Theorem lubel 18559

Description: An element of a set is less than or equal to the least upper bound of the set. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lublem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lublem.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubel	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑈‘𝑆))

Proof of Theorem lubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatl 18553	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
2		ssel 3977	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝐵))
3	2	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		lublem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		lublem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
6	4, 5	lubsn 18527	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
7	1, 3, 6	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵)) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
8	7	3impb 1115	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
9		snssi 4808	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
10		lublem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	4, 10, 5	lubss 18558	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) ≤ (𝑈‘𝑆))
12	9, 11	syl3an3 1166	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) ≤ (𝑈‘𝑆))
13	12	3com23 1127	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) ≤ (𝑈‘𝑆))
14	8, 13	eqbrtrrd 5167	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑈‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1087   = wceq 1540   ∈ wcel 2108   ⊆ wss 3951  {csn 4626   class class class wbr 5143  ‘cfv 6561  Basecbs 17247  lecple 17304  lubclub 18355  Latclat 18476  CLatccla 18543

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2007  ax-8 2110  ax-9 2118  ax-10 2141  ax-11 2157  ax-12 2177  ax-ext 2708  ax-rep 5279  ax-sep 5296  ax-nul 5306  ax-pow 5365  ax-pr 5432  ax-un 7755

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 849  df-3an 1089  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2065  df-mo 2540  df-eu 2569  df-clab 2715  df-cleq 2729  df-clel 2816  df-nfc 2892  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3380  df-reu 3381  df-rab 3437  df-v 3482  df-sbc 3789  df-csb 3900  df-dif 3954  df-un 3956  df-in 3958  df-ss 3968  df-nul 4334  df-if 4526  df-pw 4602  df-sn 4627  df-pr 4629  df-op 4633  df-uni 4908  df-iun 4993  df-br 5144  df-opab 5206  df-mpt 5226  df-id 5578  df-xp 5691  df-rel 5692  df-cnv 5693  df-co 5694  df-dm 5695  df-rn 5696  df-res 5697  df-ima 5698  df-iota 6514  df-fun 6563  df-fn 6564  df-f 6565  df-f1 6566  df-fo 6567  df-f1o 6568  df-fv 6569  df-riota 7388  df-ov 7434  df-oprab 7435  df-proset 18340  df-poset 18359  df-lub 18391  df-glb 18392  df-join 18393  df-meet 18394  df-lat 18477  df-clat 18544

This theorem is referenced by:  lubun  18560  atlatmstc  39320  2polssN  39917