Theorem sn-nnne0 42478

Description: nnne0 12300 without ax-mulcom 11219. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sn-nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem sn-nnne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 12337	. . 3 ⊢ 0 ≠ 1
2		0re 11263	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11261	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11375	. . 3 ⊢ (0 ≠ 1 ↔ (0 < 1 ∨ 1 < 0))
5	1, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ (0 < 1 ∨ 1 < 0)
6		breq2 5147	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
7		breq2 5147	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
8		breq2 5147	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
9		breq2 5147	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
11		nnre 12273	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
12	11	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
13		1red 11262	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
15		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
16	12, 13, 14, 15	sn-addgt0d 42477	. . . . . 6 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
17	6, 7, 8, 9, 10, 16	nnindd 12286	. . . . 5 ⊢ ((0 < 1 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
18	17	gt0ne0d 11827	. . . 4 ⊢ ((0 < 1 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
19	18	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
20		breq1 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
21		breq1 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
22		breq1 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
23		breq1 5146	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
24		id 22	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → 1 < 0)
25	11	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
26		1red 11262	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
27		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
28		simpll 767	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
29	25, 26, 27, 28	sn-addlt0d 42476	. . . . . 6 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
30	20, 21, 22, 23, 24, 29	nnindd 12286	. . . . 5 ⊢ ((1 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 < 0)
31	30	lt0ne0d 11828	. . . 4 ⊢ ((1 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
32	31	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
33	19, 32	jaodan 960	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (0 < 1 ∨ 1 < 0)) → 𝐴 ≠ 0)
34	5, 33	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 848   ∈ wcel 2108   ≠ wne 2940   class class class wbr 5143  (class class class)co 7431  ℝcr 11154  0cc0 11155  1c1 11156   + caddc 11158   < clt 11295  ℕcn 12266

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755  ax-resscn 11212  ax-1cn 11213  ax-icn 11214  ax-addcl 11215  ax-addrcl 11216  ax-mulcl 11217  ax-mulrcl 11218  ax-addass 11220  ax-mulass 11221  ax-distr 11222  ax-i2m1 11223  ax-1ne0 11224  ax-1rid 11225  ax-rnegex 11226  ax-rrecex 11227  ax-cnre 11228  ax-pre-lttri 11229  ax-pre-lttrn 11230  ax-pre-ltadd 11231

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-pss 3971  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-tr 5260  df-id 5578  df-eprel 5584  df-po 5592  df-so 5593  df-fr 5637  df-we 5639  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-pred 6321  df-ord 6387  df-on 6388  df-lim 6389  df-suc 6390  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-mpo 7436  df-om 7888  df-2nd 8015  df-frecs 8306  df-wrecs 8337  df-recs 8411  df-rdg 8450  df-er 8745  df-en 8986  df-dom 8987  df-sdom 8988  df-pnf 11297  df-mnf 11298  df-ltxr 11300  df-nn 12267  df-2 12329  df-3 12330  df-resub 42396

This theorem is referenced by: (None)