Theorem lubel 18455

Description: An element of a set is less than or equal to the least upper bound of the set. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lublem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lublem.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubel	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑈‘𝑆))

Proof of Theorem lubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatl 18449	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
2		ssel 3937	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝐵))
3	2	impcom 407	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		lublem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		lublem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
6	4, 5	lubsn 18423	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
7	1, 3, 6	syl2an 596	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵)) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
8	7	3impb 1114	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
9		snssi 4768	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
10		lublem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	4, 10, 5	lubss 18454	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) ≤ (𝑈‘𝑆))
12	9, 11	syl3an3 1165	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) ≤ (𝑈‘𝑆))
13	12	3com23 1126	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) ≤ (𝑈‘𝑆))
14	8, 13	eqbrtrrd 5126	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑈‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 395   ∧ w3a 1086   = wceq 1540   ∈ wcel 2109   ⊆ wss 3911  {csn 4585   class class class wbr 5102  ‘cfv 6499  Basecbs 17155  lecple 17203  lubclub 18250  Latclat 18372  CLatccla 18439

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1910  ax-6 1967  ax-7 2008  ax-8 2111  ax-9 2119  ax-10 2142  ax-11 2158  ax-12 2178  ax-ext 2701  ax-rep 5229  ax-sep 5246  ax-nul 5256  ax-pow 5315  ax-pr 5382  ax-un 7691

This theorem depends on definitions:  df-bi 207  df-an 396  df-or 848  df-3an 1088  df-tru 1543  df-fal 1553  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2533  df-eu 2562  df-clab 2708  df-cleq 2721  df-clel 2803  df-nfc 2878  df-ne 2926  df-ral 3045  df-rex 3054  df-rmo 3351  df-reu 3352  df-rab 3403  df-v 3446  df-sbc 3751  df-csb 3860  df-dif 3914  df-un 3916  df-in 3918  df-ss 3928  df-nul 4293  df-if 4485  df-pw 4561  df-sn 4586  df-pr 4588  df-op 4592  df-uni 4868  df-iun 4953  df-br 5103  df-opab 5165  df-mpt 5184  df-id 5526  df-xp 5637  df-rel 5638  df-cnv 5639  df-co 5640  df-dm 5641  df-rn 5642  df-res 5643  df-ima 5644  df-iota 6452  df-fun 6501  df-fn 6502  df-f 6503  df-f1 6504  df-fo 6505  df-f1o 6506  df-fv 6507  df-riota 7326  df-ov 7372  df-oprab 7373  df-proset 18235  df-poset 18254  df-lub 18285  df-glb 18286  df-join 18287  df-meet 18288  df-lat 18373  df-clat 18440

This theorem is referenced by:  lubun  18456  atlatmstc  39305  2polssN  39902