Theorem sn-nnne0 43082

Description: nnne0 12247 without ax-mulcom 11137. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sn-nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem sn-nnne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 12289	. . 3 ⊢ 0 ≠ 1
2		0re 11183	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11181	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11297	. . 3 ⊢ (0 ≠ 1 ↔ (0 < 1 ∨ 1 < 0))
5	1, 4	mpbi 232	. 2 ⊢ (0 < 1 ∨ 1 < 0)
6		breq2 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
7		breq2 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
8		breq2 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
9		breq2 5104	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
11		nnre 12217	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
12	11	ad2antlr 737	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
13		1red 11182	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
14		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
15		simpll 776	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
16	12, 13, 14, 15	sn-addgt0d 43081	. . . . . 6 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
17	6, 7, 8, 9, 10, 16	nnindd 12230	. . . . 5 ⊢ ((0 < 1 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
18	17	gt0ne0d 11751	. . . 4 ⊢ ((0 < 1 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
19	18	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
20		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
21		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
22		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
23		breq1 5103	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
24		id 22	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → 1 < 0)
25	11	ad2antlr 737	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
26		1red 11182	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
27		simpr 488	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
28		simpll 776	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
29	25, 26, 27, 28	sn-addlt0d 43080	. . . . . 6 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
30	20, 21, 22, 23, 24, 29	nnindd 12230	. . . . 5 ⊢ ((1 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 < 0)
31	30	lt0ne0d 11752	. . . 4 ⊢ ((1 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
32	31	ancoms 462	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
33	19, 32	jaodan 970	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (0 < 1 ∨ 1 < 0)) → 𝐴 ≠ 0)
34	5, 33	mpan2 701	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 399   ∨ wo 858   ∈ wcel 2142   ≠ wne 2957   class class class wbr 5100  (class class class)co 7396  ℝcr 11072  0cc0 11073  1c1 11074   + caddc 11076   < clt 11216  ℕcn 12210

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1815  ax-4 1829  ax-5 1930  ax-6 1987  ax-7 2028  ax-8 2144  ax-9 2152  ax-10 2175  ax-11 2191  ax-12 2212  ax-ext 2734  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5322  ax-pr 5390  ax-un 7718  ax-resscn 11130  ax-1cn 11131  ax-icn 11132  ax-addcl 11133  ax-addrcl 11134  ax-mulcl 11135  ax-mulrcl 11136  ax-addass 11138  ax-mulass 11139  ax-distr 11140  ax-i2m1 11141  ax-1ne0 11142  ax-1rid 11143  ax-rnegex 11144  ax-rrecex 11145  ax-cnre 11146  ax-pre-lttri 11147  ax-pre-lttrn 11148  ax-pre-ltadd 11149

This theorem depends on definitions:  df-bi 209  df-an 400  df-or 859  df-3or 1099  df-3an 1100  df-tru 1563  df-fal 1573  df-ex 1800  df-nf 1804  df-sb 2091  df-mo 2566  df-eu 2596  df-clab 2741  df-cleq 2754  df-clel 2837  df-nfc 2911  df-ne 2958  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3367  df-reu 3368  df-rab 3415  df-v 3456  df-sbc 3745  df-csb 3853  df-dif 3907  df-un 3909  df-in 3911  df-ss 3921  df-pss 3924  df-nul 4286  df-if 4481  df-pw 4557  df-sn 4583  df-pr 4585  df-op 4589  df-uni 4866  df-iun 4951  df-br 5101  df-opab 5163  df-mpt 5182  df-tr 5208  df-id 5542  df-eprel 5547  df-po 5555  df-so 5556  df-fr 5600  df-we 5602  df-xp 5653  df-rel 5654  df-cnv 5655  df-co 5656  df-dm 5657  df-rn 5658  df-res 5659  df-ima 5660  df-pred 6288  df-ord 6349  df-on 6350  df-lim 6351  df-suc 6352  df-iota 6477  df-fun 6523  df-fn 6524  df-f 6525  df-f1 6526  df-fo 6527  df-f1o 6528  df-fv 6529  df-riota 7353  df-ov 7399  df-oprab 7400  df-mpo 7401  df-om 7847  df-2nd 7971  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8342  df-rdg 8381  df-er 8678  df-en 8928  df-dom 8929  df-sdom 8930  df-pnf 11218  df-mnf 11219  df-ltxr 11221  df-nn 12211  df-2 12280  df-3 12281  df-resub 42975

This theorem is referenced by: (None)