MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubel 17734
Description: An element of a set is less than or equal to the least upper bound of the set. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l = (le‘𝐾)
lublem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubel ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → 𝑋 (𝑈𝑆))

Proof of Theorem lubel
StepHypRef Expression
1 clatl 17728 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
2 ssel 3946 . . . . 5 (𝑆𝐵 → (𝑋𝑆𝑋𝐵))
32impcom 411 . . . 4 ((𝑋𝑆𝑆𝐵) → 𝑋𝐵)
4 lublem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 lublem.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
64, 5lubsn 17706 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
71, 3, 6syl2an 598 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑋𝑆𝑆𝐵)) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
873impb 1112 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
9 snssi 4725 . . . 4 (𝑋𝑆 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
10 lublem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
114, 10, 5lubss 17733 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) (𝑈𝑆))
129, 11syl3an3 1162 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) (𝑈𝑆))
13123com23 1123 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) (𝑈𝑆))
148, 13eqbrtrrd 5077 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → 𝑋 (𝑈𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 399  w3a 1084   = wceq 1538  wcel 2115  wss 3919  {csn 4550   class class class wbr 5053  cfv 6345  Basecbs 16485  lecple 16574  lubclub 17554  Latclat 17657  CLatccla 17719
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1912  ax-6 1971  ax-7 2016  ax-8 2117  ax-9 2125  ax-10 2146  ax-11 2162  ax-12 2179  ax-ext 2796  ax-rep 5177  ax-sep 5190  ax-nul 5197  ax-pow 5254  ax-pr 5318  ax-un 7457
This theorem depends on definitions:  df-bi 210  df-an 400  df-or 845  df-3an 1086  df-tru 1541  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2071  df-mo 2624  df-eu 2655  df-clab 2803  df-cleq 2817  df-clel 2896  df-nfc 2964  df-ne 3015  df-ral 3138  df-rex 3139  df-reu 3140  df-rab 3142  df-v 3482  df-sbc 3759  df-csb 3867  df-dif 3922  df-un 3924  df-in 3926  df-ss 3936  df-nul 4277  df-if 4451  df-pw 4524  df-sn 4551  df-pr 4553  df-op 4557  df-uni 4825  df-iun 4907  df-br 5054  df-opab 5116  df-mpt 5134  df-id 5448  df-xp 5549  df-rel 5550  df-cnv 5551  df-co 5552  df-dm 5553  df-rn 5554  df-res 5555  df-ima 5556  df-iota 6304  df-fun 6347  df-fn 6348  df-f 6349  df-f1 6350  df-fo 6351  df-f1o 6352  df-fv 6353  df-riota 7109  df-ov 7154  df-oprab 7155  df-proset 17540  df-poset 17558  df-lub 17586  df-glb 17587  df-join 17588  df-meet 17589  df-lat 17658  df-clat 17720
This theorem is referenced by:  lubun  17735  atlatmstc  36587  2polssN  37183
  Copyright terms: Public domain W3C validator