MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  lubel Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem lubel 18464
Description: An element of a set is less than or equal to the least upper bound of the set. (Contributed by NM, 21-Oct-2011.)
Hypotheses
Ref Expression
lublem.b 𝐵 = (Base‘𝐾)
lublem.l = (le‘𝐾)
lublem.u 𝑈 = (lub‘𝐾)
Assertion
Ref Expression
lubel ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → 𝑋 (𝑈𝑆))

Proof of Theorem lubel
StepHypRef Expression
1 clatl 18458 . . . 4 (𝐾 ∈ CLat → 𝐾 ∈ Lat)
2 ssel 3975 . . . . 5 (𝑆𝐵 → (𝑋𝑆𝑋𝐵))
32impcom 409 . . . 4 ((𝑋𝑆𝑆𝐵) → 𝑋𝐵)
4 lublem.b . . . . 5 𝐵 = (Base‘𝐾)
5 lublem.u . . . . 5 𝑈 = (lub‘𝐾)
64, 5lubsn 18432 . . . 4 ((𝐾 ∈ Lat ∧ 𝑋𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
71, 3, 6syl2an 597 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ (𝑋𝑆𝑆𝐵)) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
873impb 1116 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) = 𝑋)
9 snssi 4811 . . . 4 (𝑋𝑆 → {𝑋} ⊆ 𝑆)
10 lublem.l . . . . 5 = (le‘𝐾)
114, 10, 5lubss 18463 . . . 4 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵 ∧ {𝑋} ⊆ 𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) (𝑈𝑆))
129, 11syl3an3 1166 . . 3 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑆𝐵𝑋𝑆) → (𝑈‘{𝑋}) (𝑈𝑆))
13123com23 1127 . 2 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → (𝑈‘{𝑋}) (𝑈𝑆))
148, 13eqbrtrrd 5172 1 ((𝐾 ∈ CLat ∧ 𝑋𝑆𝑆𝐵) → 𝑋 (𝑈𝑆))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:  wi 4  wa 397  w3a 1088   = wceq 1542  wcel 2107  wss 3948  {csn 4628   class class class wbr 5148  cfv 6541  Basecbs 17141  lecple 17201  lubclub 18259  Latclat 18381  CLatccla 18448
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-rep 5285  ax-sep 5299  ax-nul 5306  ax-pow 5363  ax-pr 5427  ax-un 7722
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2942  df-ral 3063  df-rex 3072  df-rmo 3377  df-reu 3378  df-rab 3434  df-v 3477  df-sbc 3778  df-csb 3894  df-dif 3951  df-un 3953  df-in 3955  df-ss 3965  df-nul 4323  df-if 4529  df-pw 4604  df-sn 4629  df-pr 4631  df-op 4635  df-uni 4909  df-iun 4999  df-br 5149  df-opab 5211  df-mpt 5232  df-id 5574  df-xp 5682  df-rel 5683  df-cnv 5684  df-co 5685  df-dm 5686  df-rn 5687  df-res 5688  df-ima 5689  df-iota 6493  df-fun 6543  df-fn 6544  df-f 6545  df-f1 6546  df-fo 6547  df-f1o 6548  df-fv 6549  df-riota 7362  df-ov 7409  df-oprab 7410  df-proset 18245  df-poset 18263  df-lub 18296  df-glb 18297  df-join 18298  df-meet 18299  df-lat 18382  df-clat 18449
This theorem is referenced by:  lubun  18465  atlatmstc  38178  2polssN  38775
  Copyright terms: Public domain W3C validator