Theorem sn-nnne0 43661

Description: nnne0 12379 without ax-mulcom 11271. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sn-nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem sn-nnne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 12421	. . 3 ⊢ 0 ≠ 1
2		0re 11317	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11315	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11431	. . 3 ⊢ (0 ≠ 1 ↔ (0 < 1 ∨ 1 < 0))
5	1, 4	mpbi 233	. 2 ⊢ (0 < 1 ∨ 1 < 0)
6		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
7		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
8		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
9		breq2 5106	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
10		id 23	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
11		nnre 12349	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
12	11	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
13		1red 11316	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
14		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
15		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
16	12, 13, 14, 15	sn-addgt0d 43660	. . . . . 6 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
17	6, 7, 8, 9, 10, 16	nnindd 12362	. . . . 5 ⊢ ((0 < 1 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
18	17	gt0ne0d 11887	. . . 4 ⊢ ((0 < 1 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
19	18	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
20		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
21		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
22		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
23		breq1 5105	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
24		id 23	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → 1 < 0)
25	11	ad2antlr 740	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
26		1red 11316	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
27		simpr 490	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
28		simpll 779	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
29	25, 26, 27, 28	sn-addlt0d 43659	. . . . . 6 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
30	20, 21, 22, 23, 24, 29	nnindd 12362	. . . . 5 ⊢ ((1 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 < 0)
31	30	lt0ne0d 11888	. . . 4 ⊢ ((1 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
32	31	ancoms 464	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
33	19, 32	jaodan 972	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (0 < 1 ∨ 1 < 0)) → 𝐴 ≠ 0)
34	5, 33	mpan2 704	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

This proof depends on syntax axioms:   → wi 4   ∧ wa 401   ∨ wo 861   ∈ wcel 2144   ≠ wne 2955   class class class wbr 5102  (class class class)co 7424  ℝcr 11206  0cc0 11207  1c1 11208   + caddc 11210   < clt 11350  ℕcn 12342

This proof depends on axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1827  ax-4 1841  ax-5 1942  ax-6 1999  ax-7 2040  ax-8 2146  ax-9 2154  ax-10 2177  ax-11 2193  ax-12 2212  ax-ext 2732  ax-sep 5248  ax-nul 5259  ax-pow 5327  ax-pr 5391  ax-un 7755  ax-resscn 11264  ax-1cn 11265  ax-icn 11266  ax-addcl 11267  ax-addrcl 11268  ax-mulcl 11269  ax-mulrcl 11270  ax-addass 11272  ax-mulass 11273  ax-distr 11274  ax-i2m1 11275  ax-1ne0 11276  ax-1rid 11277  ax-rnegex 11278  ax-rrecex 11279  ax-cnre 11280  ax-pre-lttri 11281  ax-pre-lttrn 11282  ax-pre-ltadd 11283

This proof depends on definitions:  df-bi 210  df-an 402  df-or 862  df-3or 1104  df-3an 1105  df-tru 1572  df-fal 1582  df-ex 1812  df-nf 1816  df-sb 2099  df-mo 2564  df-eu 2594  df-clab 2739  df-cleq 2752  df-clel 2835  df-nfc 2909  df-ne 2956  df-nel 3062  df-ral 3077  df-rex 3087  df-rmo 3365  df-reu 3366  df-rab 3413  df-v 3452  df-sbc 3739  df-csb 3848  df-ss 3897  df-pss 4013  df-dif 4046  df-in 4090  df-un 4150  df-nul 4278  df-if 4482  df-pw 4558  df-sn 4585  df-pr 4587  df-op 4835  df-uni 4867  df-iun 4952  df-br 5103  df-opab 5167  df-mpt 5186  df-tr 5212  df-id 5546  df-eprel 5551  df-po 5559  df-so 5560  df-fr 5604  df-we 5606  df-xp 5657  df-rel 5658  df-cnv 5659  df-co 5660  df-dm 5661  df-rn 5662  df-res 5663  df-ima 5664  df-pred 6307  df-ord 6368  df-on 6369  df-lim 6370  df-suc 6371  df-iota 6497  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7381  df-ov 7427  df-oprab 7428  df-mpo 7429  df-om 7882  df-2nd 8006  df-frecs 8307  df-wrecs 8338  df-recs 8387  df-rdg 8426  df-er 8725  df-en 8982  df-dom 8983  df-sdom 8984  df-pnf 11352  df-mnf 11353  df-ltxr 11355  df-nn 12343  df-2 12412  df-3 12413  df-resub 43554

This theorem is used by: (None)