MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  metuval Structured version   Visualization version   GIF version

Theorem metuval 24278
Description: Value of the uniform structure generated by metric 𝐷. (Contributed by Thierry Arnoux, 1-Dec-2017.) (Revised by Thierry Arnoux, 11-Feb-2018.)
Assertion
Ref Expression
metuval (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (metUnifβ€˜π·) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
Distinct variable groups:   𝐷,π‘Ž   𝑋,π‘Ž

Proof of Theorem metuval
Dummy variable 𝑑 is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 df-metu 21143 . 2 metUnif = (𝑑 ∈ βˆͺ ran PsMet ↦ ((dom dom 𝑑 Γ— dom dom 𝑑)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝑑 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
2 simpr 483 . . . . . . 7 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ 𝑑 = 𝐷)
32dmeqd 5904 . . . . . 6 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ dom 𝑑 = dom 𝐷)
43dmeqd 5904 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ dom dom 𝑑 = dom dom 𝐷)
5 psmetdmdm 24031 . . . . . 6 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝑋 = dom dom 𝐷)
65adantr 479 . . . . 5 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ 𝑋 = dom dom 𝐷)
74, 6eqtr4d 2773 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ dom dom 𝑑 = 𝑋)
87sqxpeqd 5707 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ (dom dom 𝑑 Γ— dom dom 𝑑) = (𝑋 Γ— 𝑋))
9 simplr 765 . . . . . . 7 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ 𝑑 = 𝐷)
109cnveqd 5874 . . . . . 6 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ ◑𝑑 = ◑𝐷)
1110imaeq1d 6057 . . . . 5 (((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) ∧ π‘Ž ∈ ℝ+) β†’ (◑𝑑 β€œ (0[,)π‘Ž)) = (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))
1211mpteq2dva 5247 . . . 4 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝑑 β€œ (0[,)π‘Ž))) = (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
1312rneqd 5936 . . 3 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝑑 β€œ (0[,)π‘Ž))) = ran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž))))
148, 13oveq12d 7429 . 2 ((𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) ∧ 𝑑 = 𝐷) β†’ ((dom dom 𝑑 Γ— dom dom 𝑑)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝑑 β€œ (0[,)π‘Ž)))) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
15 elfvunirn 6922 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ 𝐷 ∈ βˆͺ ran PsMet)
16 ovexd 7446 . 2 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))) ∈ V)
171, 14, 15, 16fvmptd2 7005 1 (𝐷 ∈ (PsMetβ€˜π‘‹) β†’ (metUnifβ€˜π·) = ((𝑋 Γ— 𝑋)filGenran (π‘Ž ∈ ℝ+ ↦ (◑𝐷 β€œ (0[,)π‘Ž)))))
Colors of variables: wff setvar class
Syntax hints:   β†’ wi 4   ∧ wa 394   = wceq 1539   ∈ wcel 2104  Vcvv 3472  βˆͺ cuni 4907   ↦ cmpt 5230   Γ— cxp 5673  β—‘ccnv 5674  dom cdm 5675  ran crn 5676   β€œ cima 5678  β€˜cfv 6542  (class class class)co 7411  0cc0 11112  β„+crp 12978  [,)cico 13330  PsMetcpsmet 21128  filGencfg 21133  metUnifcmetu 21135
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1795  ax-4 1809  ax-5 1911  ax-6 1969  ax-7 2009  ax-8 2106  ax-9 2114  ax-10 2135  ax-11 2152  ax-12 2169  ax-ext 2701  ax-sep 5298  ax-nul 5305  ax-pow 5362  ax-pr 5426  ax-un 7727  ax-cnex 11168  ax-resscn 11169
This theorem depends on definitions:  df-bi 206  df-an 395  df-or 844  df-3an 1087  df-tru 1542  df-fal 1552  df-ex 1780  df-nf 1784  df-sb 2066  df-mo 2532  df-eu 2561  df-clab 2708  df-cleq 2722  df-clel 2808  df-nfc 2883  df-ne 2939  df-ral 3060  df-rex 3069  df-rab 3431  df-v 3474  df-sbc 3777  df-csb 3893  df-dif 3950  df-un 3952  df-in 3954  df-ss 3964  df-nul 4322  df-if 4528  df-pw 4603  df-sn 4628  df-pr 4630  df-op 4634  df-uni 4908  df-br 5148  df-opab 5210  df-mpt 5231  df-id 5573  df-xp 5681  df-rel 5682  df-cnv 5683  df-co 5684  df-dm 5685  df-rn 5686  df-res 5687  df-ima 5688  df-iota 6494  df-fun 6544  df-fn 6545  df-f 6546  df-fv 6550  df-ov 7414  df-oprab 7415  df-mpo 7416  df-map 8824  df-xr 11256  df-psmet 21136  df-metu 21143
This theorem is referenced by:  metuust  24289  cfilucfil2  24290  metuel  24293  psmetutop  24296  restmetu  24299  metucn  24300
  Copyright terms: Public domain W3C validator