MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metuval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metuval 23928
Description: Value of the uniform structure generated by metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
metuval (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (metUnifβ€˜π·) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž

Proof of Theorem metuval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-metu 20818 . 2 metUnif = (𝑑 ∈ βˆͺ ran PsMet ↦ ((dom dom 𝑑 Γ— dom dom 𝑑)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝑑 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
2 simpr 486 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ 𝑑 = 𝐷)
32dmeqd 5865 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ dom 𝑑 = dom 𝐷)
43dmeqd 5865 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ dom dom 𝑑 = dom dom 𝐷)
5 psmetdmdm 23681 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom dom 𝐷)
65adantr 482 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ 𝑋 = dom dom 𝐷)
74, 6eqtr4d 2776 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ dom dom 𝑑 = 𝑋)
87sqxpeqd 5669 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ (dom dom 𝑑 Γ— dom dom 𝑑) = (𝑋 Γ— 𝑋))
9 simplr 768 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 = 𝐷)
109cnveqd 5835 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ ◑𝑑 = ◑𝐷)
1110imaeq1d 6016 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (◑𝑑 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
1211mpteq2dva 5209 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝑑 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
1312rneqd 5897 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝑑 β€œ (0[,)π‘Ž))) = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
148, 13oveq12d 7379 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ ((dom dom 𝑑 Γ— dom dom 𝑑)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝑑 β€œ (0[,)π‘Ž)))) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
15 elfvunirn 6878 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran PsMet)
16 ovexd 7396 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))) ∈ V)
171, 14, 15, 16fvmptd2 6960 1 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (metUnifβ€˜π·) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 397   = wceq 1542   ∈ wcel 2107  Vcvv 3447  βˆͺ cuni 4869   ↦ cmpt 5192   Γ— cxp 5635  β—‘ccnv 5636  dom cdm 5637  ran crn 5638   β€œ cima 5640  β€˜cfv 6500  (class class class)co 7361  0cc0 11059  β„+crp 12923  [,)cico 13275  PsMetcpsmet 20803  filGencfg 20808  metUnifcmetu 20810
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1798  ax-4 1812  ax-5 1914  ax-6 1972  ax-7 2012  ax-8 2109  ax-9 2117  ax-10 2138  ax-11 2155  ax-12 2172  ax-ext 2704  ax-sep 5260  ax-nul 5267  ax-pow 5324  ax-pr 5388  ax-un 7676  ax-cnex 11115  ax-resscn 11116
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 398  df-or 847  df-3an 1090  df-tru 1545  df-fal 1555  df-ex 1783  df-nf 1787  df-sb 2069  df-mo 2535  df-eu 2564  df-clab 2711  df-cleq 2725  df-clel 2811  df-nfc 2886  df-ne 2941  df-ral 3062  df-rex 3071  df-rab 3407  df-v 3449  df-sbc 3744  df-csb 3860  df-dif 3917  df-un 3919  df-in 3921  df-ss 3931  df-nul 4287  df-if 4491  df-pw 4566  df-sn 4591  df-pr 4593  df-op 4597  df-uni 4870  df-br 5110  df-opab 5172  df-mpt 5193  df-id 5535  df-xp 5643  df-rel 5644  df-cnv 5645  df-co 5646  df-dm 5647  df-rn 5648  df-res 5649  df-ima 5650  df-iota 6452  df-fun 6502  df-fn 6503  df-f 6504  df-fv 6508  df-ov 7364  df-oprab 7365  df-mpo 7366  df-map 8773  df-xr 11201  df-psmet 20811  df-metu 20818
This theorem is referenced by:  metuust  23939  cfilucfil2  23940  metuel  23943  psmetutop  23946  restmetu  23949  metucn  23950
  Copyright terms: Public domain W3C validator