Users' Mathboxes Mathbox for Steven Nguyen < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  sn-nnne0 Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem sn-nnne0 41317
Description: nnne0 12242 without ax-mulcom 11170. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)
Assertion
Ref Expression
sn-nnne0 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem sn-nnne0
Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 0ne1 12279 . . 3 0 ≠ 1
2 0re 11212 . . . 4 0 ∈ ℝ
3 1re 11210 . . . 4 1 ∈ ℝ
42, 3lttri2i 11324 . . 3 (0 ≠ 1 ↔ (0 < 1 ∨ 1 < 0))
51, 4mpbi 229 . 2 (0 < 1 ∨ 1 < 0)
6 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
7 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
8 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
9 breq2 5151 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
10 id 22 . . . . . 6 (0 < 1 → 0 < 1)
11 nnre 12215 . . . . . . . 8 (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
1211ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
13 1red 11211 . . . . . . 7 (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
14 simpr 485 . . . . . . 7 (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
15 simpll 765 . . . . . . 7 (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
1612, 13, 14, 15sn-addgt0d 41316 . . . . . 6 (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
176, 7, 8, 9, 10, 16nnindd 12228 . . . . 5 ((0 < 1 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
1817gt0ne0d 11774 . . . 4 ((0 < 1 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
1918ancoms 459 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
20 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
21 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
22 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
23 breq1 5150 . . . . . 6 (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
24 id 22 . . . . . 6 (1 < 0 → 1 < 0)
2511ad2antlr 725 . . . . . . 7 (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
26 1red 11211 . . . . . . 7 (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
27 simpr 485 . . . . . . 7 (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
28 simpll 765 . . . . . . 7 (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
2925, 26, 27, 28sn-addlt0d 41315 . . . . . 6 (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
3020, 21, 22, 23, 24, 29nnindd 12228 . . . . 5 ((1 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 < 0)
3130lt0ne0d 11775 . . . 4 ((1 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
3231ancoms 459 . . 3 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
3319, 32jaodan 956 . 2 ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (0 < 1 ∨ 1 < 0)) → 𝐴 ≠ 0)
345, 33mpan2 689 1 (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 396  wo 845  wcel 2106  wne 2940   class class class wbr 5147  (class class class)co 7405  cr 11105  0cc0 11106  1c1 11107   + caddc 11109   < clt 11244  cn 12208
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7721  ax-resscn 11163  ax-1cn 11164  ax-icn 11165  ax-addcl 11166  ax-addrcl 11167  ax-mulcl 11168  ax-mulrcl 11169  ax-addass 11171  ax-mulass 11172  ax-distr 11173  ax-i2m1 11174  ax-1ne0 11175  ax-1rid 11176  ax-rnegex 11177  ax-rrecex 11178  ax-cnre 11179  ax-pre-lttri 11180  ax-pre-lttrn 11181  ax-pre-ltadd 11182
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3or 1088  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-nel 3047  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-pss 3966  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-iun 4998  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-tr 5265  df-id 5573  df-eprel 5579  df-po 5587  df-so 5588  df-fr 5630  df-we 5632  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-pred 6297  df-ord 6364  df-on 6365  df-lim 6366  df-suc 6367  df-iota 6492  df-fun 6542  df-fn 6543  df-f 6544  df-f1 6545  df-fo 6546  df-f1o 6547  df-fv 6548  df-riota 7361  df-ov 7408  df-oprab 7409  df-mpo 7410  df-om 7852  df-2nd 7972  df-frecs 8262  df-wrecs 8293  df-recs 8367  df-rdg 8406  df-er 8699  df-en 8936  df-dom 8937  df-sdom 8938  df-pnf 11246  df-mnf 11247  df-ltxr 11249  df-nn 12209  df-2 12271  df-3 12272  df-resub 41235
This theorem is referenced by: (None)
  Copyright terms: Public domain W3C validator