 11268  ax-pre-ltadd 11269

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6303  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6493  df-fun 6539  df-fn 6540  df-f 6541  df-f1 6542  df-fo 6543  df-f1o 6544  df-fv 6545  df-ov 7421  df-om 7876  df-2nd 8000  df-frecs 8292  df-wrecs 8323  df-recs 8372  df-rdg 8411  df-er 8710  df-en 8967  df-dom 8968  df-sdom 8969  df-pnf 11338  df-mnf 11339  df-xr 11340  df-ltxr 11341  df-le 11342  df-nn 12329

This theorem is used by:  nnneneg  12366  0nnn  12367  nndivre  12372  nndiv  12377  nndivtr  12378  nnne0d  12381  zdiv  12762  zdivadd  12763  zdivmul  12764  elq  13070  qmulz  13071  qre  13073  qaddcl  13086  qnegcl  13087  qmulcl  13088  qreccl  13090  rpnnen1lem5  13102  nn0ledivnn  13228  fzo1fzo0n0  13843  quoremz  13988  quoremnn0ALT  13990  intfracq  13992  fldiv  13993  fldiv2  13994  modmulnn  14022  modsumfzodifsn  14080  expnnval  14200  expneg  14205  digit2  14373  facdiv  14424  facndiv  14425  bcm1k  14452  bcp1n  14453  bcval5  14455  hashnncl  14503  cshwidxmod  14947  relexpsucnnr  15171  divcnv  16015  harmonic  16021  expcnv  16026  ef0lem  16237  ruclem6  16396  sqrt2irr  16410  dvdsval3  16419  nndivdvds  16424  modmulconst  16451  dvdsdivcl  16479  dvdsflip  16480  divalg2  16568  divalgmod  16569  ndvdssub  16572  nndvdslegcd  16668  divgcdz  16676  divgcdnn  16680  modgcd  16698  gcddiv  16717  gcdzeq  16718  eucalgf  16751  eucalginv  16752  lcmgcdlem  16774  lcmftp  16804  qredeq  16825  qredeu  16826  cncongr1  16835  cncongr2  16836  isprm6  16883  divnumden  16917  divdenle  16918  phimullem  16949  hashgcdlem  16958  phisum  16961  prm23lt5  16985  pythagtriplem10  16991  pythagtriplem8  16994  pythagtriplem9  16995  pccl  17020  pcdiv  17023  pcqcl  17027  pcdvds  17035  pcndvds  17037  pcndvds2  17039  pceq0  17042  pcneg  17045  pcz  17052  pcmpt  17063  fldivp1  17068  pcfac  17070  oddprmdvds  17074  infpnlem2  17082  cshwshashlem1  17266  smndex1n0mnd  19104  mulgnn  19278  mulgnegnn  19287  mulgmodid  19316  oddvdsnn0  19751  odmulgeq  19764  gexnnod  19795  qsssubdrg  21725  prmirredlem  21771  znf1o  21850  znhash  21857  znidomb  21860  znunithash  21863  znrrg  21864  cply1coe0  22612  cply1coe0bi  22613  m2cpm  23052  m2cpminvid2lem  23065  fvmptnn04ifc  23163  vitali  25927  mbfi1fseqlem3  26031  dvexp2  26267  plyeq0lem  26522  abelthlem9  26760  logtayllem  26980  logtayl  26981  logtaylsum  26982  logtayl2  26983  cxpexp  26989  cxproot  27011  root1id  27075  root1eq1  27076  cxpeq  27078  logbgcd1irr  27115  atantayl  27258  atantayl2  27259  leibpilem2  27262  leibpi  27263  birthdaylem2  27273  birthdaylem3  27274  dfef2  27291  emcllem2  27317  emcllem3  27318  zetacvg  27335  lgam1  27384  basellem4  27404  basellem8  27408  basellem9  27409  mumullem2  27500  fsumdvdscom  27505  chtublem  27531  dchrelbas4  27563  bclbnd  27600  lgsval4a  27639  lgsabs1  27656  lgssq2  27658  dchrmusumlema  27813  dchrmusum2  27814  dchrvmasumiflem1  27821  dchrvmaeq0  27824  dchrisum0flblem1  27828  dchrisum0flblem2  27829  dchrisum0re  27833  ostthlem1  27947  ostth1  27953  pthdlem2lem  30346  wspthsnonn0vne  30499  clwwisshclwwslem  30598  ipasslem4  31429  ipasslem5  31430  divnumden2  33400  1fldgenq  33877  qqhval2  34607  qqhnm  34615  signstfveq0  35199  subfacp1lem6  35929  circum  36418  fz0n  36475  divcnvlin  36477  iprodgam  36486  faclim  36490  nndivsub  37225  poimirlem29  38547  poimirlem31  38549  poimirlem32  38550  heiborlem4  38728  heiborlem6  38730  nnproddivdvdsd  43030  pellexlem1  43815  congrep  43959  jm2.20nn  43983  proot1ex  44182  hashnzfzclim  45291  binomcxplemnotnn0  45325  nnne1ge2  46276  mccllem  46578  clim1fr1  46582  dvnxpaek  46921  dvnprodlem2  46926  wallispilem5  47048  wallispi2lem1  47050  stirlinglem1  47053  stirlinglem3  47055  stirlinglem4  47056  stirlinglem5  47057  stirlinglem7  47059  stirlinglem10  47062  stirlinglem12  47064  stirlinglem14  47066  stirlinglem15  47067  fouriersw  47210  vonioolem2  47660  vonicclem2  47663  sqrtnnaa  47882  mod0mul  48401  modn0mul  48402  modlt0b  48408  iccpartiltu  48473  divgcdoddALTV  48749  fpprwppr  48806  isubgr3stgrlem7  49039  gpg3kgrtriexlem5  49154  nnsgrpnmnd  49244  eluz2cnn0n1  49592  blennn  49656  nnpw2blen  49661  digvalnn0  49680  nn0digval  49681  dignn0fr  49682  dignn0ldlem  49683  dig0  49687