Theorem lubel 18584

Description: An element of a set is less than or equal to the least upper bound of the set. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lublem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lublem.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubel	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑈‘𝑆))

Proof of Theorem lubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatl 18578	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
2		ssel 4002	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝐵))
3	2	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		lublem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		lublem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
6	4, 5	lubsn 18552	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
7	1, 3, 6	syl2an 595	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵)) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
8	7	3impb 1115	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
9		snssi 4833	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
10		lublem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	4, 10, 5	lubss 18583	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) ≤ (𝑈‘𝑆))
12	9, 11	syl3an3 1165	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) ≤ (𝑈‘𝑆))
13	12	3com23 1126	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) ≤ (𝑈‘𝑆))
14	8, 13	eqbrtrrd 5190	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑈‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1537   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3976  {csn 4648   class class class wbr 5166  ‘cfv 6573  Basecbs 17258  lecple 17318  lubclub 18379  Latclat 18501  CLatccla 18568

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1793  ax-4 1807  ax-5 1909  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2711  ax-rep 5303  ax-sep 5317  ax-nul 5324  ax-pow 5383  ax-pr 5447  ax-un 7770

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 847  df-3an 1089  df-tru 1540  df-fal 1550  df-ex 1778  df-nf 1782  df-sb 2065  df-mo 2543  df-eu 2572  df-clab 2718  df-cleq 2732  df-clel 2819  df-nfc 2895  df-ne 2947  df-ral 3068  df-rex 3077  df-rmo 3388  df-reu 3389  df-rab 3444  df-v 3490  df-sbc 3805  df-csb 3922  df-dif 3979  df-un 3981  df-in 3983  df-ss 3993  df-nul 4353  df-if 4549  df-pw 4624  df-sn 4649  df-pr 4651  df-op 4655  df-uni 4932  df-iun 5017  df-br 5167  df-opab 5229  df-mpt 5250  df-id 5593  df-xp 5706  df-rel 5707  df-cnv 5708  df-co 5709  df-dm 5710  df-rn 5711  df-res 5712  df-ima 5713  df-iota 6525  df-fun 6575  df-fn 6576  df-f 6577  df-f1 6578  df-fo 6579  df-f1o 6580  df-fv 6581  df-riota 7404  df-ov 7451  df-oprab 7452  df-proset 18365  df-poset 18383  df-lub 18416  df-glb 18417  df-join 18418  df-meet 18419  df-lat 18502  df-clat 18569

This theorem is referenced by:  lubun  18585  atlatmstc  39275  2polssN  39872