Theorem sn-nnne0 43524

Description: nnne0 12372 without ax-mulcom 11264. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sn-nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem sn-nnne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 12414	. . 3 ⊢ 0 ≠ 1
2		0re 11310	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11308	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11424	. . 3 ⊢ (0 ≠ 1 ↔ (0 < 1 ∨ 1 < 0))
5	1, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ (0 < 1 ∨ 1 < 0)
6		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
7		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
8		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
9		breq2 5107	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
10		id 23	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
11		nnre 12342	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
12	11	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
13		1red 11309	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
14		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
15		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
16	12, 13, 14, 15	sn-addgt0d 43523	. . . . . 6 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
17	6, 7, 8, 9, 10, 16	nnindd 12355	. . . . 5 ⊢ ((0 < 1 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
18	17	gt0ne0d 11880	. . . 4 ⊢ ((0 < 1 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
19	18	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
20		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
21		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
22		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
23		breq1 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
24		id 23	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → 1 < 0)
25	11	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
26		1red 11309	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
27		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
28		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
29	25, 26, 27, 28	sn-addlt0d 43522	. . . . . 6 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
30	20, 21, 22, 23, 24, 29	nnindd 12355	. . . . 5 ⊢ ((1 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 < 0)
31	30	lt0ne0d 11881	. . . 4 ⊢ ((1 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
32	31	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
33	19, 32	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (0 < 1 ∨ 1 < 0)) → 𝐴 ≠ 0)
34	5, 33	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2145   ≠ wne 2956   class class class wbr 5103  (class class class)co 7420  ℝcr 11199  0cc0 11200  1c1 11201   + caddc 11203   < clt 11343  ℕcn 12335

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1828  ax-4 1842  ax-5 1943  ax-6 2000  ax-7 2041  ax-8 2147  ax-9 2155  ax-10 2178  ax-11 2194  ax-12 2213  ax-ext 2733  ax-sep 5249  ax-nul 5260  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7751  ax-resscn 11257  ax-1cn 11258  ax-icn 11259  ax-addcl 11260  ax-addrcl 11261  ax-mulcl 11262  ax-mulrcl 11263  ax-addass 11265  ax-mulass 11266  ax-distr 11267  ax-i2m1 11268  ax-1ne0 11269  ax-1rid 11270  ax-rnegex 11271  ax-rrecex 11272  ax-cnre 11273  ax-pre-lttri 11274  ax-pre-lttrn 11275  ax-pre-ltadd 11276

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1573  df-fal 1583  df-ex 1813  df-nf 1817  df-sb 2100  df-mo 2565  df-eu 2595  df-clab 2740  df-cleq 2753  df-clel 2836  df-nfc 2910  df-ne 2957  df-nel 3063  df-ral 3078  df-rex 3088  df-rmo 3366  df-reu 3367  df-rab 3414  df-v 3453  df-sbc 3740  df-csb 3848  df-dif 3902  df-un 3904  df-in 3906  df-ss 3916  df-pss 3919  df-nul 4280  df-if 4483  df-pw 4559  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4591  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5104  df-opab 5168  df-mpt 5187  df-tr 5213  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6304  df-ord 6365  df-on 6366  df-lim 6367  df-suc 6368  df-iota 6494  df-fun 6540  df-fn 6541  df-f 6542  df-f1 6543  df-fo 6544  df-f1o 6545  df-fv 6546  df-riota 7377  df-ov 7423  df-oprab 7424  df-mpo 7425  df-om 7878  df-2nd 8002  df-frecs 8299  df-wrecs 8330  df-recs 8379  df-rdg 8418  df-er 8717  df-en 8974  df-dom 8975  df-sdom 8976  df-pnf 11345  df-mnf 11346  df-ltxr 11348  df-nn 12336  df-2 12405  df-3 12406  df-resub 43417

This theorem is used by: (None)