Theorem lubel 18464

Description: An element of a set is less than or equal to the least upper bound of the set. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)

Hypotheses

Ref	Expression
lublem.b	⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l	⊢ ≤ = (le‘𝐾)
lublem.u	⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)

Assertion

Ref	Expression
lubel	⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑈‘𝑆))

Proof of Theorem lubel

Step	Hyp	Ref	Expression
1		clatl 18458	. . . 4 ⊢ (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
2		ssel 3975	. . . . 5 ⊢ (𝑆 ⊆ 𝐵 → (𝑋 ∈ 𝑆 → 𝑋 ∈ 𝐵))
3	2	impcom 409	. . . 4 ⊢ ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑋 ∈ 𝐵)
4		lublem.b	. . . . 5 ⊢ 𝐵 = (Base‘𝐾)
5		lublem.u	. . . . 5 ⊢ 𝑈 = (lub‘𝐾)
6	4, 5	lubsn 18432	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
7	1, 3, 6	syl2an 597	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵)) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
8	7	3impb 1116	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
9		snssi 4811	. . . 4 ⊢ (𝑋 ∈ 𝑆 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
10		lublem.l	. . . . 5 ⊢ ≤ = (le‘𝐾)
11	4, 10, 5	lubss 18463	. . . 4 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) ≤ (𝑈‘𝑆))
12	9, 11	syl3an3 1166	. . 3 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) ≤ (𝑈‘𝑆))
13	12	3com23 1127	. 2 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) ≤ (𝑈‘𝑆))
14	8, 13	eqbrtrrd 5172	1 ⊢ ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 ⊆ 𝐵) → 𝑋 ≤ (𝑈‘𝑆))

Syntax hints:   → wi 4   ∧ wa 397   ∧ w3a 1088   = wceq 1542   ∈ wcel 2107   ⊆ wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  ‘cfv 6541  Basecbs 17141  lecple 17201  lubclub 18259  Latclat 18381  CLatccla 18448

This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722

This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-proset 18245  df-poset 18263  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-lat 18382  df-clat 18449

This theorem is referenced by:  lubun  18465  atlatmstc  38178  2polssN  38775