Theorem sn-nnne0 42715

Description: nnne0 12179 without ax-mulcom 11090. (Contributed by SN, 25-Jan-2025.)

Assertion

Ref	Expression
sn-nnne0	⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Proof of Theorem sn-nnne0

Dummy variables 𝑥 𝑦 are mutually distinct and distinct from all other variables.

Step	Hyp	Ref	Expression
1		0ne1 12216	. . 3 ⊢ 0 ≠ 1
2		0re 11134	. . . 4 ⊢ 0 ∈ ℝ
3		1re 11132	. . . 4 ⊢ 1 ∈ ℝ
4	2, 3	lttri2i 11247	. . 3 ⊢ (0 ≠ 1 ↔ (0 < 1 ∨ 1 < 0))
5	1, 4	mpbi 230	. 2 ⊢ (0 < 1 ∨ 1 < 0)
6		breq2 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 1))
7		breq2 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝑦))
8		breq2 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (0 < 𝑥 ↔ 0 < (𝑦 + 1)))
9		breq2 5102	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (0 < 𝑥 ↔ 0 < 𝐴))
10		id 22	. . . . . 6 ⊢ (0 < 1 → 0 < 1)
11		nnre 12152	. . . . . . . 8 ⊢ (𝑦 ∈ ℕ → 𝑦 ∈ ℝ)
12	11	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 𝑦 ∈ ℝ)
13		1red 11133	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 1 ∈ ℝ)
14		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 𝑦)
15		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < 1)
16	12, 13, 14, 15	sn-addgt0d 42714	. . . . . 6 ⊢ (((0 < 1 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 0 < 𝑦) → 0 < (𝑦 + 1))
17	6, 7, 8, 9, 10, 16	nnindd 12165	. . . . 5 ⊢ ((0 < 1 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 0 < 𝐴)
18	17	gt0ne0d 11701	. . . 4 ⊢ ((0 < 1 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
19	18	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 0 < 1) → 𝐴 ≠ 0)
20		breq1 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 1 → (𝑥 < 0 ↔ 1 < 0))
21		breq1 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝑦 → (𝑥 < 0 ↔ 𝑦 < 0))
22		breq1 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = (𝑦 + 1) → (𝑥 < 0 ↔ (𝑦 + 1) < 0))
23		breq1 5101	. . . . . 6 ⊢ (𝑥 = 𝐴 → (𝑥 < 0 ↔ 𝐴 < 0))
24		id 22	. . . . . 6 ⊢ (1 < 0 → 1 < 0)
25	11	ad2antlr 727	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 ∈ ℝ)
26		1red 11133	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 1 ∈ ℝ)
27		simpr 484	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 𝑦 < 0)
28		simpll 766	. . . . . . 7 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → 1 < 0)
29	25, 26, 27, 28	sn-addlt0d 42713	. . . . . 6 ⊢ (((1 < 0 ∧ 𝑦 ∈ ℕ) ∧ 𝑦 < 0) → (𝑦 + 1) < 0)
30	20, 21, 22, 23, 24, 29	nnindd 12165	. . . . 5 ⊢ ((1 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 < 0)
31	30	lt0ne0d 11702	. . . 4 ⊢ ((1 < 0 ∧ 𝐴 ∈ ℕ) → 𝐴 ≠ 0)
32	31	ancoms 458	. . 3 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ 1 < 0) → 𝐴 ≠ 0)
33	19, 32	jaodan 959	. 2 ⊢ ((𝐴 ∈ ℕ ∧ (0 < 1 ∨ 1 < 0)) → 𝐴 ≠ 0)
34	5, 33	mpan2 691	1 ⊢ (𝐴 ∈ ℕ → 𝐴 ≠ 0)

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∨ wo 847   ∈ wcel 2113   ≠ wne 2932   class class class wbr 5098  (class class class)co 7358  ℝcr 11025  0cc0 11026  1c1 11027   + caddc 11029   < clt 11166  ℕcn 12145

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1796  ax-4 1810  ax-5 1911  ax-6 1968  ax-7 2009  ax-8 2115  ax-9 2123  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2184  ax-ext 2708  ax-sep 5241  ax-nul 5251  ax-pow 5310  ax-pr 5377  ax-un 7680  ax-resscn 11083  ax-1cn 11084  ax-icn 11085  ax-addcl 11086  ax-addrcl 11087  ax-mulcl 11088  ax-mulrcl 11089  ax-addass 11091  ax-mulass 11092  ax-distr 11093  ax-i2m1 11094  ax-1ne0 11095  ax-1rid 11096  ax-rnegex 11097  ax-rrecex 11098  ax-cnre 11099  ax-pre-lttri 11100  ax-pre-lttrn 11101  ax-pre-ltadd 11102

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3or 1087  df-3an 1088  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1781  df-nf 1785  df-sb 2068  df-mo 2539  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2728  df-clel 2811  df-nfc 2885  df-ne 2933  df-nel 3037  df-ral 3052  df-rex 3061  df-rmo 3350  df-reu 3351  df-rab 3400  df-v 3442  df-sbc 3741  df-csb 3850  df-dif 3904  df-un 3906  df-in 3908  df-ss 3918  df-pss 3921  df-nul 4286  df-if 4480  df-pw 4556  df-sn 4581  df-pr 4583  df-op 4587  df-uni 4864  df-iun 4948  df-br 5099  df-opab 5161  df-mpt 5180  df-tr 5206  df-id 5519  df-eprel 5524  df-po 5532  df-so 5533  df-fr 5577  df-we 5579  df-xp 5630  df-rel 5631  df-cnv 5632  df-co 5633  df-dm 5634  df-rn 5635  df-res 5636  df-ima 5637  df-pred 6259  df-ord 6320  df-on 6321  df-lim 6322  df-suc 6323  df-iota 6448  df-fun 6494  df-fn 6495  df-f 6496  df-f1 6497  df-fo 6498  df-f1o 6499  df-fv 6500  df-riota 7315  df-ov 7361  df-oprab 7362  df-mpo 7363  df-om 7809  df-2nd 7934  df-frecs 8223  df-wrecs 8254  df-recs 8303  df-rdg 8341  df-er 8635  df-en 8884  df-dom 8885  df-sdom 8886  df-pnf 11168  df-mnf 11169  df-ltxr 11171  df-nn 12146  df-2 12208  df-3 12209  df-resub 42621

This theorem is referenced by: (None)