Theorem nnne0 12379

Description: A positive integer is nonzero. See nnne0ALT 12383 for a shorter proof using ax-pre-mulgt0 11284. This proof avoids 0lt1 11845, and thus ax-pre-mulgt0 11284, by splitting ax-1ne0 11276 into the two separate cases 0 < 1 and 1 < 0. (Contributed by NM, 27-Sep-1999.) Remove dependency on ax-pre-mulgt0 11284. (Revised by Steven Nguyen, 30-Jan-2023.)

Assertion

Ref	Expression
nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem nnne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ax-1ne0 11276	. . 3 ⊢ 1 ≠ 0
2		1re 11315	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
3		0re 11317	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11431	. . 3 ⊢ (1 ≠ 0 ↔ (1 < 0 ∨ 0 < 1))
5	1, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ (1 < 0 ∨ 0 < 1)
6		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
7	6	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 1 < 0)))
8		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
9	8	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝑦 < 0)))
10		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
11	10	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
12		breq1 5105	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
13	12	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((1 < 0 → 𝑥 < 0) ↔ (1 < 0 → 𝐴 < 0)))
14		id 23	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → 1 < 0)
15		simp1 1154	. . . . . . . . . . 11 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℕ)
16	15	nnred 12357	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
17		1red 11316	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
18	16, 17	readdcld 11345	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) ∈ ℝ)
19	3, 2	readdcli 11331	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) ∈ ℝ
20	19	a1i 11	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) ∈ ℝ)
21		0red 11318	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 0 ∈ ℝ)
22		simp3 1156	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
23	16, 21, 17, 22	ltadd1dd 11934	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < (0 + 1))
24		ax-1cn 11265	. . . . . . . . . . 11 ⊢ 1 ∈ ℂ
25	24	addlidi 11505	. . . . . . . . . 10 ⊢ (0 + 1) = 1
26		simp2 1155	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
27	25, 26	eqbrtrid 5139	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (0 + 1) < 0)
28	18, 20, 21, 23, 27	lttrd 11478	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 1 < 0 ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
29	28	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (1 < 0 → (𝑦 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
30	29	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((1 < 0 → 𝑦 < 0) → (1 < 0 → (𝑦 + 1) < 0)))
31	7, 9, 11, 13, 14, 30	nnind 12360	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (1 < 0 → 𝐴 < 0))
32	31	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 < 0)
33	32	lt0ne0d 11888	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
34		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
35	34	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 1)))
36		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
37	36	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝑦)))
38		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
39	38	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
40		breq2 5106	. . . . . . 7 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
41	40	imbi2d 343	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → ((0 < 1 → 0 < 𝑥) ↔ (0 < 1 → 0 < 𝐴)))
42		id 23	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
43		simp1 1154	. . . . . . . . . 10 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℕ)
44	43	nnred 12357	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
45		1red 11316	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
46		simp3 1156	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
47		simp2 1155	. . . . . . . . 9 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
48	44, 45, 46, 47	addgt0d 11898	. . . . . . . 8 ⊢ ((𝑦 ∈ ℕ ∧ 0 < 1 ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
49	48	3exp 1137	. . . . . . 7 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → (0 < 1 → (0 < 𝑦 → 0 < (𝑦 + 1))))
50	49	a2d 30	. . . . . 6 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → ((0 < 1 → 0 < 𝑦) → (0 < 1 → 0 < (𝑦 + 1))))
51	35, 37, 39, 41, 42, 50	nnind 12360	. . . . 5 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → (0 < 1 → 0 < 𝐴))
52	51	imp 412	. . . 4 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 0 < 𝐴)
53	52	gt0ne0d 11887	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
54	33, 53	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (1 < 0 ∨ 0 < 1)) → 𝐴 ≠ 0)
55	5, 54	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∧ w3a 1103   = wceq 1569   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   < clt 11350  ℕcn 12342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-mulcom 11271  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-ov 7427  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8386  df-rdg 8425  df-er 8724  df-en 8981  df-dom 8982  df-sdom 8983  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-xr 11354  df-ltxr 11355  df-le 11356  df-nn 12343

This theorem is used by:  nnneneg  12380  0nnn  12381  nndivre  12386  nndiv  12391  nndivtr  12392  nnne0d  12395  zdiv  12776  zdivadd  12777  zdivmul  12778  elq  13084  qmulz  13085  qre  13087  qaddcl  13100  qnegcl  13101  qmulcl  13102  qreccl  13104  rpnnen1lem5  13116  nn0ledivnn  13242  fzo1fzo0n0  13857  quoremz  14002  quoremnn0ALT  14004  intfracq  14006  fldiv  14007  fldiv2  14008  modmulnn  14036  modsumfzodifsn  14094  expnnval  14214  expneg  14219  digit2  14387  facdiv  14438  facndiv  14439  bcm1k  14466  bcp1n  14467  bcval5  14469  hashnncl  14517  cshwidxmod  14962  relexpsucnnr  15187  divcnv  16031  harmonic  16037  expcnv  16042  ef0lem  16253  ruclem6  16412  sqrt2irr  16426  dvdsval3  16435  nndivdvds  16440  modmulconst  16467  dvdsdivcl  16495  dvdsflip  16496  divalg2  16584  divalgmod  16585  ndvdssub  16588  nndvdslegcd  16684  divgcdz  16692  divgcdnn  16696  modgcd  16714  gcddiv  16733  gcdzeq  16734  eucalgf  16767  eucalginv  16768  lcmgcdlem  16790  lcmftp  16820  qredeq  16841  qredeu  16842  cncongr1  16851  cncongr2  16852  isprm6  16899  divnumden  16933  divdenle  16934  phimullem  16965  hashgcdlem  16974  phisum  16977  prm23lt5  17001  pythagtriplem10  17007  pythagtriplem8  17010  pythagtriplem9  17011  pccl  17036  pcdiv  17039  pcqcl  17043  pcdvds  17051  pcndvds  17053  pcndvds2  17055  pceq0  17058  pcneg  17061  pcz  17068  pcmpt  17079  fldivp1  17084  pcfac  17086  oddprmdvds  17090  infpnlem2  17098  cshwshashlem1  17282  smndex1n0mnd  19120  mulgnn  19294  mulgnegnn  19303  mulgmodid  19332  oddvdsnn0  19767  odmulgeq  19780  gexnnod  19811  qsssubdrg  21741  prmirredlem  21787  znf1o  21866  znhash  21873  znidomb  21876  znunithash  21879  znrrg  21880  cply1coe0  22628  cply1coe0bi  22629  m2cpm  23068  m2cpminvid2lem  23081  fvmptnn04ifc  23179  vitali  25943  mbfi1fseqlem3  26047  dvexp2  26283  plyeq0lem  26538  abelthlem9  26776  logtayllem  26996  logtayl  26997  logtaylsum  26998  logtayl2  26999  cxpexp  27005  cxproot  27027  root1id  27091  root1eq1  27092  cxpeq  27094  logbgcd1irr  27131  atantayl  27274  atantayl2  27275  leibpilem2  27278  leibpi  27279  birthdaylem2  27289  birthdaylem3  27290  dfef2  27307  emcllem2  27333  emcllem3  27334  zetacvg  27351  lgam1  27400  basellem4  27420  basellem8  27424  basellem9  27425  mumullem2  27516  fsumdvdscom  27521  chtublem  27547  dchrelbas4  27579  bclbnd  27616  lgsval4a  27655  lgsabs1  27672  lgssq2  27674  dchrmusumlema  27829  dchrmusum2  27830  dchrvmasumiflem1  27837  dchrvmaeq0  27840  dchrisum0flblem1  27844  dchrisum0flblem2  27845  dchrisum0re  27849  ostthlem1  27963  ostth1  27969  pthdlem2lem  30362  wspthsnonn0vne  30515  clwwisshclwwslem  30614  ipasslem4  31445  ipasslem5  31446  divnumden2  33457  1fldgenq  33934  qqhval2  34664  qqhnm  34672  signstfveq0  35256  subfacp1lem6  36040  circum  36529  fz0n  36592  divcnvlin  36594  iprodgam  36603  faclim  36607  nndivsub  37341  poimirlem29  38676  poimirlem31  38678  poimirlem32  38679  heiborlem4  38857  heiborlem6  38859  nnproddivdvdsd  43159  pellexlem1  43945  congrep  44089  jm2.20nn  44113  proot1ex  44307  hashnzfzclim  45415  binomcxplemnotnn0  45449  nnne1ge2  46415  mccllem  46717  clim1fr1  46721  dvnxpaek  47060  dvnprodlem2  47065  wallispilem5  47187  wallispi2lem1  47189  stirlinglem1  47192  stirlinglem3  47194  stirlinglem4  47195  stirlinglem5  47196  stirlinglem7  47198  stirlinglem10  47201  stirlinglem12  47203  stirlinglem14  47205  stirlinglem15  47206  fouriersw  47349  vonioolem2  47799  vonicclem2  47802  sqrtnnaa  48021  mod0mul  48540  modn0mul  48541  modlt0b  48547  iccpartiltu  48612  divgcdoddALTV  48888  fpprwppr  48945  isubgr3stgrlem7  49178  gpg3kgrtriexlem5  49293  nnsgrpnmnd  49383  eluz2cnn0n1  49731  blennn  49795  nnpw2blen  49800  digvalnn0  49819  nn0digval  49820  dignn0fr  49821  dignn0ldlem  49822  dig0  49826