MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubel 18471
Description: An element of a set is less than or equal to the least upper bound of the set. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
lublem.l ≀ = (leβ€˜πΎ)
lublem.u π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
Assertion
Ref Expression
lubel ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†))

Proof of Theorem lubel
StepHypRef Expression
1 clatl 18465 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat β†’ 𝐾 ∈ Lat)
2 ssel 3975 . . . . 5 (𝑆 βŠ† 𝐡 β†’ (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ 𝑋 ∈ 𝐡))
32impcom 408 . . . 4 ((𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑋 ∈ 𝐡)
4 lublem.b . . . . 5 𝐡 = (Baseβ€˜πΎ)
5 lublem.u . . . . 5 π‘ˆ = (lubβ€˜πΎ)
64, 5lubsn 18439 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋 ∈ 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑋}) = 𝑋)
71, 3, 6syl2an 596 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡)) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑋}) = 𝑋)
873impb 1115 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑋}) = 𝑋)
9 snssi 4811 . . . 4 (𝑋 ∈ 𝑆 β†’ {𝑋} βŠ† 𝑆)
10 lublem.l . . . . 5 ≀ = (leβ€˜πΎ)
114, 10, 5lubss 18470 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ {𝑋} βŠ† 𝑆) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑋}) ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†))
129, 11syl3an3 1165 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡 ∧ 𝑋 ∈ 𝑆) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑋}) ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†))
13123com23 1126 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ (π‘ˆβ€˜{𝑋}) ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†))
148, 13eqbrtrrd 5172 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋 ∈ 𝑆 ∧ 𝑆 βŠ† 𝐡) β†’ 𝑋 ≀ (π‘ˆβ€˜π‘†))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 396   ∧ w3a 1087   = wceq 1541   ∈ wcel 2106   βŠ† wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  β€˜cfv 6543  Basecbs 17148  lecple 17208  lubclub 18266  Latclat 18388  CLatccla 18455
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1797  ax-4 1811  ax-5 1913  ax-6 1971  ax-7 2011  ax-8 2108  ax-9 2116  ax-10 2137  ax-11 2154  ax-12 2171  ax-ext 2703  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7727
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 397  df-or 846  df-3an 1089  df-tru 1544  df-fal 1554  df-ex 1782  df-nf 1786  df-sb 2068  df-mo 2534  df-eu 2563  df-clab 2710  df-cleq 2724  df-clel 2810  df-nfc 2885  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rmo 3376  df-reu 3377  df-rab 3433  df-v 3476  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6495  df-fun 6545  df-fn 6546  df-f 6547  df-f1 6548  df-fo 6549  df-f1o 6550  df-fv 6551  df-riota 7367  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-proset 18252  df-poset 18270  df-lub 18303  df-glb 18304  df-join 18305  df-meet 18306  df-lat 18389  df-clat 18456
This theorem is referenced by:  lubun  18472  atlatmstc  38492  2polssN  39089
  Copyright terms: Public domain W3C validator