Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubel 17519
 Description: An element of a set is less than or equal to the least upper bound of the set. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l = (le‘𝐾)
lublem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubel ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → 𝑋 (𝑈𝑆))

Proof of Theorem lubel
StepHypRef Expression
1 clatl 17513 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
2 ssel 3815 . . . . 5 (𝑆𝐵 → (𝑋𝑆𝑋𝐵))
32impcom 398 . . . 4 ((𝑋𝑆𝑆𝐵) → 𝑋𝐵)
4 lublem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 lublem.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
64, 5lubsn 17491 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
71, 3, 6syl2an 589 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑋𝑆𝑆𝐵)) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
873impb 1104 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
9 snssi 4572 . . . 4 (𝑋𝑆 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
10 lublem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
114, 10, 5lubss 17518 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) (𝑈𝑆))
129, 11syl3an3 1166 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) (𝑈𝑆))
13123com23 1117 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) (𝑈𝑆))
148, 13eqbrtrrd 4912 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → 𝑋 (𝑈𝑆))
 Colors of variables: wff setvar class Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 386   ∧ w3a 1071   = wceq 1601   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3792  {csn 4398   class class class wbr 4888  ‘cfv 6137  Basecbs 16266  lecple 16356  lubclub 17339  Latclat 17442  CLatccla 17504 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1839  ax-4 1853  ax-5 1953  ax-6 2021  ax-7 2055  ax-8 2109  ax-9 2116  ax-10 2135  ax-11 2150  ax-12 2163  ax-13 2334  ax-ext 2754  ax-rep 5008  ax-sep 5019  ax-nul 5027  ax-pow 5079  ax-pr 5140  ax-un 7228 This theorem depends on definitions:  df-bi 199  df-an 387  df-or 837  df-3an 1073  df-tru 1605  df-ex 1824  df-nf 1828  df-sb 2012  df-mo 2551  df-eu 2587  df-clab 2764  df-cleq 2770  df-clel 2774  df-nfc 2921  df-ne 2970  df-ral 3095  df-rex 3096  df-reu 3097  df-rab 3099  df-v 3400  df-sbc 3653  df-csb 3752  df-dif 3795  df-un 3797  df-in 3799  df-ss 3806  df-nul 4142  df-if 4308  df-pw 4381  df-sn 4399  df-pr 4401  df-op 4405  df-uni 4674  df-iun 4757  df-br 4889  df-opab 4951  df-mpt 4968  df-id 5263  df-xp 5363  df-rel 5364  df-cnv 5365  df-co 5366  df-dm 5367  df-rn 5368  df-res 5369  df-ima 5370  df-iota 6101  df-fun 6139  df-fn 6140  df-f 6141  df-f1 6142  df-fo 6143  df-f1o 6144  df-fv 6145  df-riota 6885  df-ov 6927  df-oprab 6928  df-proset 17325  df-poset 17343  df-lub 17371  df-glb 17372  df-join 17373  df-meet 17374  df-lat 17443  df-clat 17505 This theorem is referenced by:  lubun  17520  atlatmstc  35482  2polssN  36078
 Copyright terms: Public domain W3C validator